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专题01相交线与平行线中模型（猪脚、铅笔）
模型一：猪脚模型
一．填空题（共2小题）
1．（2021春 徐汇区期中）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，则下列四个结论中：
①∠1＝∠2；
②∠2+∠4＝90°；
③∠1+∠3＝90°；
④∠4+∠5＝180°．
正确的序号是 ①②③④ ．
【分析】利用平行线的性质直接判断①④，再利用平角判断②，最后判断③．
【解答】解：由已知知：∠6＝90°，AB∥CD．
∵AB∥CD，
∴∠3＝∠4，∠1＝∠2，∠4+∠5＝180°，故①④正确；
∵∠2+∠6+∠4＝180°，6＝90°，
∴∠2+∠4＝90°，故②正确；
∵∠3＝∠4，∠1＝∠2，∠2+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，故③正确．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等（同旁内角互补）”是解决本题的关键．
2．（2017春 闵行区校级期中）如图，已知AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝90°，则∠3等于 60 °．
【分析】作辅助线，过点O做OP∥AB∥CD，再结合两直线平行内错角相等的性质，即可得出∠3的度数．
【解答】解：过点O做OP∥AB∥CD，
∴∠A＝∠AOP＝30°，∠D＝∠POC，
∵∠2＝90°，
即∠AOC＝90°，
∴∠POC＝60°，
∴∠POC＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题主要考查了对平行线性质的综合应用，关键在于做对辅助线，找出相等的内错角，结果便一目了然．
二．解答题（共4小题）
3．（2021春 徐汇区期中）如图，点E、F分别在DA和CB的延长线上，已知∠A＝∠C，AB∥CD，那么∠E与∠F相等吗？请说明理由．
【分析】由平行线性质及∠A＝∠C得到AD与BC的关系，再利用平行线的性质得结论．
【解答】解：相等．
理由：∵AB∥CD（已知），
∴∠C+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠A+∠ABC＝180°（等量代换）．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键．
4．（2021春 青浦区期中）已知，直线AB∥CD
（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A＝140°，∠C＝150°，则∠AGC的度数是多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AGC的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．
【分析】（1）过点G作GE∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．
（2）过点G作GF∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．
（3）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，利用平行线的性质即可进行转化找到角的关系．
【解答】（1）过点G作GE∥AB，
因为AB∥GE，
所以∠A+∠AGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
因为∠A＝140°，所以∠AGE＝40°，
因为AB∥GE，AB∥CD，
所以GE∥CD（平行的传递性），
所以∠C+∠CGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
因为∠C＝150°，所以∠CGE＝30°，
所以∠AGC＝∠AGE+∠CGE＝40°+30°＝70°．
（2）过点G作GF∥AB，
因为AB∥GF，
所以∠A＝AGF（两直线平行，内错角相等），
因为AB∥GF，AB∥CD，
所以GF∥CD（平行的传递性），
所以∠C＝∠CGF，
所以∠AGC＝∠AGF+∠CGF＝∠A+∠C，
因为∠A＝x°，∠C＝y°
所以∠AGC＝（x+y）°，
（3）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD（平行的传递性），
∴∠BAE＝∠AEM（两直线平行，内错角相等），
∠MEF＝∠EFN（两直线平行，内错角相等），
∠NFG＝∠FGQ（两直线平行，内错角相等），
∠QGC＝∠GCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠AEF＝∠BAE+∠EFN，
∠FGC＝∠NFG+GCD，
而∠EFN+∠NFG＝∠EFG，
∴∠BAE+∠EFG+∠GCD＝∠AEF+∠FGC．
【点评】本题考查平行线的性质，本题构造辅助线利用平行线的传递性结合平行线性质是解题关键．
5．（2018春 浦东新区期中）（1）如图（a），如果∠B+∠E+∠D＝360°，那么AB、CD有怎样的关系？为什么？
解：过点E作EF∥AB①，如图（b），
则∠ABE+∠BEF＝180°，（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
因为∠ABE+∠BED+∠EDC＝360°（ 已知 ）
所以∠FED+∠EDC＝ 180 °（等式的性质）
所以FE∥CD②（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
由①、②得AB∥CD（ 平行线的传递性 ）．
（2）如图（c），当∠1、∠2、∠3满足条件 ∠1+∠3＝∠2 时，有AB∥CD．
（3）如图（d），当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件 ∠B+∠E+∠F+∠D＝540° 时，有AB∥CD．
【分析】（1）过点E作EF∥AB．由两直线平行，同旁内角互补及已知条件∠B+∠E+∠D＝360°求得∠FED+∠EDC＝180°；然后根据平行线的传递性证得AB∥CD；
（2）过点E作EF∥AB．由两直线平行，内错角相等求得∠1＝∠BEF；再用已知条件∠1+∠3＝∠2，∠2＝∠BEF+∠DEF推知内错角∠3＝∠DEF，所以EF∥CD；最后根据平行线的传递性得出结论；
（3）过点E、F分别作GE∥HF∥CD．根据同旁内角互补以及已知条件求得同旁内角∠ABE+∠BEG＝180°，所以AB∥GE；最后根据平行线的传递性来证得AB∥CD．
【解答】解：（1）
过点E作EF∥AB，如图（b），
则∠ABE+∠BEF＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）
因为∠ABE+∠BED+∠EDC＝360°，（已知 ）
所以∠FED+∠EDC＝180°，（等式的性质）
所以 FE∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）
∴AB∥CD （或平行线的传递性 ）．
（2）如图（c），当∠1、∠2、∠3满足条件∠1+∠3＝∠2时，有AB∥CD．
理由：过点E作EF∥AB．
∴∠1＝∠BEF；
∵∠1+∠3＝∠2，∠2＝∠BEF+∠DEF，
∴∠3＝∠DEF，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD（平行线的传递性）；
（3）如图（d），当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件∠B+∠E+∠F+∠D＝540°时，有AB∥CD．
理由：
过点E、F分别作GE∥HF∥CD．
则∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFD+∠CDF＝180°，
∴∠GEF+∠EFD+∠FDC＝360°；
又∵∠B+∠E+∠F+∠D＝540°，
∴∠ABE+∠BEG＝180°，
∴AB∥GE，
∴AB∥CD；
故答案是：（1）两直线平行，同旁内角互补、已知、180、同旁内角互补，两直线平行或平行线的传递性；
（2）∠1+∠3＝∠2；
（3）∠B+∠E+∠F+∠D＝540°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
6．（2008春 崇明县期末）（1）如图1，已知直线m平行于直线n，折线ABC是夹在m与n之间的一条折线，则∠1、∠2、∠3的度数之间有什么关系？为什么？
（2）如图2，直线m依然平行于直线n，则此时∠1、∠2、∠3、∠4之间有什么关系？（只需写出结果）
【分析】（1）过点B作DE∥m，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得到结论．
（2）过点B作BE∥m，过点C作CF∥m，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得到结论．
【解答】解：（1）点B作DE∥m．（1分）
因为DE∥m（已知），
所以∠1＝∠ABE（两直线平行，内错角相等）．（1分）
因为m∥n，且DE∥m（已知），
所以DE∥n（平行于同一条直线的两条直线互相平行），（2分）
所以∠3＝∠EBC（两直线平行，内错角相等），（1分）
因为∠2＝∠ABE+∠EBC，
所以∠2＝∠1+∠3（等量代换）；（1分）
（2）∠1+∠3＝∠2+∠4．（2分）
【点评】本题主要考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．正确作辅助线是解题关键．（2）中将∠2、∠3拆分是解题的关键．
题型二：铅笔模型
一．解答题（共1小题）
1．（2014春 闵行区期中）探究并尝试归纳：
探究1如图1，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线形成一个角∠A，试求∠1+∠2+∠A的度数，请加以说明．
探究2如图2，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线增加一个折，形成两个角∠A和∠B，请直接写出∠1+∠2+∠A+∠B＝ 540 度．
探究3如图3，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线每增加一个折，就增加一个角．当形成n个折时，请归纳并写出所有角与∠1、∠2的总和： 180 （n+1）° 【结果用含有n的代数式表示，n是正整数，不用证明】
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：探究一：过A作AB∥直线a，
则AB∥直线b，
∴∠1+∠3＝∠4+∠2＝180°，
∴∠1+∠2+∠A＝360°；
探究二：过A作AC∥直线a，BD∥直线a，
则AC∥BD∥直线b，
∴∠1+∠3＝∠5+∠6＝∠4+∠2＝180°，
∴∠1+∠2+∠A+∠B＝540°，
故答案为：540；
探究三：由探究一，探究二知，当形成n个折时，请归纳并写出所有角与∠1、∠2的总和＝180 （n+1）°，
故答案为：180 （n+1）°．
【点评】本题考查了平行线的性质，正确的作出图形是解题的关键．
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专题01相交线与平行线中模型（猪脚、铅笔）
模型一：猪脚模型
一．填空题（共2小题）
1．（2021春 徐汇区期中）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，则下列四个结论中：
①∠1＝∠2；
②∠2+∠4＝90°；
③∠1+∠3＝90°；
④∠4+∠5＝180°．
正确的序号是 ．
2．（2017春 闵行区校级期中）如图，已知AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝90°，则∠3等于 °．
二．解答题（共4小题）
3．（2021春 徐汇区期中）如图，点E、F分别在DA和CB的延长线上，已知∠A＝∠C，AB∥CD，那么∠E与∠F相等吗？请说明理由．
4．（2021春 青浦区期中）已知，直线AB∥CD
（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A＝140°，∠C＝150°，则∠AGC的度数是多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AGC的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．
5．（2018春 浦东新区期中）（1）如图（a），如果∠B+∠E+∠D＝360°，那么AB、CD有怎样的关系？为什么？
解：过点E作EF∥AB①，如图（b），
则∠ABE+∠BEF＝180°，（ ）
因为∠ABE+∠BED+∠EDC＝360°（ ）
所以∠FED+∠EDC＝ °（等式的性质）
所以FE∥CD②（ ）
由①、②得AB∥CD（ ）．
（2）如图（c），当∠1、∠2、∠3满足条件 时，有AB∥CD．
（3）如图（d），当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件 时，有AB∥CD．
6．（2008春 崇明县期末）（1）如图1，已知直线m平行于直线n，折线ABC是夹在m与n之间的一条折线，则∠1、∠2、∠3的度数之间有什么关系？为什么？
（2）如图2，直线m依然平行于直线n，则此时∠1、∠2、∠3、∠4之间有什么关系？（只需写出结果）
题型二：铅笔模型
一．解答题（共1小题）
1．（2014春 闵行区期中）探究并尝试归纳：
探究1如图1，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线形成一个角∠A，试求∠1+∠2+∠A的度数，请加以说明．
探究2如图2，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线增加一个折，形成两个角∠A和∠B，请直接写出∠1+∠2+∠A+∠B＝ 度．
探究3如图3，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线每增加一个折，就增加一个角．当形成n个折时，请归纳并写出所有角与∠1、∠2的总和： 【结果用含有n的代数式表示，n是正整数，不用证明】
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