人教版八年级数学下册18.2.1矩形的性质课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
第1课时 矩形的性质
学习目标
【学习目标】
1.掌握矩形的概念和性质,理解矩形与平行四边形的区别与联系.
2.掌握矩形的性质及其推论,会进行有关的计算与证明.
【学习重点】
矩形的性质及其推论.
【学习难点】
矩形性质的灵活应用.
旧识回顾
1.平行四边形的性质：______相等,____ 相等且_____,对角线________.
2.平行四边形的判定方法：
两组对边分别平行,两组对角分别相等,一组对边平行且相等,对角线互相平分.
3.猜想：有一个角是直角的平行四边形是_____.
对角
对边
平行
互相平分
矩形
活动一:观察下面的图形,它们都含有平行四边形,请把它们全部找出来.
问题：上面的平行四边形有什么共同的特征？
新知探究
矩形的性质
活动二：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
思考：矩形与平行四边形有什么关系呢？
归纳
思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
可以从边，角，对角线等方面来考虑.
活动探究：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.
A
B
C
D
O
（形象图）
（实物）
AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB
橡皮擦
课本
桌子
问题1：根据测量的结果,猜想结论当矩形的大小不断变化时,
发现的结论是否仍然成立？
问题2：通过测量、观察和讨论,你能得到矩形的特殊性质吗？
矩形的性质：角：矩形四个角都是直角。
对角线：矩形的对角线相等。
证明性质:
已知：如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.
求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
（2）AC=DB.
A
B
C
D
O
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形.
∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB，
AB∥DC
∴∠ABC+∠BCD=180°
又∵∠ABC = 90°,
∴∠BCD = 90°.
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC(矩形的对边相等).
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB,
∴△ABC≌△DCB.
∴AC=DB.
A
B
C
D
O
矩形除了具有平行四边形所有性质，
还具有的性质有：
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线相等.
几何语言描述：
在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB.
A
B
C
D
O
归纳总结
例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°, AB=4 ,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC = BD，
OA= OC= AC,OB = OD = BD ,
∴OA = OB.
又∵∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴AC=BD=2OA=8.
A
B
C
D
O
矩形的对角线相等且互相平分
典例精析
做一做：请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.
（1）矩形是不是中心对称图形 如果是,那么对称中心是什么？
（2）矩形是不是轴对称图形 如果是,那么对称轴有几条
矩形的性质（除中心对称外）
对称性： .
对称轴： .
轴对称图形
2条
新知探究
例1：如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,
垂足为F. 求证：DF=DC.
A
B
C
D
E
F
证明：连接DE.
∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°.
又∵DE= DE,
∴△DFE≌△DCE,
∴DF=DC.
典例精析
直角三角形斜边上中线
A 　
B 　
C 　
D 　
O 　
活动：如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能
得到什么结论？
B
C
O
A
　　Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？
它的长度与斜边AC有什么关系？
1
2
1
2
BO= BD= AC
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
试给出数学证明.
O
C
B
A
D
证明: 延长BO至D, 使OD=BO,
连结AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°
∴平行四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.
求证: BO = AC
∴BO= BD= AC
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
性质
例：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,
∠AOD=120°,AB=4 ,求矩形对角线的长.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC = BD
OA= OC= AC,OB = OD = BD ,
∴OA = OD.
∵∠AOD=120°,
∴∠ODA=∠OAD = (180°- 120°)=30°.
又∵∠DAB=90° ,
∴BD = 2AB = 2 ×4 = 8.
你还有其他解法吗？
典例精析
练一练：根据右图填空
已知△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3cm,则AC =_____cm;
(2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则
AC =_____cm, BD = _____cm.
A
B
C
D
6
10
5
针对练习
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A.对角线相等 B.对边相等
C.对角相等 D.对角线互相平分
2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( )
A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定
A
C
随堂练习
3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交的锐角是( )
A.20 ° B.40° C.80 ° D.10°
C
4.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
（1）求证：BD=BE,
（2）若∠DBC=30° , BO=4 ,求四边形ABED的面积.
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC= BD,AB∥CD.
又∵BE∥AC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴AC=BE,
∴BD=BE.
A
B
C
D
O
E
(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4,
∴BD = 2BO =2×4=8.
∵∠DBC=30°,
∴CD= BD= ×8=4,
∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.
在Rt△BCD中,
BC=
∴四边形ABED的面积= (4+8)× = .
A
B
C
D
O
E
通过今天的学习,
能说说你的收获和体会吗
你有什么经验与收获让同学们共享呢？
回顾反思
课堂小结
矩形的相关概念及性质
具有平行四边行的一切性质
四个内角都是直角，
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
有两条对称轴
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形