5 利用三角形全等测距离
教材认知
利用三角形全等测距离，实际上是利用已有的全等三角形，或构造出全等三角形，运用全等三角形的性质(对应边相等)，把较难测量或无法测量的距离转化成已知线段或较容易测量的线段的长度，从而得到被测距离．
基础必会
1．(甘肃平凉质检)如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，测出DE的长即为A，B间的距离，这实际上可以证明△ABC≌△DEC，理由是(D)
A.SSS B．AAS C．ASA D．SAS
2．(内蒙古赤峰模拟)小红家有一个小口瓶(如图所示)，她很想知道它的内径是多少．但是尺子不能伸到里边直接测，于是她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根细木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，那么△AOB≌△DOC的理由是(A)
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
3．(新疆和田模拟)如图所示，已知AC＝DB，AO＝DO，CD＝100 m，则A，B两点间的距离(B)
A．大于100 m B．等于100 m C．小于100 m D．无法确定
4.(甘肃定西模拟)小明用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中框架△ABC的质量为840克，CF的质量为106克，则整个金属框架的质量为(D)
A．734克 B．946克 C．1 052克 D．1 574克
5．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是(D)
A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA
6．(宁夏固原模拟)如图，把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起，使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合，固定住长木棍，把短木棍摆动，端点落在射线BC上的C，D两位置时，形成△ABD和△ABC.此时AB＝AB，AC＝AD，∠ABD＝∠ABC，但是△ABC和△ABD不全等，这说明__两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等__．
7. (乌鲁木齐模拟)如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t s后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F.
(1)证明：△ACD≌△CBE；
(2)小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由．
【解析】(1)∵小蚂蚁同时从A，C出发，速度相同，
∴t s后两只小蚂蚁爬行的路程AD＝CE，
∵在△ACD和△CBE中，AD＝CE，∠A＝∠ACB，AC＝CB，∴△ACD≌△CBE(SAS)；
(2)∵△ACD≌△CBE，∴∠EBC＝∠ACD，∵∠BFC＝180°－∠EBC－∠BCD，
∴∠BFC＝180°－∠ACD－∠BCD＝180°－∠ACB，
∵∠A＝∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝60°，
∴∠BFC＝180°－60°＝120°，∴∠BFC无变化．
8．(甘肃陇南模拟)在新修的小区中，有一条“Z”字形绿色长廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段绿色长廊上各修一小凉亭E，M，F，且BE＝CF，点M是BC的中点，在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度，这样做合适吗？请说明理由．
【解析】合适，理由如下：
因为AB∥CD，
所以∠B＝∠C，
因为点M是BC的中点，
所以MB＝MC，
在△MEB与△MFC中，
所以△MEB≌△MFC(SAS)，
所以ME＝MF，
所以想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度．
能力提升
1．(新疆喀什模拟)为了测量池塘两侧A，B两点间的距离，在地面上找一点C，连接AC，BC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，得到△ABC≌△ADC，通过测量AD的长，得到AB的长．那么△ABC≌△ADC的理由是(A)
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
2．(内蒙古鄂尔多斯模拟)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集，如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于O，OD⊥CD，垂足为D.已知AB＝20 m．根据上述信息，标语CD的长度为__20__m.
3．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB＝90°，AC＝BC，每块砌墙用的砖块厚度为8 cm，小聪很快就知道了两个墙脚之间的距离DE的长为__56__cm.
4．(兰州模拟)如图，AB＝4 cm，AC＝BD＝3 cm.∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，设运动时间为t(s)，则当点Q的运动速度为__1或1.5__cm/s时，△ACP与△BPQ全等．
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教材认知
利用三角形全等测距离，实际上是利用已有的全等三角形，或构造出全等三角形，运用全等三角形的性质(对应边相等)，把较难测量或无法测量的距离转化成已知线段或较容易测量的线段的长度，从而得到被测距离．
基础必会
1．(甘肃平凉质检)如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，测出DE的长即为A，B间的距离，这实际上可以证明△ABC≌△DEC，理由是( )
A.SSS B．AAS C．ASA D．SAS
2．(内蒙古赤峰模拟)小红家有一个小口瓶(如图所示)，她很想知道它的内径是多少．但是尺子不能伸到里边直接测，于是她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根细木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，那么△AOB≌△DOC的理由是( )
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
3．(新疆和田模拟)如图所示，已知AC＝DB，AO＝DO，CD＝100 m，则A，B两点间的距离( )
A．大于100 m B．等于100 m C．小于100 m D．无法确定
4.(甘肃定西模拟)小明用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中框架△ABC的质量为840克，CF的质量为106克，则整个金属框架的质量为( )
A．734克 B．946克 C．1 052克 D．1 574克
5．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是( )
A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA
6．(宁夏固原模拟)如图，把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起，使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合，固定住长木棍，把短木棍摆动，端点落在射线BC上的C，D两位置时，形成△ABD和△ABC.此时AB＝AB，AC＝AD，∠ABD＝∠ABC，但是△ABC和△ABD不全等，这说明__ __．
7. (乌鲁木齐模拟)如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t s后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F.
(1)证明：△ACD≌△CBE；
(2)小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由．
8．(甘肃陇南模拟)在新修的小区中，有一条“Z”字形绿色长廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段绿色长廊上各修一小凉亭E，M，F，且BE＝CF，点M是BC的中点，在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度，这样做合适吗？请说明理由．
能力提升
1．(新疆喀什模拟)为了测量池塘两侧A，B两点间的距离，在地面上找一点C，连接AC，BC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，得到△ABC≌△ADC，通过测量AD的长，得到AB的长．那么△ABC≌△ADC的理由是( )
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
2．(内蒙古鄂尔多斯模拟)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集，如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于O，OD⊥CD，垂足为D.已知AB＝20 m．根据上述信息，标语CD的长度为__ __m.
3．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB＝90°，AC＝BC，每块砌墙用的砖块厚度为8 cm，小聪很快就知道了两个墙脚之间的距离DE的长为__ __cm.
4．(兰州模拟)如图，AB＝4 cm，AC＝BD＝3 cm.∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，设运动时间为t(s)，则当点Q的运动速度为__ __cm/s时，△ACP与△BPQ全等．
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