第四章 单元复习
单元提分集训
一、选择题
1．(甘肃武威质检)以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A．3 cm，3 cm，6 cm B．3 cm，8 cm，4 cm
C．10 cm，6 cm，5 cm D．15 cm，8 cm，6 cm
2．(青海果洛模拟)如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是( )
A．24° B．59° C．60° D．69°
3．(甘肃庆阳质检)已知三角形三边长分别为2，3，x，若x为奇数，则x的值为( )
A．1 B．3 C．5 D．7
4．(新疆伊犁模拟)在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是( )
5．(甘肃酒泉模拟)如图，在△PAB中，∠A＝∠B，D，E，F分别是边PA，PB，AB上的点，且AD＝BF，BE＝AF，若∠DFE＝40°，则∠P＝( )
A．90° B．100° C．110° D．120°
6．(重庆中考A卷)如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是( )
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
7．(呼和浩特质检)如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是( )
A.甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．(宁夏中卫模拟)如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为( )
A．a＋c B．b＋c C．a－b＋c D．a＋b－c
9．已知一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1＋∠2的度数是( )
A．90° B．100° C．130° D．180°
10．(呼和浩特模拟)三角形纸片内有200个点，连同三角形的顶点共203个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，这样的小三角形的个数是( )
A．399 B．401 C．405 D．407
二、填空题
11．(内蒙古赤峰质检)在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则∠B＝__ __°.
12．(青海玉树模拟)已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长为32 cm，DE＝9 cm，EF＝12 cm，则AB＝__ __cm，BC＝__ __cm，AC＝__ __cm.
13．设a，b，c是△ABC的三边，化简：|a＋b－c|－|c－a－b|＝__ __．
14．(银川模拟)如图，已知△ABC≌△DBE，点D恰好在AC的延长线上，∠DBE＝20°，∠BDE＝41°.则∠BCD的度数是__ __°.
15．(甘肃庆阳模拟)如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝__ __°.
16．如图，A，B，C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，则△A1B1C1的面积是__ __．
17．(新疆阿克苏模拟)如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F.若DE＝4，BF＝3，则EF的长为__ __．
18. (甘肃金昌模拟)如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2 019BC和∠A2 019CD的平分线交于点A2 020，得∠A2 020；则∠A2 020＝____°.
三、解答题
19．(内蒙古呼伦贝尔模拟)如图所示，已知线段a，b，用尺规作△ABC，使AC＝a，AB＝b，BC＝2b－a.
20．(青海海东模拟)如图所示，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别是AC，AB边上的高，H是BD，CE的交点，求∠BHC的度数．
21.(宁夏石嘴山质检)如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若AE∥BC，且∠E＝∠CAD，求∠C的度数．
22．(新疆伊犁模拟)已知：如图，AB＝DE，CD＝FA，∠A＝∠D，∠AFC＝∠DCF，则BC＝EF.你能说出它们相等的理由吗？
23．(兰州质检)如图所示，工人师傅要在墙壁的O处用电钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开．已知墙壁厚是35 cm，点B与点O的垂直距离AB长是20 cm，在点O处作一直线平行于地面，再在直线上截取OC＝35 cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD＝20 cm，连接OD，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出，这是什么道理？
24.(内蒙古巴彦淖尔模拟)(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是________．
(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF>EF.
(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
PAGE第四章 单元复习
单元提分集训
一、选择题
1．(甘肃武威质检)以下列各组线段为边，能组成三角形的是(C)
A．3 cm，3 cm，6 cm B．3 cm，8 cm，4 cm
C．10 cm，6 cm，5 cm D．15 cm，8 cm，6 cm
2．(青海果洛模拟)如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是(B)
A．24° B．59° C．60° D．69°
3．(甘肃庆阳质检)已知三角形三边长分别为2，3，x，若x为奇数，则x的值为(B)
A．1 B．3 C．5 D．7
4．(新疆伊犁模拟)在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是(C)
5．(甘肃酒泉模拟)如图，在△PAB中，∠A＝∠B，D，E，F分别是边PA，PB，AB上的点，且AD＝BF，BE＝AF，若∠DFE＝40°，则∠P＝(B)
A．90° B．100° C．110° D．120°
6．(重庆中考A卷)如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是(C)
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
7．(呼和浩特质检)如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是(B)
A.甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．(宁夏中卫模拟)如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为(D)
A．a＋c B．b＋c C．a－b＋c D．a＋b－c
9．已知一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1＋∠2的度数是(B)
A．90° B．100° C．130° D．180°
10．(呼和浩特模拟)三角形纸片内有200个点，连同三角形的顶点共203个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，这样的小三角形的个数是(B)
A．399 B．401 C．405 D．407
二、填空题
11．(内蒙古赤峰质检)在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则∠B＝__60__°.
12．(青海玉树模拟)已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长为32 cm，DE＝9 cm，EF＝12 cm，则AB＝__9__cm，BC＝__12__cm，AC＝__11__cm.
13．设a，b，c是△ABC的三边，化简：|a＋b－c|－|c－a－b|＝__0__．
14．(银川模拟)如图，已知△ABC≌△DBE，点D恰好在AC的延长线上，∠DBE＝20°，∠BDE＝41°.则∠BCD的度数是__61__°.
15．(甘肃庆阳模拟)如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝__130__°.
16．如图，A，B，C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，则△A1B1C1的面积是__7__．
17．(新疆阿克苏模拟)如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F.若DE＝4，BF＝3，则EF的长为__7__．
18. (甘肃金昌模拟)如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2 019BC和∠A2 019CD的平分线交于点A2 020，得∠A2 020；则∠A2 020＝____°.
三、解答题
19．(内蒙古呼伦贝尔模拟)如图所示，已知线段a，b，用尺规作△ABC，使AC＝a，AB＝b，BC＝2b－a.
【解析】作法：(1)作一条线段BD，使其长度为2b.
(2)在线段BD上作线段DC，使其长度为a，从而得BC＝2b－a.
(3)以B为圆心，以b为半径在BC的一侧画弧，以C为圆心，以a为半径在BC的同侧画弧，两弧交于点A；(4)连接AB，AC，则△ABC就是所求作的三角形．
20．(青海海东模拟)如图所示，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别是AC，AB边上的高，H是BD，CE的交点，求∠BHC的度数．
【解析】因为BD，CE分别是AC，AB边上的高，所以∠ADB＝∠BEH＝90°，所以∠ABD＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，∠BHE＝90°－∠ABD＝60°，所以∠BHC＝180°－∠BHE＝120°.
21.(宁夏石嘴山质检)如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若AE∥BC，且∠E＝∠CAD，求∠C的度数．
【解析】(1)∵∠1＝∠2＝∠3，
∴∠1＋∠DAC＝∠DAC＋∠2，
即∠BAC＝∠DAE，
又∵∠1＋∠B＝∠ADE＋∠3，
则可得∠B＝∠ADE，
在△ABC和△ADE中
，
∴△ABC≌△ADE(AAS)；
(2)∵AE∥BC，
∴∠E＝∠3，∠DAE＝∠ADB，∠2＝∠C，
又∵∠3＝∠2＝∠1，令∠E＝x，
则有：∠DAE＝3x＋x＝4x＝∠ADB，
又∵由(1)得 AD＝AB，∠E＝∠C，
∴∠ABD＝4x，
∴在△ABD中有：x＋4x＋4x＝180°，
∴x＝20°，
∴∠E＝∠C＝20°.
22．(新疆伊犁模拟)已知：如图，AB＝DE，CD＝FA，∠A＝∠D，∠AFC＝∠DCF，则BC＝EF.你能说出它们相等的理由吗？
【解析】连接CE，BF，如图．
在△ABF和△DEC中，AB＝DE，
∠A＝∠D，FA＝CD，
所以△ABF≌△DEC(SAS).
所以∠3＝∠4，BF＝EC.
因为∠AFC＝∠DCF，
所以∠AFC－∠3＝∠DCF－∠4.
即∠1＝∠2.
在△BCF和△EFC中，BF＝EC，∠1＝∠2，FC＝CF，
所以△BCF≌△EFC(SAS).
所以BC＝EF.
23．(兰州质检)如图所示，工人师傅要在墙壁的O处用电钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开．已知墙壁厚是35 cm，点B与点O的垂直距离AB长是20 cm，在点O处作一直线平行于地面，再在直线上截取OC＝35 cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD＝20 cm，连接OD，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出，这是什么道理？
【解析】在△AOB和△COD中，
所以△AOB≌△COD(SAS).
所以∠DOC＝∠BOA(全等三角形的对应角相等).
又因为∠AOB＋∠BOC＝180°，
所以∠BOC＋∠COD＝180°，
即∠BOD＝180°，
所以D，O，B三点在同一直线上，
所以钻头沿DO方向打孔，一定从B处打出．
24.(内蒙古巴彦淖尔模拟)(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是________．
(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF>EF.
(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
【解析】(1)延长AD至E，使DE＝AD，
连接BE，如图①所示：
因为AD是BC边上的中线，
所以BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
所以△BDE≌△CDA(SAS)，
所以BE＝AC＝6，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB－BE
所以10－6即4答案：2(2)延长FD至点M，使DM＝DF，
连接BM，EM，如图②所示：
同(1)得：△BMD≌△CFD(SAS)，
所以BM＝CF，
因为DE⊥DF，DM＝DF，
所以EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE＋BM>EM，
所以BE＋CF>EF.
(3)BE＋DF＝EF.
证明如下：延长AB至点N，使BN＝DF，
连接CN，如图③所示：
因为∠ABC＋∠D＝180°，∠NBC＋∠ABC＝180°，所以∠NBC＝∠D，
在△NBC和△FDC中，
所以△NBC≌△FDC(SAS)，
所以CN＝CF，∠NCB＝∠FCD，
因为∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，
所以∠BCE＋∠FCD＝70°，
所以∠ECN＝70°＝∠ECF，
在△NCE和△FCE中，
所以△NCE≌△FCE(SAS)，
所以EN＝EF，
因为BE＋BN＝EN，
所以BE＋DF＝EF.
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