28.1 锐角三角函数同步练习（含答案）
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人教版数学九年级下册28.1锐角三角函数小测
一、单选题
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD长为4，sin∠BAC＝，则BC的长为（ ）
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A． B．3 C． D．
2．图1是2002年世界数学大会（ICM）的会徽，其主体图案（如图2）是由四个全等的直角三角形组成的四边形.若，AB＝1，则CD的长为（ ）21教育网
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A． B．
C． D．
3．把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示的方 ( http: / / www.21cnjy.com )式放置于桌面上，AB与螺母相切，D为螺母与桌面的切点，∠CAB=60°.若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（ ）21cnjy.com
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A．cm B．12cm C．cm D．cm
4．如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD＝；④△AMN∽△CAB.正确的有（ ）21·cn·jy·com
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A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
5．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A，B，求∠A的余弦值（ ）
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A． B． C． D．
6．若tanA=2，则∠A的度数估计在（ ）
A．在0°和30°之间 B．在30° 和45°之间
C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（ ）
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A．sinA＝ B．tanA＝ C．cosA＝ D．tanB＝
8．如图，OA过点O、D、C、B四点，连接CO，CD，已知∠DCO=30°，B(4，0)，则D点坐标为（ ）
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A．(0，2) B．(0， ) C．(0， ) D．(0，3)
9．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点A，C的坐标分别是 ， ， ， ，函数 的图象经过点B，则k的值为（ ）
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A． B． C． D．
10．如图，在 ABCD中，∠A＝60°，AD＝2．以点A为圆心，AD为半径作 ，交边AB于点E，G是 的中点，作GF∥BC交CD于点F，以点F为旋转中心，将线段FG按逆时针方向旋转90°至线段FG′，若点G′恰好落在边BC上，则AB的长为（ ） 21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
二、填空题
11．将直线向下平移1个单位长度得到直线l，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，则 ．www.21-cn-jy.com
12．如图，墙上有一个矩形门洞ABCD，现要将其改为直径为4m的圆弧形，圆弧经过点B，C分别交AB，CD于E，F.若m，m，则要打掉的墙体面积为 .
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13．如图，在中，，把沿斜边折叠，得到，过点作于点，交于点，连结若，则的长为 ，的值为 .2·1·c·n·j·y
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14．如图.直线与坐标轴相交于A、B两点，动点P在线段AB上，动点Q在线段OA上、连结OP，且满足，则当 度时，线段OQ的最小值为 .
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15．如图，在 中， ， .按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧交于点E，F；②作直线EF；③以点B为圆心，以BA为半径画弧交直线EF于点G；④连接BG交AC于点P.则 .21·世纪*教育网
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16．如图，平面直角坐标系中，点 ( http: / / www.21cnjy.com )A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sin∠BDC的值是 ．2-1-c-n-j-y
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17．平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点分别为A（－1， 0），B（1， 0），C（－3， 2），设△ABC的外心为P，点P到直线y＝ x－3的距离为 . 21*cnjy*com
18．如下图：直角三角形纸片的两直角边长分别为4，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则 的值是 ． 【来源：21cnj*y.co*m】
三、解答题
19．先化简，再求值：，其中.
20．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点 均在格点上， 交于点 ．
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（1） 的值为 ；
（2）若点 在线段 上，当 取得最小值时，请在如图所示的网格中用无刻度的直尺，画出点 ，并简要说明点 的位置是如何找到的(不要求证明)．
21．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DAB＝120°，BC＝CD，AD＝4，AC＝7，求AB的长度．www-2-1-cnjy-com
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22．已知:如图，在 中， ，垂足为 ,若 .求 的长.
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23．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，
求此菱形的周长．
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24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．【出处：21教育名师】
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（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若AB=8，tanB= ，求线段CF、PC的长．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】C
10．【答案】D
11．【答案】
12．【答案】（）
13．【答案】；
14．【答案】30；2
15．【答案】75°
16．【答案】
17．【答案】3
18．【答案】
19．【答案】解：
＝
＝
＝
＝
＝
＝
当＝ 时，
原式＝
＝
＝
20．【答案】（1）
（2）解：如图：取格点 ，连接 与 相交，得点 ．连接 ，与 相交，得点 ，点 即为所求． 【来源：21·世纪·教育·网】
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21．【答案】解：作DE⊥AC，BF⊥AC，
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∵BC＝CD，
∴ ，
∴∠CAB＝∠DAC，
∵∠DAB＝120°，
∴∠DAC＝∠CAB＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA＝∠DEC＝90°，
∴sin60°＝ ，cos60°＝ ，
∴DE＝2 ，AE＝2，
∵AC＝7，
∴CE＝5，
∴DC＝ ，
∴BC＝ ，
∵BF⊥AC，
∴∠BFA＝∠BFC＝90°，
∴tan60°＝ ，BF2+CF2＝BC2，
∴BF＝ AF，
∴ ，
∴AF＝2或AF＝ ，
∵cos60°＝ ，
∴AB＝2AF，
当AF＝2时，AB＝2AF＝4，
∴AB＝AD，
∵DC＝BC，AC＝AC，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠ADC＝∠ABC，
∵ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
但AC2＝49， ，
AC2≠AD2+DC2，
∴AB＝4（不合题意，舍去），
当AF＝ 时，AB＝2AF＝3，
∴AB＝3．
22．【答案】解：在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴
∴
23．【答案】解：∵ ,
设DE＝12x，则AD＝13x，勾股定理得AE＝5x,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB=13x,
∵BE＝16cm,
∴13x-5x＝16,解得x＝2,
∴ AD=13×2=26cm ,
则菱形的周长=AD×4=26×4=104 cm
24．【答案】（1）证明：连接OC，如图所示：
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∵AB是⊙O直径，
∴∠BCA=90°，
∵OF∥BC，
∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，
∴OF⊥AC，
∵OC=OA，
∴∠B=∠1，
∴∠3=∠2，
在△OAF和△OCF中，
，
∴△OAF≌△OCF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCF=90°，
∴∠OAF=90°，
∴FA⊥OA，
∴AF是⊙O的切线；
（2）∵ ，
∴ ，
设AC=3x，则BC=4x，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=BC2+AC2，
即82=（4x）2+（3x）2，
解得 ，
∴ ， .
∵OF∥BC，
∴ ，
∴ ，
∵AO=4，
∴AF=3，
∴CF=AF=3.
在Rt△AOF中，AF=3，AO=4，
∴FO=5.
∵OF∥BC，
∴△PCB∽△PFO，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ .
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一、单选题
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD长为4，sin∠BAC＝，则BC的长为（ ）
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A． B．3 C． D．
2．图1是2002年世界数学大会（ICM）的会徽，其主体图案（如图2）是由四个全等的直角三角形组成的四边形.若，AB＝1，则CD的长为（ ）21教育网
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A． B．
C． D．
3．把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示的方 ( http: / / www.21cnjy.com )式放置于桌面上，AB与螺母相切，D为螺母与桌面的切点，∠CAB=60°.若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（ ）21cnjy.com
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A．cm B．12cm C．cm D．cm
4．如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD＝；④△AMN∽△CAB.正确的有（ ）21·cn·jy·com
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A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
5．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A，B，求∠A的余弦值（ ）
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A． B． C． D．
6．若tanA=2，则∠A的度数估计在（ ）
A．在0°和30°之间 B．在30° 和45°之间
C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（ ）
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A．sinA＝ B．tanA＝ C．cosA＝ D．tanB＝
8．如图，OA过点O、D、C、B四点，连接CO，CD，已知∠DCO=30°，B(4，0)，则D点坐标为（ ）
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A．(0，2) B．(0， ) C．(0， ) D．(0，3)
9．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点A，C的坐标分别是 ， ， ， ，函数 的图象经过点B，则k的值为（ ）
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A． B． C． D．
10．如图，在 ABCD中，∠A＝60°，AD＝2．以点A为圆心，AD为半径作 ，交边AB于点E，G是 的中点，作GF∥BC交CD于点F，以点F为旋转中心，将线段FG按逆时针方向旋转90°至线段FG′，若点G′恰好落在边BC上，则AB的长为（ ） 21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
二、填空题
11．将直线向下平移1个单位长度得到直线l，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，则 ．www.21-cn-jy.com
12．如图，墙上有一个矩形门洞ABCD，现要将其改为直径为4m的圆弧形，圆弧经过点B，C分别交AB，CD于E，F.若m，m，则要打掉的墙体面积为 .
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13．如图，在中，，把沿斜边折叠，得到，过点作于点，交于点，连结若，则的长为 ，的值为 .2·1·c·n·j·y
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14．如图.直线与坐标轴相交于A、B两点，动点P在线段AB上，动点Q在线段OA上、连结OP，且满足，则当 度时，线段OQ的最小值为 .
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15．如图，在 中， ， .按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧交于点E，F；②作直线EF；③以点B为圆心，以BA为半径画弧交直线EF于点G；④连接BG交AC于点P.则 .21·世纪*教育网
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16．如图，平面直角坐标系中，点 ( http: / / www.21cnjy.com )A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sin∠BDC的值是 ．2-1-c-n-j-y
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17．平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点分别为A（－1， 0），B（1， 0），C（－3， 2），设△ABC的外心为P，点P到直线y＝ x－3的距离为 . 21*cnjy*com
18．如下图：直角三角形纸片的两直角边长分别为4，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则 的值是 ． 【来源：21cnj*y.co*m】
三、解答题
19．先化简，再求值：，其中.
20．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点 均在格点上， 交于点 ．
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（1） 的值为 ；
（2）若点 在线段 上，当 取得最小值时，请在如图所示的网格中用无刻度的直尺，画出点 ，并简要说明点 的位置是如何找到的(不要求证明)．
21．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DAB＝120°，BC＝CD，AD＝4，AC＝7，求AB的长度．www-2-1-cnjy-com
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22．已知:如图，在 中， ，垂足为 ,若 .求 的长.
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23．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，
求此菱形的周长．
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24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．【出处：21教育名师】
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（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若AB=8，tanB= ，求线段CF、PC的长．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】C
10．【答案】D
11．【答案】
12．【答案】（）
13．【答案】；
14．【答案】30；2
15．【答案】75°
16．【答案】
17．【答案】3
18．【答案】
19．【答案】解：
＝
＝
＝
＝
＝
＝
当＝ 时，
原式＝
＝
＝
20．【答案】（1）
（2）解：如图：取格点 ，连接 与 相交，得点 ．连接 ，与 相交，得点 ，点 即为所求． 【来源：21·世纪·教育·网】
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21．【答案】解：作DE⊥AC，BF⊥AC，
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∵BC＝CD，
∴ ，
∴∠CAB＝∠DAC，
∵∠DAB＝120°，
∴∠DAC＝∠CAB＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA＝∠DEC＝90°，
∴sin60°＝ ，cos60°＝ ，
∴DE＝2 ，AE＝2，
∵AC＝7，
∴CE＝5，
∴DC＝ ，
∴BC＝ ，
∵BF⊥AC，
∴∠BFA＝∠BFC＝90°，
∴tan60°＝ ，BF2+CF2＝BC2，
∴BF＝ AF，
∴ ，
∴AF＝2或AF＝ ，
∵cos60°＝ ，
∴AB＝2AF，
当AF＝2时，AB＝2AF＝4，
∴AB＝AD，
∵DC＝BC，AC＝AC，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠ADC＝∠ABC，
∵ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
但AC2＝49， ，
AC2≠AD2+DC2，
∴AB＝4（不合题意，舍去），
当AF＝ 时，AB＝2AF＝3，
∴AB＝3．
22．【答案】解：在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴
∴
23．【答案】解：∵ ,
设DE＝12x，则AD＝13x，勾股定理得AE＝5x,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB=13x,
∵BE＝16cm,
∴13x-5x＝16,解得x＝2,
∴ AD=13×2=26cm ,
则菱形的周长=AD×4=26×4=104 cm
24．【答案】（1）证明：连接OC，如图所示：
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∵AB是⊙O直径，
∴∠BCA=90°，
∵OF∥BC，
∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，
∴OF⊥AC，
∵OC=OA，
∴∠B=∠1，
∴∠3=∠2，
在△OAF和△OCF中，
，
∴△OAF≌△OCF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCF=90°，
∴∠OAF=90°，
∴FA⊥OA，
∴AF是⊙O的切线；
（2）∵ ，
∴ ，
设AC=3x，则BC=4x，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=BC2+AC2，
即82=（4x）2+（3x）2，
解得 ，
∴ ， .
∵OF∥BC，
∴ ，
∴ ，
∵AO=4，
∴AF=3，
∴CF=AF=3.
在Rt△AOF中，AF=3，AO=4，
∴FO=5.
∵OF∥BC，
∴△PCB∽△PFO，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ .
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