山西省晋中市昔阳中学2013届高三3月月考练数学（文）试题

山西省晋中市昔阳中学
2013年高考考前适应性训练考试
数学（文）试题
第Ⅰ卷
选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则= （ ）
A． B． C． D．
2．若平面向量，满足，且，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
3．已知数列的前项和为，点在函数的图象上，则 （ ）
A．24 B．48 C．72 D．96
4．若两直线：与：都与圆相切，则 （ ）
A． B． C．10 D．20
5．下列区间中，能使函数与函数同时单调递减的是 （ ）
A． B．
C． D．
6．给出下面几个命题：
①“若，则”的否命题；
②“，函数在定义域内单调递增”的否定；
③“是函数的一个周期”或“是函数的一个周期”；
④“”是“”的必要条件．
A．4 B．3
C．2 D．1
7．执行如图所示的程序框图，输入，，
则输出的实数的值是 （ ）
A．3 B．9
C．12 D．27
8．一艘轮船从O点的正东方向10km处出发，沿直线向O点的
正北方向10km处的港口航行，某台风中心在点O，距中心
不超过km的位置都会受其影响，且是区间内的一
个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线与抛物线交于P，Q两点，分别过P，Q两点作，垂直于抛物线的准线于，，若，则四边形的面积是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
11．为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是（ ）
A． B．
C． D．
12．对于函数，且，下列说法正确的是（ ）
A．，且，使得在R上不是单调函数
B．，使得方程有两个不等的实数解
C．当时，，使得函数在R上有三个零点
D．，且，函数不存在极值
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）~（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~（24）题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．复数的模是 ．
14．已知变量，满足约束条件，则的最大值是 ．
15．三棱锥的侧棱OA，OB，OC两两垂直且长度分别为2，2，1，则其外接球的表面积是 ．
16．已知函数若恒成立，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
等差数列的前项和为，，．
（1）求；
（2）设，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
在长方形中，C，分别是AB，的中点，且，将长方形沿对折，使平面平面．
（1）求证：；
（2）若D是AB的中点，求证：平面．
19．（本小题满分12分）
“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度时，给出的区间内的一个数，该数越接近10表示越满意．为了解某大城市市民的幸福感，随机对该城市的男、女各500人市民进行了调查，调查数据如下表所示：
幸福感指数
男市民人数
10
20
220
125
125
女市民人数
10
10
180
175
125
根据表格，解答下面的问题：
（1）完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估算该城市市民幸福感指数的平均值；
（参考数据：）
（2）如果市民幸福感指数达到6，则认为他幸福．试在犯错误概率不超过的前提下能否判定该市市民幸福与否与性别有关？
参考公式：
0．10
0．01
0．001
2．706
6．635
10．828
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C：的离心率，以坐标原点O为圆心，半径为（为椭圆的半焦距）的圆O与直线：相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与圆O的公共点为M，与椭圆C的公共点为N，求的面积．
21．（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，半圆O的直径AB的长为4，点C平分弧AE，过C作AB的垂线交AB于D，
交AE于F．
（1）求证：；
（2）若AE是的角平分线，求CD的长．
23．（本小题满分10分）选修4——4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数，）．在极坐标系（以坐标原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为．
（1）把曲线和的方程化为直角坐标方程；
（2）若曲线上恰有三个点到曲线的距离为，求曲线的直角坐标方程．
24．（本小题满分10分）
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式存在实数解，求实数的取值范围．