课件12张PPT。直线 的 参 数 方 程 求过点M0(x0，y0)，倾斜角为?的直线L
的参数方程。
分析解答：由题设条
件，其参数方程为
x=x0+tcos?
y=y0+tsin?
? M(x，y)表示直线L上任意一点；
? t=M0M，它是一个数量，当M在M0的上方
t>0，当M在M0的下方，t<0；
?当?=?/2时，方程化为x=x0。))??M0MQ???xoyt( t ? R ) ? 根据斜率公式把参数方程化为普通方程，
移项，两边相除，(其中cos ?≠0 )
—— =tg? ? y-y=tg?(x-x0) —点斜式方程。
例 1 :写出过点A(1，-2)，倾斜角为45o的直
线L1的参数方程，若L1与L2：x+2y-4=0相交于
B 。(1) 求|AB|； (2)求点B的坐标。
分析解答：L1参数方程直
接写出 x=1+tcos45o=1+ — t
y=-2+tsin45o=-2+ —ty-y0x-x0??A(1，-2)BxoyL1L2?2?2 2 2 (1) 根据参数t的几何意义：每一个t值对应直
线上一点，|t|表示定点到这个点的距离。
把L1的参数方程代入L2的方程
(1+ —t ) +2(-2+ —t )-4=0 ?t= ——
|AB|=|t|= ——
(2)所求的t值的对应点就是B，把它代入参数
方程 x=1+ — —— = —
y=-2+ — —— = —
B点的坐标是(— ，—)?2 2 2?27?2 3 7?2 3?2?27?27?2 3 3 2 2 3 310 110 3 3 1 例 2 圆x2+y2=8内有一点P0(-1，2)，AB为过
P0且倾斜角为? 的弦，
(1)当 ?= —时，求|AB|；
(2)当AB弦被P0 平分时，写出直线AB方程。
分析解答：(1) 直线AB用参
数方程表示
x=-1+tcos135o=-1 -(?2 /2)t
y=2+tsin135o=2+ (?2/2)t
代入圆x2+y2=8 得t2+3?2 t-3=0
方程的两根分别对应点A、B，在P0上方对应
的t为正，下方者对应的t为负，因此3?4AP0(-1，2)Bxoy)??A1B1 |AB|2 =|t1-t2|2 =(t1+t2)2 -4t1t2=(-3?2)2 +4?3=30
|AB|=??30，运算过程，平方式的变形以适
应应用韦达定理，减少计算。
(2) P0是弦A1B1的中点， t1， t2的绝对值相等
符号相反，有t1+ t2=0，设直线A1B1的参数方
程 x=-1+tcos? (-1+tcos?)2+ (2+tsin ?)2=8
y=2+tsin ? ?t2+(4sin? -2cos?)t-3=0
代入x2+y2=8 4sin ? -2cos?=0 tg ?=0.5
展开整理： A1B1：y-2=0.5(x+1)例1、已知P1（1，5）、P2（2，-3），过P1
作一直线l1交x轴于A点，过P2作l1的垂直
线l2交y轴于B点， M为线段AB的中点，
求动点M的轨迹方程xyP1 P2BAMl1l2例 1 、写出过点A(1，-2)，倾斜角为45o的直线L1的参数方程，若L1与L2:x+2y-4=0相交于B 。
(1) 求|AB|； (2)求点B的坐标。
分析解答：L1参数方程直接写出
??A(1，-2)BxoyL1L2 (1) 根据参数t的几何意义：每一个t值对应直线上一点，|t|表示定点到这个点的距离。 把L1的参数方程代入L2的方程
(2)所求的t值的对应点就是B，把它代入参数
，方程 B点的坐标是
例 2、 圆x2+y2=8内有一点P0(-1，2)，AB为过P0且倾斜角为? 的弦，
(1)当 ?= —时，求|AB|；
(2)当AB弦被P0 平分时，写出直线AB方程。
3?4AP0(-1，2)Bxoy?
代入圆x2+y2=8 得t2+3?2 t-3=0
方程的两根分别对应点A、B，
在P0上方对应的t为正，
下方者对应的t为负，因此
|AB|2 =|t1-t2|2 =(t1+t2)2 -4t1t2
运算过程，平方式的变形以适应应用韦达定理，减少计算。 AP0(-1，2)Bxoy?? (2) P0是弦AB的中点， t1， t2的绝对值相等，
符号相反，有t1+ t2=0，
设直线AB的参数方程 x=-1+tcos?
y=2+tsin ?
代入x2+y2=8，
(-1+tcos?)2+ (2+tsin ?)2=8
t2+(4sin? -2cos?)t-3=0
4sin ? -2cos?=0 ， tg ?=0.5
展开整理： AB：y-2=0.5(x+1)课件12张PPT。椭圆的参数方程例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同,点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. 而A、B的坐标可以通过
引进参数建立联系. 设∠XOA=φ例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 解：设∠XOA=φ, M(x, y), 则A: (acosφ, a sinφ),B: (bcosφ, bsinφ),由已知:即为点M的轨迹参数方程.消去参数得:即为点M的轨迹普通方程.2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b知识归纳椭圆的标准方程:椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:圆的标准方程:圆的参数方程: x2+y2=r2θ的几何意义是∠AOP=θ椭圆的参数方程:是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.【练习1】把下列普通方程化为参数方程. 把下列参数方程化为普通方程练习2：已知椭圆的参数方程为 ( 是参数) ，则此椭圆的长轴长为（ ），短轴长为（ ），焦点坐标是（ ），离心率是（ ）。42( , 0)例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
l：x-y+4=0的距离最小.分析1：分析2：分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求.小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。例3、已知椭圆 有一内接矩形ABCD，
求矩形ABCD的最大面积。练习3:已知A,B两点是椭圆
与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.练习41、动点P(x,y)在曲线 上变化 ，求2x+3y的最大值和最小值2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 .
A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段B设中点M (x, y)x=2sinθ-2cosθy=3cosθ+3sinθ再见！课件22张PPT。第二讲 曲线的参数方程1、参数方程的概念： 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时时机呢？提示：
即求飞行员在离救援点的水平距离
多远时，开始投放物资？1、参数方程的概念：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；
（2）沿oy反方向作自由落体运动。 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？1、参数方程的概念： 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。
三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。（2）并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数. 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁,
参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明显意义。
2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样
3.在实际问题中要确定参数的取值范围1、参数方程的概念： 一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数
例1: 已知曲线C的参数方程是
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C
的位置关系；
（2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。 一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力,重力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到1m）变式:2、方程 所表示的曲线上一点的坐标是
（ ） 练习1A、（2，7）；B、 C、 D、（1，0） 1、曲线 与x轴的交点坐标是( )
A、（1，4）；B、 C、 D、B 已知曲线C的参数方程是
点M(5,4)在该 曲线上. （1）求常数a;
（2）求曲线C的普通方程.解:(1)由题意可知: 1+2t=5at2=4解得:a=1t=2 ∴ a=1(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为: x=1+2t y=t2由第一个方程得: 代入第二个方程得: 训练2：思考题：动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨迹参数方程。解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得所以，点M的轨迹参数方程为参数方程求法:
（1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为(x,y)
（2）选取适当的参数
（3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义,
建立点P坐标与参数的函数式
（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程小结：并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上， 那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程，
系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。2、圆的参数方程yxorM(x,y)圆的参数方程的一般形式由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示 的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围。例、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它化为参数方程。解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，∴参数方程为(θ为参数)例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。（2，1）课件65张PPT。一、选择题（每小题6分，共36分）
1.椭圆 （θ为参数）的一个焦点坐标为( )
（A）（ ，0） （B）（0， ）
（C）（ ，0） （D）（0， ）【解析】2.曲线C： (φ为参数）的离心率为( )
（A） （B） （C） （D）
【解析】3.已知点M（3,m)在以F为焦点的抛物线 (t为参数）上，
则|MF|等于( )
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【解析】选D.抛物线 (t为参数）的普通方程为y2=4x,焦
点F（1，0)，准线方程为x=-1,又点M（3,m)在抛物线上，故
|MF|=3-（-1）=4.4.抛物线方程为 (t为参数),则它在y轴正半轴上的截
距是( )
（A）1 （B）2 （C）4 （D）不存在
【解析】选B.当x=-4t2+1=0时，t=± ,
∴y=±2，它在y轴正半轴上的截距是2，故选B.5.已知曲线 (θ为参数，0≤θ≤π)上的一点P，原
点为O,直线PO的倾斜角为 ，则P点的坐标是( )
（A）（3，4） （B）
（C）（-3，-4） （D）
【解析】6.下列参数方程的曲线的焦点在横轴上的是( )【解析】选C.将 （θ为参数）化为普通方程，得
4x2+y2=1，表示焦点在纵轴上的椭圆；将 （t为参数）
化为普通方程，得 ，
表示焦点在纵轴上的抛物线；由于sec2θ-tan2θ=1，
故将 （θ为参数）化为普通方程，得 x2-y2=1，
表示焦点在横轴上的双曲线；
将 （t为参数）化为普通方程，得 y=-3x2，表示焦点在
纵轴上的抛物线.二、填空题（每小题8分，共24分）
7.点P（x,y）在椭圆 上，则x+y的最大值为______.
【解析】答案：8.已知曲线 (t为参数，p为正常数)上的两点M，N对应
的参数分别为t1和t2，且t1+t2=0,那么|MN|=_______.
【解析】显然线段MN垂直于抛物线的对称轴，即x轴，
|MN|=2p|t1-t2|=2p|2t1|=4p|t1|.
答案：4p|t1|9.设y=2sect(t为参数),则9y2-4x2=36的一个参数方程是____
________.
【解析】把y=2sect代入9y2-4x2=36,得
36sec2t-4x2=36.x2=9(sec2t-1),
∴x=±3tant,由参数t的任意性，
可得参数方程是 (t为参数).
答案： (t为参数)三、解答题（共40分）
10.（12分） 若F1,F2是椭圆 的焦点，P为椭圆上不
在x轴上的点，求△PF1F2的重心G的轨迹方程.
【解析】11.（14分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心
率e= ，已知点P（0， ）到这个椭圆上的点的最远距离是
，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于 的点的坐标.【解析】12.（14分）直线l: +2y-6=0与抛物线 交于A、B两
点，求∠AOB的值.【解析】课件18张PPT。4.4.2 参数方程和普通方程的互化 高二（1）班
教师：张青娄思考：1. 思考普通方程与参数方程的异同点。
2.列举我们学习过的曲线的标准方程。
3.曲线的参数方程 表示什么曲线？
参数方程与普通方程： 一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数
并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数.（2） 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程 叫做普通方程。 引例：⑴把参数方程 化为普通方程。1.代入消元法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数参数方程化为普通方程变式1：把下列参数方程化为普通方程，并说明表示什么曲线？
（1）
（2）
这是以（1，1）为端点的一条射线（包括端点）(1,-1)注：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致。
否则，互化就是不等价的. 2.三角法：利用三角恒等式消去参数引例：参数方程 （ 为参
数）化为普通方程分析：由 可得变式2：把下列参数方程化为普通方程（1）
（2）变式3.把参数方程化为普通方程，并说明表示什么图形x3.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去。 例：步骤：
1、消掉参数(代入消元，三角变形，配 方消元)
2、写出定义域（x的范围）参数方程化为普通方程的步骤在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y前后的取值范围保持一致。注意：小结: 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消
去参数
2.三角法：利用三角恒等式消去参数
3.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征,从
整体上消去。化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。普通方程转化为参数方程课件17张PPT。y故点M的轨迹的参数方程是 ( 是参数, )焦点在Y轴上的情况3、抛物线的参数方程xyoM(x,y)( )cxyoBAM小节：
1、抛物线的参数方程的形式
2、抛物线参数的意义课件12张PPT。双曲线的参数方程 y故点M的轨迹的参数方程是 ( 是参数, ) 例 如图, 设 M 为双曲线 上任意一点,
O为原点, 过点 M 作双曲线两渐近线的平行线, 分别与两渐近线交于 A , B 两点. 探求平行四边形 MAOB 的面积, 由此可以发现什么结论? 解: 双曲线的渐近线方程为 . 不妨设M为双曲
线右支上一点, 其坐标为 , 则直线MA的方程为小节：
1、双曲线参数方程的形式
2、双曲线参数方程中参数的意义C课件10张PPT。圆的参数方程圆的参数方程的一般形式由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示 的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围。例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。（2，1）A、 36 B、 6
C、 26 D、 25（ ）A课件13张PPT。圆的参数方程的应用学习目标：能熟练应用圆的参数方程解题
下一页复 习教学过程一.知识回顾：1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程：2.圆心在点（a，b），半径为r的圆
的参数方程为:3.已知圆的参数方程 ，
则它的普通方程为：4.已知圆的普通方程为 ，
将其化为参数方程：下一页二.例题讲解：（一）.利用圆的参数方程求最值
（二）.利用圆的参数方程求轨迹方程
（三）.利用圆的参数方程求字母的取值范围
（四）.课堂小结
（五）课后作业：例1练习1例2练习2练习3例4例3进入进入例1.若实数x，y满足 求x－y的最大值返回解：将圆的方程化为：所以圆的参数方程为：代入x－y 得：所以x－y 的最大值为例2.求函数 的最大值和最小值返回解： 可看成两点 , A(2,1) 连线的斜率
且p在圆 上运动，过定点A作圆的两条切线
AP1， AP2，则AP1斜率最小且最小值为0， AP2的斜率最大，
下面求AP2的斜率因为AP2与圆 相切，所以圆心
到切线的距离 两边平方
整理得 ，所以，k=0或 k=
所以AP2的斜率为设AP2的斜率为k，则AP2的方程为
即例3.点A(p,q)在圆 上移动，求点B（p+q,pq）的轨迹方程返回解：圆的参数方程为：
所以
设B(x,y)，则：
例4.已知对于圆 上任一点P(x,y)不等式 恒成立，求实数m的取值范围返回解：由 得其参数方程为：
代入 得
所以有
进而
所以
所以m的取值范围为
课堂小结：1.利用圆的参数方程求最值
2.利用圆的参数方程求轨迹方程
3.利用圆的参数方程求字母的取值范围返回练习1.已知 则x+y的最小值
为：返回练习2.曲线C的参数方程为
则 的取值范围（ ）
A.
B.
C.
D.
返回练习3.经过圆 上任一点P作y轴垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程返回思考题：1.（2002年全国新课程）曲线 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值为（ ）
A. B. C.1 D.2.已知P是弧 上的动点，以原点O为端点
的射线OP交直线y=4于点Q，线段PQ的中点为M，求点M的
轨迹的参数方程下一页D课件15张PPT。圆锥曲线的参数方程复习课件21张PPT。直线的参数方程请同学们回忆:我们学过的直线的普通方程都有哪些?两点式:点斜式:一般式: 求这条直线的方程.解:要注意:
, 都是常数,t才是参数 求这条直线的方程.M0(x0,y0)M(x,y)xOy解:在直线上任取一点M(x,y),则思考|t|=|M0M|xyOM0M解:所以,直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.这就是t的几何意义,要牢记分析:3.点M是否在直线上1.用普通方程去解还是用参数方程去解;2.分别如何解.例1ABM(-1,2)xyO例1解:因为把点M的坐标代入直线方程后,符合直线方程,所以点M在直线上.易知直线的倾斜角为把它代入抛物线y=x2的方程,得探究练习小结:1.直线参数方程2.利用直线参数方程中参数t的几何意义,简化求直线上两点间的距离.3.注意向量工具的使用.探究:直线的参数方程形式是不是唯一的|t|=|M0M|作业:p41第1题预习:例2,例3.例45.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的分速度分别是3m/s和4m/s,直角坐标系的长度单位是1cm,点M的起始位置在点M0(2,1)处,求点M的轨迹的参数方程.???分析:此时,若t>0,则
的方向向上;
若t<0,则
的点方向向下;
若t=0,则M与点
M0重合.我们是否可以根据t的值来确定向量
的方向呢?辨析:例:动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向分速度分别为9,12,运动开始时,点M位于A(1,1),求点M的轨迹的参数方程.解:请思考:此时的t有没有明确的几何意义?没有重要结论:直线的参数方程可以写成这样的形式:
