湖南省长沙市宁乡市2022年高中学业水平模拟（5月）数学试题（Word版含答案）

宁乡市2022年5月高中学业水平模拟考试
数学试题卷
本卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量90分钟，满分100分.
选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，，则
A． B．
C． D．
2. 函数的定义域为
A． B．
C． D．R
3. 化简
A． B．
C． D．
4. 不等式的解集是
A． B．
C． D．
5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是
A． B．
C． D．
6. 设为虚数单位,则复数
A. B.
C. D.
7. 某地区连续六天的最低气温(单位:℃)为: 则该六天最低气温的平均数和方差分别为
A. 7和1 B.8和
C. 7和 D.8和
8. 如图,长方体中,
则
A.1 B.
C.2 D.
9. 在中，角所对的边分别为，若，则
A. 或 B. 或
C. D.
10. 已知平面和直线，则下列说法正确的是
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11. =
A. B.
C. D.
12. 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式是
A. B.
C. D.
13. 若，则=
A. B.
C. D.
14. 设，则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件
15. 如图，在三棱锥中，为棱的中点，若
，则异面直线
与所成的角为
A. B.
C. D.
16. 若平面向量的夹角为，且，则
A. B.
C. D.
17. 小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则
A. B.
C. D.
18. 某种商品进货价为每件元，售价为进货价的，因库存积压，若按折出售，每件还可获利
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）
19. 函数的最小正周期为
20. 已知平面向量满足，则_____
21. 命题“”的否定是
22. 袋中装有五个除颜色外完全相同的球，其中2个白球，3个黑球，从中任取两球，则取出的两球颜色相同的概率是______.
三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
23. (本小题满分10分)
某班50名学生在一次百米测试中，成绩（单位：秒）全部介于13与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[17,18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.若从第一、第五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩一个在第一组，一个在第五组的概率.
24. (本小题满分10分)
如图，三棱锥中，,, ,，是的中点，点在线段上.
(1)求证：;
(2)若平面, 求四棱锥的体积.
(参考公式：锥体的体积公式，其中是底面积，是高.)
25. (本小题满分10分)
已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性;
（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围
2022年5月高中学业水平模拟考试
数学科(参考答案)
本卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量90分钟，满分100分.
选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
答案 A c B D C B C D A C C A D A C B D B
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）
19. 20, 21.
22.
三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
23. 解：由频率分布直方图知
成绩在第一组[13,14)的人数为50×0.06=3人，
设这3人的成绩分别为a,b,c. 2分
成绩在第五组[17,18]的人数为50×0.04=2人，
设这2人的成绩分别为x,y. 3分
用(m,n)表示从第一、五组随机取出两个成绩的基本事件，
当m,n∈[13,14)时，有（a,b）,(a,c),(b,c),共3种情况 5分
当m,n∈[17,18]时，有(x,y)1种情况 6分
当m,n分别在[13,14)和[17,18]时，有(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),
共6种情况， 7分
所以基本事件总数为10，所求事件所包含的基本事件数为6 8分
所以，所求事件的概率为P= 10分
24. 解:(1)∵,,平面,
平面,，
∴平面.
又平面，∴. 4分
(2)∵平面, 平面,平面平面，
∴.
又为的中点，∴为的中点.
∴.
∵, ，
∴.
∴.
由(1)得平面,
∴是四棱锥的高.
∴. 10分
25. 解：(1)因为在定义域为上是奇函数，
所以=0，即 2分
（2）由(1)知，
设则
因为函数y=2在R上是增函数且 ∴>0
又>0 ∴>0即
∴在上为减函数. 6分
（3）因是奇函数，从而不等式：
等价于，
因为减函数，由上式推得：．
即对一切有：，
从而判别式 10分