北师大版九年级下册 1.1.1锐角三角函数课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
第一章
直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
（第1课时）
1.经历探索刻画梯子倾斜程度的过程，理解正切的概念.
2.了解坡度、坡角的概念，并能用正切进行简单的计算.
学习目标
重点难点
重点：理解正切的概念.
难点：理解正切为什么能够刻画梯子的倾斜程度.
生活中的梯子
梯子是我们日常生活中常见的物体.
情境导入
你会比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
实例1:如图①②，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？
图①
图②
实例2:如图③④，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
梯子的铅直高度与其水平距离的比相同时，梯子就一样陡.
比值大的梯子陡.
你能设法验证这个结论吗？
图③
图④
　　如图，小明想通过测量AC1及B1C1，算出他们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量AC2及B2C2，算出他们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？
A
C2
C1
B2
B1
1
知识点
正切
知识点1
感悟新知
C2
(1)直角三角形A B1C1和直角三角形A B2C2有什么关系
(2) 和 有什么关系
(3)如果改变B2在梯子上的位置呢 由此你能得出什么结论
由感性到理性
C2
C1
A
B2
B1
知识点1
(1)Rt△ A B1C1和Rt△ A B2C2有什么关系
相似
(2)
A
C2
C1
B2
B1
知识点1
∵∠A=∠A ，∠AC1B1=∠AC2B2，
∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2.
A
C2
C1
B2
B1
知识点1
在直角三角形中，若一个锐角确定,那么这个角对边与邻边的比值也是确定的.
归 纳
知识点1
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
∠A的对边
∠A的邻边
tan A
∠A的正切
在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边的比随之确定,这个比叫作
∠A的正切.
记作:tan A.
读？
思考 梯子的倾斜程度与tan A有关系吗？
知识点1
（1）tan A是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐角（注意构造直角三角形）.
（2）tan A是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”.
注意：
知识点1
（3）tan A是一个比值（直角边之比，注意比的顺序）；且tan A ﹥0，无单位.
（4）tan A的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的大小无关.
知识点1
议一议：
梯子的倾斜程度与tan B有什么关系？
tan B的值越大，梯子越陡，∠B越大.

怎样解答
A
B
C
知识点1
归 纳
(1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾
斜角较大的物体，就说它放得更“陡”．
(2)利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程
度，因为夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放
置得越“陡”．
知识点1
例１ 如图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
乙
甲
13 m
5 m
6 m
8 m
知识点1
解：甲梯中，
tan α= .
乙梯中，
tan β＝ .
因为tan β＞tan α，所以乙梯更陡.
知识点1
例2 在△ABC中，∠C=90°，BC=12 cm，AB=20 cm，求tan A和tan B的值.
20
12

怎样解答
A
B
C
知识点1
tan A=
tan B=
.
解：在△ABC中，∠C＝90°，所以AC= =16(cm),
知识点1
解题小结
直角三角形中求锐角正切值的方法：
(1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；
(2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利
用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义
求解．
知识点1
例3（桂林中考）如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD＝________．
根据题意得∠BCD＝∠CAB，
所以tan ∠BCD＝tan ∠CAB＝
解析：
答案：
知识点1
解题小结
直接求某个锐角的正切值有困难时，可以考虑利
用中间量进行转化，可以是相等的角作为中间量，还
可以利用相似，得到相等的比作为中间量．
知识点1
2
知识点
坡度和坡角
探究
如图是某一大坝的横断面.
坡面AB的垂直高度与水平宽度AE的长度之比与α有什么关系？
α
A
C
B
D
E
坡面AB与水平面的夹角叫作坡角.
知识点2
正切通常也用来描述山坡的坡度.
坡度：铅直高度与水平宽度的比，记作 i ，也称为坡比.
E
F
A
B
C
D
50 m
60 m
tan A=5/6
知识点2
例4 以下对坡度的描述正确的是(　　 )
A．坡度是指倾斜角的度数
B．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比
C．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比
D．坡度是指斜坡的高度与斜坡长度的比
错解分析：概念不清，误以为坡度是一个角度，而猜测
坡度即为倾斜角的度数．
B
知识点2
特别提醒：坡度的概念，一要记住是一个比值而不是角度，二要明确坡度其实就是坡角的正切．
解：由勾股定理可知，
AC＝ ＝ ≈192.289(m)，
∴tan ∠BAC＝ ≈ ≈0.286.
所以，山的坡度大约是0.286.
例5 如图，某人从山脚下的点A走了 200 m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的 垂直距离为55 m，求山的坡度（结果精确到0.001).
B
知识点2
1.判断对错:
(1)如图1， tan A= 　.　（ 　 ）
(2)如图1， tan B = .　（　 ）
图1
错
错

怎样解答
A
B
C
随堂练习
(４)如图2，tan B=　.　　　 （ ）　　　　　　
图2
(３)如图2，tan A=0.7 m.　　（ 　）
错
对

怎样解答
A
B
C
10 m
7 m
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，tan A的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定
C
3.如图，△ABC是等腰三角形，AB=BC,你能根据图中所给数据求出tan C吗？
tan C=
B
A
C
D
4
1.5
4. 在等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求tan B.
tan B=12/5
13
13
10
D
5
12
B
A
C
D
5.如图，∠C=90°，CD⊥AB，则
tan B= .
CD
BD
AC
BC
AD
CD
A
B
C
D
（1）正切的定义：∠A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作tan A，即tan A＝
A
B
C
∠A的对边a
┌
斜边c
∠A的邻边b
（2）正切与坡度（角）的关系：
坡度就是坡角的正切．
课堂小结
（3）数形结合的方法；构造直角三角形的意识.