2021-2022学年度梅州中学高一第二学期数学午测（4）（PDF版含解析）

梅州中学高一第二学期第四周午测题
一、单选题
1．如果 a,b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ）
A．a = b B．a b =1
C．a = b D． a = b
2．已知向量 a = ( 3,2)，b = (4, 2 )，若 (a +3b)∥ (a b)，则实数 的值为（ ）
2 7 4 7
A． B． C． D．
3 4 3 5
3．已知四边形 ABCD的三个顶点为 A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且BC = 2AD，则
顶点 D的坐标为（ ）
7 1
A． (2, ) B． (2, )
2 2
C．(3，2) D．(1，3)
4．已知平面直角坐标系内一点P(2, 3)，向量PM = (1,2)，向量PN = ( 2,0)，那么
MN 中点坐标为（ ）
3 3 5 3
A． , 2 B． , 1 C． , 4 D． , 1
2 2 2 2
5．已知向量a，b 满足 | a |=1， | b |= 2， | a b |= 3，则a与b 的夹角为（ ）
2
A． B． C． D．
6 4 3 3
6．已知 a = 2，向量a与向量b 的夹角为120 ， e是与b 同向的单位向量，则a在b 上
的投影向量为（ ）
A． e B． 3e C． 3e D． e
7．一艘船以 4 km/h 的速度与水流方向成 120°的方向航行，已知河水流速为 2 km/h，
则经过 3 h，则船实际航程为( )
A．2 15 km B．6 km C．2 21 km D．8 km
1 3
8．边长为 2 的正方形 ABCD中，DE = EC ， AF = AD ，则 AE BF =（ ）
2 5
13 6 16 14
A． B． C． D．
15 5 15 15
二、多选题
9．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．已知a，b 均为非零向量，若a//b，则存在唯一实数 ，使得a λb
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1 1
B．在 ABC中，若 AD = AB + AC，则点D 为BC边上的中点
2 2
C．已知a，b 均为非零向量，若 a +b = a b ，则 a ⊥ b
D．若a c = b c且 c 0，则a = b
10．已知向量a =（1，1），b =（0， 2），则（ ）
A．a b = b
B． (2a +b ) ⊥ b
C． a b与a可以作为一组基底
D．b 在a方向上的投影为 1
三、填空题
11．已知a = (2,3) ，b = (3, x)，若a b = 0，则 | a + b |=_______．
12．已知向量a=(1, 3),b = ( 3,1) ，若 a与 b夹角为 ，则 tan = _________.

13．在△ABC中， C = ， AC = BC = 2，M为 AC的中点，P在线段 AB上，则
2
MP CP的最小值为________
四、解答题
14．在 ABC中，内角A 、 B 、C 所对的边分别为a,b,c，已知 a = 3 ，b = 2 ，

C ．
4
（1）求c的值和cos B的值；

（2）求sin B + 的值．
4
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参考答案：
1．D
两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项 A、C 不正确；由于两个单位向量的夹
角不确定，则a b =1不成立，所以选项 B 不正确； a = b =1，则选项 D 正确．
故选：D.
2．C
由已知得a +3b = (9,2 6 )， a b = ( 7,2+ 2 )，
∵ (a +3b)∥ (a b)，
4
∴9(2+2 ) ( 7)(2 6 ) = 0，解得 = ，
3
故选：C .
3．A
设顶点D的坐标为 (x, y)
BC = (4,3) ， AD = (x, y 2)，
且BC = 2AD，
x = 2
2x = 4
7
2y 4 = 3 y =
2
故选：A ．
4．A
由题意M 点坐标为 (2, 3)+ (1,2) = (3, 1) ，N 点坐标为 (2, 3) + ( 2,0) = (0, 3)，
1 3
所以MN 中点坐标为 [(3, 1) + (0, 3)] = ( , 2) ．
2 2
故选：A．
5．C
因为 | a b |= 3，
→2 →2 → → → →
所以 a + b 2a b = 3, 1+ 4 2 1 2 cos a,b = 3，
→ → 1 → → → →
所以cos a, b = , a, b [0, ], a, b = .
2 3
故选：C
6．D
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解：因为 a = 2，向量a与向量b 的夹角为120 ， e是与b 同向的单位向量，
所以a在b 上的投影向量为
1
a cos120 e = 2 e = e，
2
故选：D
7．B
设船的速度为a，水的速度为b ，则船的实际航行速度为a+b，于是有
(a +b)2 = a2 + a b +b 2
1
=16+ 2 4 2 ( ) + 4
2
=12
a + b = 2 3
船实际航程为2 3 3 =6．答案 B．
8．C
2 6
以 A 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则 A(0,0) , E , 2 , B(2,0) , F 0, ,
3 5
2 6 4 12 16
故 AE = , 2 , BF = 2, ,则 AE BF = + = ,
3 5 3 5 15
故选:C．
9．ABC
A 选项，根据向量共线的知识可知，A 选项正确，
1 1 1
B 选项， AD = AB + AC = (AB + AC )，根据向量加法的运算可知点D 为BC边上的中
2 2 2
点，B 选项正确.
C 选项，由 a +b = a b 两边平方并化简得a b = 0，所以 a ⊥ b，C 选项正确.
D 选项，a c = b c是一个数量，无法得到两个向量a,b相等，D 选项错误.
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10．BC
解：∵a b = 2,| b |= 2，∴a b = | b |，选项 A 错误；
2a + b = (2,0)，∴ (2a +b) b = 0，∴ (2a + b) ⊥ b，选项 B 正确；
∵a b = (1,3),a = (1,1)，∴ a b与a都是非零向量，且 a b与a不共线，
∴ a b与a可以作为一组基底，选项 C 正确；
a b a b 2
b 在a方向上的投影为 | a | cos a,b =| b | = = = 2 ，选项 D 错误；
| a | | b | | a | 2
故选：BC．
11． 26
因为a = (2,3) ，b = (3, x)，若a b = 0，
所以2 3+3x = 0，解得： x = 2 ，
所以b = (3, 2) ，所以a +b = (5,1)，
所以 | a +b |= 52 +12 = 26 .
故答案为： 26 .
3
12．
3
(1, 3 ) ( 3,1) 3
解析：由已知得cos = =2 2 ，
12 + ( 3 ) ( ) 23 +12
∵ [0, ]，
3
∴ = ，∴ tan = .
6 3
3
故答案为：
3
7
13．
8
如图：以线段 AB的中点为坐标原点，线段 AB所在直线为 x轴，线段 AB的垂直平分线为
y 轴建立平面直角坐标系，
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2 2
则M , ,C 0, 2 ( )，设P(x,0)， 2 x 2 ，
2 2
2 2 2 2
则MP CP = x , (x, 2 ) = x x +1= x2 x +1 ，
2 2 2

2
2
2 2 2 2 7
当 x = 时， (MP CP) = +1=
4 min 4 2 4 8
7
故答案为： .
8
2 5 3 10
14．（1）c = 5 ， ；（2） .
5 10

（1） a =3，b = 2 ，C 由余弦定理，有c
2 = a2 +b2 2abcosC = 5， c = 5
4
a2 + c2 b2 9+5 2 12 2 5
由余弦定理的推论，得cos B = = = =
2ac 2 3 5 6 5 5
2 5 5
（2） B (0, ),cos B = ， sin B = 1 cos2 B =
5 5
3 10
sin B + = sin Bcos + cos Bsin =
4 4 4 10
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