选择性必修第二册 第五章一元函数的导数及其应用
一、单选题
1.函数在上的最大值与最小值分别为( )
A. B. C. D.
2.已知函数,则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
3.函数在上的最小值为( )
A. B.4 C. D.
4.设函数在上可导,其导函数为,且函数的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数有极大值和极小值
B.函数有极大值和极小值
C.函数有极大值和极小值
D.函数有极大值和极小值
5.函数的极小值为( )
A. B. C. D.
6.设为实数,函数,且是偶函数,则的单调递增区间为( )
A. B.,
C. D.
7.设,,…,,则( )
A. B. C. D.
8.已知函数,则在上不单调的一个充分不必要条件是( )
A. B.
C. D.
9.已知函数,其中为函数的导数,则( )
A. B. C. D.
10.若不等式对于一切恒成立,则的最小值是( )
A.0 B. C. D.
11.已知函数的定义域为,导函数在区间上的图象如图所示,则函数在区间上的极大值点的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
12.函数在上的最大值为2,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.若直线与曲线相切,则_________.
14.已知函数,则在处的导数________.
15.已知函数在处的切线方程为,则满足的的取值范围为_________.
16.已知定义在上的函数的导函数为,且满足,,则的解集为_________.
三、解答题
17.已知函数,().
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数有两个零点,求的取值范围.
18.已知函数,.
(1)讨论函数在区间的极值;
(2)若函数在处取得极值,对,恒成立,求实数的取值范围.
19.己知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)对于时,,若对任意都有成立,求实数的取值范围.
20.已知函数f(x)=ex-ax-a(其中e为自然对数的底数).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若对任意x∈(0,2],不等式f(x)>x-a恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设n∈N*,证明:.
21.已知函数
(1)当时,求的最小值;
(2)在区间内任取两个实数,若不等式恒成立,求实数a的取值范围;
(3)求证:(其中).
试卷第1页,共3页
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参考答案:
1.A
利用导数法求解.
【详解】
解:因为函数,
所以,
令,得,
当或时,,当时,,
又,
所以在上的最大值与最小值分别为,
故选:A
2.C
求出函数的导函数即可求出,再根据点斜式求出切线方程;
【详解】
解:∵的导数为,
∴.∵,∴曲线在点处的切线方程为,即.
故选:C.
3.D
求出导数,由导数确定函数在上的单调性与极值,可得最小值.
【详解】
,所以时,,递减,时,,递增,
所以是在上的唯一极值点,极小值也是最小值..
故选:D.
4.B
由函数图象,确定的零点并判断的区间符号,进而可得的单调性,即可知极值情况.
【详解】
由图知:当时,有、,
∴,,
又时,而则,即递增;
时,而则,即递减;
时,而则,即递增;
时,而则,即递增;
综上,、上递增;上递减.
∴函数有极大值和极小值.
故选:B
5.A
利用导数分析函数的单调性,可求得该函数的极小值.
【详解】
对函数求导得,令,可得或,
列表如下:
减 极小值 增 极大值 减
所以,函数的极小值为.
故选:A.
6.B
先利用定义算出,在求导算出单调区间.
【详解】
因为,所以,
因为是偶函数,所以对恒成立,
即,即,
所以,所以,令,解得或,
所以的单调递增区间为,.
故选:B.
7.D
由已知条件求得的周期为4,从而可求得结果
【详解】
因为,所以,
所以,,
,
所以可知其周期为4,
所以,
故选:D
8.D
求出函数的导数,问题转化为函数与x轴在上有交点,即求.
【详解】
函数的定义域为,,
令,
若在上不单调,则函数与x轴在上有交点,
又,
则,
解得,
故在上不单调的一个充分不必要条件是.
故选:D.
9.B
将函数解析式变形为,求得,进而可求得所求代数式的值.
【详解】
,
所以,,
,函数的定义域为,
,
所以,函数为偶函数,
因此,.
故选:B.
结论点睛:本题考查利用函数奇偶性求值,关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性,有如下结论:
(1)可导的奇函数的导函数为偶函数;
(2)可导的偶函数的导函数为奇函数.
在应用该结论时,首先应对此结论进行证明.
10.C
采用分离参数将问题转化为“对一切恒成立”,再利用基本不等式求解出的最小值,由此求解出的取值范围.
【详解】
因为不等式对于一切恒成立,
所以对一切恒成立,
所以,
又因为在上单调递减,所以,
所以,所以的最小值为,
故选:C.
本题考查利用基本不等式求解最值,涉及不等式在给定区间上的恒成立问题,难度一般.不等式在给定区间上恒成立求解参数范围的两种方法:参变分离法、分类讨论法.
11.B
通过导函数的图象得到导函数的符号,进而得到原函数的单调性,进而判断出极大值个数.
【详解】
极大值点在导函数的零点处,且满足零点的左侧为正,右侧为负,由导函数的图象可知极大值点共有3个.
故选:B.
12.D
求得导函数的解析式,根据导函数在区间(0,2)内的正负的不同情况,分类讨论研究函数的单调性和最大值,从而求得实数的取值范围.
【详解】
解:由函数的解析式可得:,
当≤0时,即时,在内恒成立,函数在区间上单调递增,而,不合题意;
当≥2,即时,在内恒成立,函数导函数在区间[0, 2]上单调递减,而f(0)=2 ,满足题意;
当,即时,在区间上, 函数单调递减,在区间 上, 函数单调递增,满足题意时有 ,即: , 解得 ,此时 ,
综上可得,实数的取值范围是[4 , +∞) .
故选: D.
本题考查利用导数研究函数的最值,关键是分类讨论思想的运用.
13.
设切点为,根据导数的几何意义可推导得到,根据切点坐标同时满足直线与曲线方程可构造方程求得,代入可得结果.
【详解】
设直线与曲线相切于点,
由得:,,,
又,,解得:,
.
故答案为:.
14.
求导后代入即可得到结果.
【详解】
,,.
故答案为:.
15.
因为,可得,即,所以,是上的增函数,结合已知,即可求得答案.
【详解】
,
,
,
,是上的增函数,
又,,
,
.即
故答案为:
本题主要考查了根据切线方程求参数和解函数不等式,解题关键是掌握导数求切线方程的方法和导数判断函数单调的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
16.
构造新函数,利用已知可以判断出新函数的单调性,最后利用单调性进行求解即可.
【详解】
设,因为,
所以是上的减函数,
因为,所以,
因此.
所以的解集为.
故答案为:
17.(1)答案见解析;(2).
(1)确定函数的定义域和导函数,分别在和两种情况下,根据导函数的正负确定原函数的单调性;
(2)将问题转化为与有两个不同的交点,根据过的曲线的切线的斜率确定临界状态,利用数形结合的方法确定范围.
【详解】
(1)定义域为,,
令,解得:,
当时,在上恒成立,在上单调递增;
当时,若时,;若时,;
在上单调递增,在上单调递减;
综上所述:当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.
(2)令,则,
过点作的切线,设切点为,
则切线斜率,解得:,切线斜率,
若有两个零点,则与有两个不同的交点,如下图所示:
由图象可知:当时,与有两个不同的交点,
即若函数有两个零点,的取值范围为.
方法点睛:已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法:
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解
18.(1)答案见解析
(2)
(1)先讨论的单调性再确定在上的极值(2)利用极值点处的导数为求出,代入恒成立的不等式中,用分离参数法求的取值范围
(1)
在区间上, ,
当时, 恒成立, 在区间上单调递减,
则在区间上无极值;
当时,令得,
在区间上,,函数单调递减,
在区间上,,函数单调递增.
若,即,则在区间上极小值
若或,即或,则在区间上无极值
(2)
因为函数在处取得极值,
所以,解得,经检验可知满足题意
由已知,即,
即对恒成立,
令,则,
当时,;当时,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,
即.
19.(1)详见解析;(2).
(1)求导,分,讨论求解;
(2)由,得到在上递增,在上递减,不妨设,将对任意都有,转化为在上成立,令,在上递减求解.
【详解】
(1)因为函数,
所以,
当时,,所以在上递增;
当时,令,得,
当时,,所以在上递减,
当时,,所以在上递增.
(2)当时,在上恒成立, 则在上递增,
在上恒成立,则在上递减,
不妨设,因为对任意都有,
所以在上成立,
即在上成立,
令,在上递减,
所以在上成立,
即在上成立,
令在上递增,
所以,
所以.
20.(1)f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增;(2)(-∞,e-1);(3)证明见解析.
(1)首先求函数的导数,再讨论和两种情况,求函数的单调性;(2)不等式转化为恒成立,再利用参变分离,转化为,恒成立,转化为求函数的最小值;(3)由(1)可知,,通过换元得到<,即,利用放缩法,证明不等式.
【详解】
(1)因为f(x)=ex-ax-a,所以f′(x)=ex-a,
①当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)在区间R上单调递增;
②当a>0时,令f′(x)>0,x>ln a,令f′(x)<0,x所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
(2) 因为对任意的x∈(0,2],不等式f(x)>x-a恒成立,
即不等式(a+1)x即当x∈(0,2]时,a<-1恒成立.
令g(x)=-1(x∈(0,2]),则g′(x)=.
令g′(x)>0,1所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增.
∴x=1时,g(x)取最小值e-1.
所以实数a的取值范围是(-∞,e-1).
(3)证明 :在(1)中,令a=1可知对任意实数x都有ex-x-1≥0,
即x+1≤ex(当且仅当x=0时等号成立).
令x+1=(k=1,2,3,…,n),
则<,即,
故.
关键点点睛:本题考查用导数研究函数的单调性,函数的极值点,以及证明不等式.解题关键是问题的转化.如不等式恒成立,转化为求函数的最值或取值范围,不等式的证明采用,这个关键的不等式入手, 从而再用换元法证得结论.解题中注意变化的技巧与方法.
21.(1)
(2)
(3)证明见解析
(1)当时,利用导数求得的最小值.
(2)将问题转化为,利用构造函数法,结合导数求得的取值范围.
(3)由(2)得到,结合放缩法、裂项求和法证得不等式成立.
(1)
时,,
,
所以在递减,在递增.
所以.
(2)
,
表示点与点连线的斜率,又,
,即函数图象在区间任意两点连线的斜率大于1,
即在区间内恒成立,
所以,当时,恒成立,所以,
设
若
当单调递减;当单调递增,
,
又,
故.
(3)
由(2)得,,∴,∴,
∴,
,
∴.
利用导数求解含参数的不等式问题,可考虑利用分离常数法,通过构造函数并利用导数来进行求解.
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