6.3二项式定理 同步练习（Word版含解析）

6.3二项式定理 同步练习
一、单选题
1．如果的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数是（ ）
A．90 B．80 C．-90 D．-92
2．已知是数列的前n项和，若，数列的首项，则（ ）
A． B． C．2021 D．
3．二项式的展开式中常数项为，则含项的系数为（ ）
A． B． C．6 D．15
4．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
5．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
6．今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是（ ）
A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五
7．在的展开式中，的系数是（ ）
A．20 B． C． D．
8．若（a，b为有理数），则a=（ ）
A．-25 B．25 C．40 D．41
9．若的展开式中项的系数是，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
10．的展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
11．若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A． B． C． D．
12．的展开式中，的系数（ ）
A． B．5 C．35 D．50
二、填空题
13．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为_________.
14．的展开式中的系数为__________．
15．已知的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中项的系数是__________.
16．习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图所示，在由二项式系数所构成的“杨辉三角中，第10行第8个数是______．
三、解答题
17．已知.
（1）若展开式中各项系数之和为，求展开式中二项式系数最大的项；
（2）若展开式中前3项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项.
18．在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求展开式中x的一次项．
19．在的展开式中.求：
（1）所有项的系数和；
（2）的系数；
（3）系数最大的项.
20．已知，其中．
(1)若，，求的值；
(2)若，，求的值．
21．设．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
根据条件求出，然后写出其通项公式，然后可算出答案.
【详解】
令，得展开式中各项系数之和为.由，得，
通项公式为，
令，得，所以的系数是
故选：C
2．A
通过对二项展开式赋值求解出的值，然后通过所给的条件变形得到为等差数列，从而求解出的通项公式，即可求解出的值.
【详解】
令，得.
又因为，所以.
由，得，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
所以，所以.
故选：A.
本题考查二项展开式与数列的综合运用，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.解答问题时注意的运用.
3．A
先写出二项式的展开式生的通项公式，由通项公式结合条件先求出参数，再根据通项公式可求出答案.
【详解】
二项式的展开式生的通项公式为
当时，为常数项.则，
令，得，所以含项的系数.
故选：A
4．D
先通过展开式的通项公式求解出的展开式中项的系数，然后利用乘法运算求解出的展开式中项的系数.
【详解】
设的展开式的通项公式为，
令，；令，，
所以的展开式中项的系数为：，
故选：D.
思路点睛：求解形如的展开式问题的思路：
（1）若中有一个较小，可考虑将它展开，如，然后分别求解；
（2）观察是否可以合并，如；
（3）分别得到，的通项，综合考虑.
5．B
由已知可得出，写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】
，
的展开式通项为，的展开式通项为，
所以，的展开式通项为，
其中，，且、，
令，可得或或，
因此，的展开式中的系数为.
故选：B.
结论点睛：的展开式通项为.
6．C
运用二项式展开式可得被7除得余数为1，即可得结果．
【详解】
所以被7除得余数为1，故经过天后是星期四
故选：C
7．D
根据，转化为求的展开式和的系数，求出通项即可得到答案.
【详解】
，
的展开式的通项是，
令，则，则的展开式中的系数为，
令，则，则的展开式中的系数为，
故展开式中的系数是.
故选：D.
本题考查二项展开式中指定项系数的求解，属于基础题.
8．D
先求得二项式的展开式的通项公式，然后令求解.
【详解】
二项式的展开式的通项公式为：，
则，
故选：D
9．A
根据二项式的通项及特定项系数求参数值.
【详解】
二项展开式的通项为，
令，解得，
则，，
解得，
故选：A.
10．D
利用展开式的通项公式，分别求得和的展开式的常数项，再求和即可.
【详解】
的展开式的通项公式为，
令，解得，
所以展开式的常数项为，
的展开式的通项公式为，
令，解得，
所以展开式的常数项为，
所以的展开式中的常数项为-32+70=38
故选：D
11．A
令，根据题意求得，再利用二项式展开式的通项公式即可求得结果.
【详解】
因为二项式的展开式中所有项的系数和为，
故令，则，解得，
对二项式，其展开式的通项公式，
又其展开式中二项式系数最大的项为第项，
故令，则.
故选：.
12．A
利用展开式的通项公式即求.
【详解】
的展开式第项，
当时，；当时，，
∴，
∴的系数为.
故选：A.
13．20
首先利用求出，然后再利用二项式展开式的通项即可求解.
【详解】
根据题意可得，解得，
则展开式的通项为，令，得，
所以常数项为：，
故答案为：20
本题考查了二项式展开式的通项公式、指定项的系数问题，属于基础题.
14．
写出展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】
的展开式通项为，
令，可得，因此，展开式中的系数为.
故答案为：.
15．672
根据二项式系数的性质求得，写出展开式通项公式，确定所在项数后可得系数．
【详解】
由题意，，
，令，，
所以的系数为．
故答案为：672．
16．120
根据二项式的展开式系数的相关知识即可求解.
【详解】
因为，二项式展开式第项的系数为，
所以，第10行第8个数是.
故答案为：120
17．（1），；（2）.
（1）利用赋值法列方程，由此求得，求出二项式系数即可得求解；
（2）根据“展开式中前3项的二项式系数之和等于79”列方程，化简求得的值，通过列不等式组的方法求得展开式中系数最大的项.
【详解】
（1）令，得，解得，
所以的展开式中二项式系数分别为，，，，，，
其中最大的是和，
所以展开式中二项式系数最大的项为第项或第项，
其中，.
（2）由题意可得：，
所以，解得或（舍去）.
设第项的系数最大，
因为，
则，即
所以解得，所以，
所以展开式中系数最大的项为第11项，.
18．
求出展开式通项，根据前3项的系数成等差数列建立关系即可求出，再令的指数为1即可求出一次项.
【详解】
的展开式通项为，
前3项的系数分别为，
因为前3项的系数成等差数列，所以，
即，解得（舍去）或，
则，令，解得，
所以展开式中x的一次项为.
19．（1）；（2）；（3）.
（1）令求解即可.
（2）先求得展开式的通项公式， 再令求解.
（3）设第项的系数最大，由求解.
【详解】
（1）令，该展开式中所有项的系数和为.
（2）该展开式的通项公式为，，
令，解得，
故的系数为.
（3）设第项的系数最大，
则，
解得，
又，
所以，
故该展开式中系数最大的项为.
20．(1)2
(2)
（1）结合二项式的展开式的通项公式得，令即可求出结果；
（2）构造，分别求出和的值，进而可求出结果.
(1)
，，
，
令，得，∴．
(2)
若，，
记，
，
，
∴
21．（1）1 ；（2） ；（3） ．
（1）赋值法，令，即得解；
（2）赋值法，分别令，联立，即得解；
（3）相当于的展开式中各项系数之和，令，即得解
【详解】
（1）令，得．
（2）令，得，①
由（1），知，②
由②-①，得，
∴，
（3）相当于的展开式中各项系数之和，
令，∴．
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