7.3离散型随机变量的数字特征 同步练习（Word版含解析）

7.3离散型随机变量的数字特征
一、单选题
1．设，，随机变量的分布列是
则当在内增大时，（ ）A．增大，增大 B．增大，减小
C．减小，增大 D．减小，减小
2．随机变量X的分布列如下表所示，若，则（ ）
X 0 1
P a b
A．9 B．7 C．5 D．3
3．已知甲盒子中有3个红球，1个白球，乙盒子中有2个红球，2个白球，同时从甲，乙两个盒子中取出i个球进行交换，交换后，分别记甲、乙两个盒中红球个数，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知随机变量，满足，，且，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知随机变量的分布列为：
0 1 2
则下列说法中正确的是( )A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值0 D．有最大值
6．将个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为、、、的个盒子，以表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（表示第号，第号盒子是空的，第个盒子至少个球），则、分别等于（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
7．随机变量的分布列如表：
若，则（ ）A． B． C． D．
8．设，则随机变量的分布列是：
则当在内增大时
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
9．将3只小球放入3个盒子中， 盒子的容量不限， 且每个小球落入盒子的概率相等． 记为分配后所剩空盒的个数， 为分配后不空盒子的个数， 则（ ）
A． B．
C． D．
10．甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则（ ）
A． B． C． D．
11．小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为X，则X的均值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．设，随机变量的分布列是
0 1 2
若，则（ ）A． B．
C． D．
二、填空题
13．2020年5月，修订后的《北京市生活垃圾管理条例》正式实施，某校为宣传垃圾分类知识，组织高中三个年级的学生进行垃圾分类知识测试．如表记录了各年级同学参与测试的优秀率（即测试达到优秀的人数占该年级总人数的比例）．
年级 高一 高二 高三
垃圾分类知识测试优秀率 55% 75% 65%
假设从高年级中各随机选取一名同学分别进行考察，用“”表示该同学的测试成绩达到优秀，“”表示该同学的测试成绩没有达到优秀．表示测试成绩的方差，则、、的大小关系为______．
14．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为_______.
15．马老师从课本上抄录的一个随机变量的分布列如下表：
1 2 3
？ ！ ？
尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定两个“？”处的数值相同，据此，_____．
16．已知随机变量，若，，则的值为______.
17．某专业资格考试包含甲、乙、丙个科目，假设小张甲科目合格的概率为，乙、丙科目合格的概率相等，且个科目是否合格相互独立．设小张科中合格的科目数为，若，则______．
三、解答题
18．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流每年最高水位（单位：）的频率分布表如表1所示：
表1
最高水位
频率 0.15 0.44 0.36 0.04 0.01
将河流每年最高水位落入各组的频率视为概率，并假设每年河流最高水位相互独立.
（1）求在未来3年中，至多有1年河流最高水位的概率；
（2）该河流对沿河一蔬菜种植户的影响如下：当时，因河流水位较低，影响蔬菜正常灌溉，导致蔬菜干旱，造成损失；当时，因河流水位过高，导致蔬菜内涝，造成损失.每年的蔬菜种植成本为60000元，从以下三个应对方案中选择一个，求该方案下蔬菜种植户所获利润的数学期望.
方案一：不采取措施，蔬菜年销售收入情况如表2所示：
表2
最高水位
蔬菜年销售收入/元 40000 120000 0
方案二：只建设引水灌溉设施，每年需要建设费5000元，蔬菜年销售收入情况如表3所示：
表3
最高水位
蔬菜年销售收入/元 70000 120000 0
方案三：建设灌溉和排涝配套设施，每年需要建设费7000元，蔬菜年销售收入情况如表4所示：
表4
最高水位
蔬菜年销售收入/元 70000 120000 70000
附：蔬菜种植户所获利润＝蔬菜销售收入－蔬菜种植成本－建设费.
19．甲 乙 丙三人进行乒乓球挑战赛(其中两人比赛，另一人当裁判，每局结束时，负方在下一局当裁判)，设在情况对等中各局比赛双方获胜的概率均为，但每局比赛结束时，胜的一方在下一局比赛时受体力影响，胜的概率均降为，第一局甲当裁判.
（1）求第三局甲当裁判的概率；
（2）设X表示前4局乙当裁判次数，求X的分布列和数学期望.
20．某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1~6点数的正方体骰子1次，若掷得点数不大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖.已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同).
（1）若m=4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；
（2）若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值.
21．甲 乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 10 15 10 10 5
乙公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 5 10 10 20 5
若将频率视为概率，回答下列两个问题：
（1）记乙公司送餐员日工资为(单位：元)，求的分布列和数学期望；
（2）小王打算到甲 乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
求得，之间的关系，再求出，，讨论其单调性即可判断.
【详解】
解：由因为分布列中概率之和为，可得，
，当增大时，减小，
又由，
可知当在内增大时，减小.
故选：D.
本题考查根据分布列计算方差和数学期望，属基础题.
2．C
利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出，，由此能求出方差，再根据方差的性质计算可得．
【详解】
解：依题意可得，解得，所以
所以
故选：C
3．C
分和两种情况分别去求数学期望，再进行比较即可解决.
【详解】
交换后，记甲、乙两个盒中红球个数，
当时，,
则，
则.选项AB均判断错误；
当时，，
则，
.
即.
则选项C判断正确；选项D判断错误.
故选：C
4．C
由二项分布的性质推导出，解得，从而求出，再由，利用方差的性质能求出.
【详解】
解：因为随机变量满足， ，
所以有，即.则，
，.
故选：C.
5．D
根据数学期望和方差的定义表示出和，用函数思想解析研究﹒
【详解】
由题意，知，即．
又，则，∵＝b＋2a＝＋2a，∴没有最值；
∵
．
又，∴当时，有最大值．
故选：D﹒
6．B
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可求得，利用数学期望的性质可求得.
【详解】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
，，
，，
所以，，
因此，.
故选：B.
方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.
7．A
根据随机分布列的性质以及数学期望可得出关于实数、的方程组，解出、的值，再利用方差公式可取得的值.
【详解】
由分布列的性质以及期望公式可得，解得.
.
故选：A.
8．D
研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.
【详解】
方法1：由分布列得，则
，则当在内增大时，先减小后增大.
方法2：则
故选D.
易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.
9．C
根据古典概型计算公式、数学期望的公式，结合数学期望和方差的性质进行判断即可.
【详解】
因为一共有3个盒子，所以，
因此，，
由题意可知：，
，，
，
，所以，
故选：C
10．D
结合二项分布可计算随机变量的分布列，再利用公式可求、，最后利用二次函数的性质可求其范围.
【详解】
随机变量可能的取值为.
.
，
故的分布列为：
2 3
故
因为，故，而，故A、B错误.
而，
令，因为，
故，此时，
必成立，故C错误，D正确.
故选：D.
本题考查离散型随机变量的分布列、期望、方差的计算以及函数的值域的求法，计算分布列时可借助常见的分布列（如二项分布等）来计算，估计方差的范围时，注意利用换元法把高次函数的值域问题转化为二次函数的值域问题.
11．C
根据游戏规则写出3人游戏的所有可能情况，并确定小明得1分、0分的概率，进而可知4次游戏后小明的可能得分情况，再应用独立事件的概率求法求各情况的概率并写出分布列，最后根据所得分布列，求期望即可.
【详解】
进行“手心手背”游戏，3人出现的所有可能情况有（心，心，心），（心，心，背），（心，背，心），（背，心，心），（心，背，背），（背，心，背），（背，背，心），（背，背，背），
∴小明得1分的概率为，得0分的概率为.
进行4次游戏，小明得分之和共有5种情况，即0分，1分，2分，3分，4分.
由独立重复试验的概率计算公式可得：
，，
，，
，
则X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
∴.
故选：C.
12．B
直接根据分布列、期望、方差的定义列方程组，即可求出a、b、c.
【详解】
由分布列可知：.
，
，即
所以联立方程组得：，解得：
故选：B
在离散型随机变量的分布列中，概率和为1.
13．
分别写出三个年级随机选取一名同学测试成绩优秀和没有达到优秀的概率，算出各自的方差，即可比较，得到答案.
【详解】
当时，在高一年级中随机抽取一名同学进行考察，
则，，
则，
当时，在高二年级中随机抽取一名同学进行考察，
则，，
则，
当时，
在高三年级中随机抽取一名同学进行考察，
则，，
则，
故．
故答案为：
14．3
设口袋中有白球个，由已知可得取得白球的可能取值为，，，则服从超几何分布，利用公式()，即可求得答案.
【详解】
口袋中有白球个，由已知可得取得白球个数的可能取值为，，
则服从超几何分布，，
，，
，
故答案为：．
本题解题关键是掌握超几何分布期望的求法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
15．2
根据概率之和为1结合均值计算公式求解.
【详解】
设，，则．
于是，．
故答案为：2.
16．
根据数学期望与方差的公式列出式子，进行计算即可.
【详解】
由题可知：
所以为
故答案为：
本题考查离散型随机变量的数学期望与方差，重在考查计算以及公式记忆，属基础题.
17．
设乙、丙科目合格的概率均为，则，解方程可得，进而可得分布列及期望.
【详解】
乙、丙科目合格的概率相等，可设乙、丙科目合格的概率均为，
则，
解得，
故，
，
，
故分布列为：
期望，
故答案为：.
18．（1）0.104；（2）答案见解析.
（1）结合表格数据可得，记河流最高水位发生的年数为，有，记在未来3年中，至多有1年河流最高水位为事件，则，即得解；
（2）针对不同的方案，根据题意列出分布列，计算数学期望即可
【详解】
（1）由频率分布表，得
，
设在未来3年中，河流最高水位发生的年数为.因为每年河流最高水位相互独立，所以.
记在未来3年中，至多有1年河流最高水位为事件，则
.
所以在未来三年中，至多有1年河流最高水位的概率为0.104.
（2）由题设得，，.
答案一 选方案一.
用表示蔬菜年销售收入，则的分布列为
40000 120000 0
0.15 0.8 0.05
所以.
设蔬菜种植户每年所获利润为，则，所以.
答案二 选方案二.
用表示蔬菜年销售收入，则的分布列为
70000 120000 0
0.15 0.8 0.05
所以.
设蔬菜种植户每年所获利润为，则，所以.
答案三 选方案三.
用表示蔬菜年销售收入，则的分布列为
70000 120000 70000
0.15 0.8 0.05
所以.
设蔬菜种植户每年所获利润为，则，
所以.
19．（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
（1）根据两局的胜负列式求解即可；
（2）X的可能取值为0，1，2，先求和，再由概率和为1可得，由期望公式求解即可.
【详解】
（1）第三局甲当裁判的概率为.
（2）X的可能取值为0，1，2，
当时，前三局乙均胜，故，
∵不能连续两局当裁判，第一局由甲当裁判，故乙只能是第2 4局当裁判，故乙在第一局中输掉，在第三局中也输掉，故，∴.
其分布列为
X 0 1 2
P
.
求随机变量的期望与方差的方法及步骤：
1、理解随机变量的意义，写出可能的全部值；
2、求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；
3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望；
4、若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.
20．（1）；（2）.
（1）设顾客获得三等奖为事件A，可分为两种情况：顾客掷得点数大于4和顾客掷得点数不大于4，然后摸出2个球均为白球，分别求出概率，再相加即为；
（2）由题意可知，随机变量X的可能取值有100，300，400，，相应求出概率，求出期望，化简得，由题意可知，，即得，求出m的最小值.
【详解】
（1）设顾客获得三等奖为事件A，可分为两种情况：
顾客掷骰子掷得点数大于4，其概率为；
顾客掷骰子掷得点数不大于4，且摸出2个球均为白球，其概率为，
故当时，顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率为.
（2）由题意可得X的可能取值有100，300，400，
且，
，
，
则，化简可得，
由题意可得，即，
又，则，即m的最小值为.
方法点睛：本题考查离散型随机变量概率分布列及数学期望，求离散型随机变量概率分布列问题时，首先要清楚离散型随机变量的所有可能取值，及随机变量取这些值时所对应的事件概率，计算出概率值后列出离散型随机变量概率分布列，然后按着数学期望的公式计算出数学期望.
21．（1）详见解析；（2）推荐小王去乙公司应聘，理由见解析.
（1）本题首先可以设乙公司送餐员送餐单数为，然后依次求出、、、、时的工资以及概率，即可列出的分布列并求出数学期望；
（2）本题可求出甲公司送餐员日平均工资，然后与乙公司送餐员日平均工资进行对比，即可得出结果.
【详解】
（1）设乙公司送餐员送餐单数为，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，，
故的所有可能取值为、、、、，
故的分布列为：
228 234 240 247 254
故.
（2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：
，
则甲公司送餐员日平均工资为元，
因为乙公司送餐员日平均工资为元，，
所以推荐小王去乙公司应聘.
关键点点睛：
（1）求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取每一个值时的概率，然后列成表格的形式后即可，
（2）根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从平均数、方差等的大小关系作出比较后得到结论.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页