7.4二项分布与超几何分布 同步练习（Word版含解析）

7.4 二项分布与超几何分布
一、单选题
1．下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲 乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲 乙两名运动员各射击一次，“甲 乙都射中目标”与“甲 乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次5次击中目标.其中是独立重复试验的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
3．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（　　）
A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η） B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）
C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η） D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）
5．已知离散型随机变量服从二项分布且则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝( )
A．2 B．1 C．3 D．4
7．有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为
A． B． C． D．
8．王老师为了了解全班50位同学某次考试的成绩状况，随机抽查了10位同学该次考试的数学与物理成绩，列表如下：
学生 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 平均值 标准差
数学成绩X/分 88 62
物理成绩Y/分 75 63
若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩的正态曲线，虚线表示全班物理成绩的正态曲线，则随机变量与的正态曲线可能是（ ）A． B．
C． D．
9．唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．若随机变量，且，，则（ ）
A． B． C． D．
11．某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器，每台仪器的某个部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件或元件正常工作，且元件正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这台仪器中该部件的使用寿命超过小时的台数的均值为（ ）
A． B． C． D．
12．某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
13．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（ ）
A． B． C． D．
14．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为（ ）
A．N＝15，M＝7，n＝10
B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7
D．N＝22，M＝7，n＝10
15．新冠肺炎疫情期间，某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的应聘者才可通过面试．已知应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确完成，2道题不能完成，则小王正确完成面试题数的均值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
16．已知随机变量，若最大，则______．
17．在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，金陵中学高二某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学们的一致好评．设随机变量，记，，1，2，…，n．在研究的最大值时，该小组同学发现：若为正整数，则时，，此时这两项概率均为最大值；若为非整数，当k取的整数部分，则是唯一的最大值．以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数，当投掷到第35次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行65次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1一共出现的次数为______的概率最大．
18．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠.若该电梯在底层有6个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用表示这6位乘客在第20层下电梯的人数，则________.
三、解答题
19．某中学选取名优秀学生参加数学知识竞赛，将他们的成绩（单位：分）分成范围为、、、、、，共组，得到频率分布直方图如图所示.
（1）若将成绩大于或等于分视为高分，试求参加竞赛学生成绩的高分率；
（2）若从参加竞赛的学生中随机抽取人，抽到的学生成绩在范围记分，在范围记分，用表示被抽取得名学生的总记分，求的分布列和数学期望.
20．自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：
20以下 70以上
使用人数 3 12 17 6 4 2 0
未使用人数 0 0 3 14 36 3 0
（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；
（Ⅱ）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；
（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
21．党的十九届五中全会强调“创新”在我国现代化建设中的重要战地位，确保发展经济着力点放在实体经济上，为促进经济活力，拉动市场经济快速发展，必须大力推进大众创业、万众创新．某几位大学毕业生自主创业创办了一家服务公司，该公司提供、两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买产品的概率为，购买产品的概率为，而前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为，购买产品的概率为，前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为，购买产品的概率也是，如此往复．记某人第次来购买产品的概率为．
(1)求；
(2)记第二次来公司购买产品的个人中有个人购买产品，人是否购买产品相互独立，求的分布列和数学期望．
22．自“新冠肺炎”爆发以来，中国科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”，在科研人员不懈努力下，我国公民率先在2020年年末开始可以使用安全的新冠疫苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权，研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，进行了一些实验．
（1）实验一：选取10只健康白兔，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现，除2号、3号和7号白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染，现从这10只白兔中随机抽取4只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作，求的分布列和数学期望．
（2）科研人员在另一个实验中发现，疫苗可多次连续注射，白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响，相互独立，试问，若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗能否保证有效率达到96%，如若可以请说明理由，若不可以，请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
根据互斥事件、相互独立事件，以及独立重复试验的定义可以判断：①，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”是一个实验的两个结果，是互斥事件；②是相互独立事件；③是互斥事件；④是独立重复试验.
【详解】
①和③符合互斥事件的概念，是互斥事件；
②是相互独立事件；
④是独立重复试验；
所以只有④符合题意，
故选：D.
2．B
根据超几何分布的定义可判断得选项.
【详解】
解：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量服从超几何分布.
故选：B.
3．A
由题意得：X可取0,1,2，分别求得和，相加即可得答案.
【详解】
由题意得：X可取0,1,2，
所以，
又，，
所以.
故选：A
4．A
当时，的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出， ；当时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出， ，即可得解．
【详解】
当时，ξ的可能取值为1，2，3，
，，，
∴，；
当时，η可取1，2，3，4，
，，
，，
∴，
；
∴，．
故选：A．
本题考查了超几何分布概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望和方差的求解，属于中档题.
5．C
由二项分布的性质可知，，故有，应用不等式，求得的最大值.
【详解】
解：服从二项分布且所以，
，则有 ，
因为 ，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.
故选：C
6．C
根据古典概型概率计算方法，求出ξ的分布列，并求出，则.
【详解】
的可能取值为.
，，.
∴的分布列为：
ξ 0 1 2
P
于是，
故.
故选：C.
7．B
利用超几何分布分别求随机变量X的概率，分布列及其数学期望即可得出．
【详解】
随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．
所以，随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
随机变量X的数学期望E(X)＝.
本题考查了超几何分布的概率计算公式、分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．A
根据、的大小关系可得对称轴的位置关系，根据、可得图象的瘦高、矮胖，进而可得正确选项.
【详解】
因为，所以随机变量的正态曲线的对称轴在随机变量的正态曲线的对称轴的左边，排除B，C；
因为，所以随机变量的总体分布更离散，正态曲线比随机变量的正态曲线“矮胖”，排除D，
故选：A.
9．A
利用二项分布的概率公式以及概率的加法公式即可求解.
【详解】
该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮，
有两天出现大潮概率为，
有三天出现大潮概率为，
所以至少有两天出现大潮的概率为，
故选：A.
10．A
利用二项分布的期望公式和方差公式列方程组求解即可
【详解】
解：因为随机变量，且，，
所以，解得，
故选：A
11．C
计算得出台仪器中该部件的使用寿命超过小时的台数服从二项分布，利用二项分布的期望公式可求得结果.
【详解】
由题意可知，该部件每个元件正常工作超过小时的概率均为，
则该部件正常工作超过小时的概率为，
所以台仪器中该部件的使用寿命超过小时的台数服从二项分布，
故所求均值为.
故选：C.
12．D
由题意，遇绿灯服从二项分布，结合互斥事件概率的求法，即可求同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率.
【详解】
4次均不是绿灯的概率为，
3次不是绿灯的概率为，
∴至少遇到2次绿灯的概率为.
故选：D.
13．A
根据题设分析知：芯片领域被选、不被选的概率分别为、，而3名学生选择互不影响，则选择芯片领域的学生数，即服从二项分布，则有即可求恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率.
【详解】
由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项，5项成果均属于芯片领域，则：
芯片领域被选的概率为：；不被选的概率为：；而选择芯片领域的人数，
∴服从二项分布，，那么恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为.
故选：A.
本题考查了二项分布，需要理解题设条件独立重复试验的含义，并明确哪个随机变量服从二项分布，结合二项分布公式求概率.
14．A
根据超几何分布概率模型可得选项.
【详解】
根据超几何分布概率模型得N＝15，M＝7，n＝10，
故选：A.
15．B
根据题意设小王正确完成的面试题数为，则的可能取值为1，2，3．求出X的分布列，然后计算数学期望(均值)即可﹒
【详解】
设小王正确完成的面试题数为，则的可能取值为1，2，3．
；
；
．
∴．
故选：B．
另解：设小王正确完成的面试题数为，则，∴．
故选：B．
16．24
先根据解出，再根据二项分布的方差公式求出，再计算即可.
【详解】
由题意知：，要使最大，有，
化简得，解得，故，又，
故.
故答案为：24.
17．15或16
根据二项分布的知识，结合题目所给条件进行计算，从而求得正确答案.
【详解】
继续再进行65次投掷实验，出现点数为1的次数X服从二项分布，
由，结合题中的结论可知，当或时概率最大．
即后面65次中出现11或10次点数1的概率最大，加上前面35次中的5次．
所以出现15或16次的概率最大．
故答案为：15或16
18．
根据次独立重复试验的概率公式进行求解即可．
【详解】
解：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是次独立重复试验，
故．
即有，，1，2，3，4，5，6．
．
故答案为：
本题主要考查次独立重复试验的概率的计算，根据题意确实是6次独立重复试验，是解决本题的关键，属于中档题．
19．（1）；（2）分布列见解析，（分）.
（1）根据频率分布直方图可计算得出参加竞赛学生成绩的高分率；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【详解】
（1）据题设知，所求参加竞赛学生成绩的高分率；
（2）参加竞赛的学生成绩在范围的有（人），在范围的有人，
随机变量的可能取值是、、.
，，.
所以，随机变量的分布列为
所以，（分）.
思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；
（2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.
20．；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200
（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；
（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；
（Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．
【详解】
（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，
所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为．
（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，
,
,
.
所以的分布列为
1 2 3
所以的数学期望为.
（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，
使用自由购的共有人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为.
本题考查统计表，随机变量X的分布列及数学期望，以及古典概型，是一道综合题．
21．(1)
(2)分布列见解析，数学期望为1
（1）根据概率公式求出；
（2）根据二项分布的概率公式求得的各种取值所对应的概率，再计算出期望即可.
(1)
某人第次来购买产品的概率为,即；
(2)
由题意得，其中的可能取值有，，，，
故，，，；
故的分布列为
的数学期望为
．
22．（1）分布列见解析；期望为；（2）不可以；每支疫苗的有效率至少要达到80%才能满足以上要求．
（1）先分析出的可取值，然后根据超几何分布模型求解取不同值时的概率，由此可求得的分布列，并根据分布列可计算出数学期望；
（2）根据已知条件先分析出注射一次疫苗的有效率，然后计算注射两次疫苗的有效率并与作比较，得到结果为无法保证后先假设疫苗的有效率，利用减去两次疫苗都无效的概率等于，由此求解出结果.
【详解】
解：（1）因为可取，所以
所以，
，．
所以的分布列如下：
；
（2）因为实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率为，
所以注射一次疫苗的有效率为，
又因为每次注射的疫苗对白兔是否有效相互独立，
所以一只白兔注射两次疫苗的有效率为：，所以无法保证，
设每支疫苗有效率至少达到才能满足要求，
则，解得
所以每支疫苗的有效率至少要达到才能满足以上要求.
关键点点睛：超几何分布模型的理解：
一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则，即：
其中，且；
如果随机变量的分布列具有上表的形式，则称随机变量服从超几何分布.
答案第1页，共2页
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