第六章计数原理 单元练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 第六章计数原理 单元练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 317.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-12 05:45:25 | ||
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文档简介
第六章计数原理 同步练习
一、单选题
1．七人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙 丙两人必须相邻，则排法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
2．有8位学生春游，其中小学生2名 初中生3名 高中生3名.现将他们排成一列，要求2名小学生相邻 3名初中生相邻，3名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（ ）
A．288种 B．144种 C．72种 D．36种
3．若，则（ ）
A．20 B． C．15 D．
4．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343 ，12521等.两位数的回文数有11 ，22 ，3，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
5．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．10 D．20
6．从1，2，3，4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为（ ）
A．2 B．4 C．12 D．24
7．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知，客运车票增加了62种，则现在车站的个数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
8．的展开式中项的系数为（ ）
A．140 B． C． D．1120
9．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．16种 B．18种 C．24种 D．36种
10．使得）的展开式中含有常数项的最小的n为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A． B．
C． D．
12．某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行．为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则不同的安排方案种数为（ ）
A．3 B．18 C．21 D．24
二、填空题
13．的展开式中，所有x的奇数次幂项的系数和为，则正实数a的值为______．
14．一个盒子里装有7个大小 形状完成相同的小球，其中红球4个，编号分别为1，2，3，4，黄球3个，编号分别为1，2，3，从盒子中任取4个小球，其中含有编号为3的不同取法有________种.
15．已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为________．
16．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
三、解答题
17．已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等．
(1)求n的值；
(2)求展开式中有理项的系数之和（用数字作答）．
18．由0，1，2，3，4，5这6个数字，
(1)可以组成多少个无重复数字的四位数？
(2)可以组成多少个无重复数字且能被25整除的四位数？
19．已知的展开式中只有第五项的二项式系数最大.
（1）求该展开式中有理项的项数；
（2）求该展开式中系数最大的项.
20．
(1)平面内有10个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条？
(2)平面内有10个点，以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？
21．已知二项式的展开式中共有6项.
（1）求展开式中所有二项式系数的和；
（2）求展开式中含的项.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，再利用捆绑法即求.
【详解】
特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余四个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有(种)．
故选：D
2．B
利用捆绑法和插空法可求得结果.
【详解】
第一步，先将2名小学生看成一个人，3名初中生看成一个人，然后排成一排有种不同排法；第二步，将3名高中生插在这两个整体形成的3个空档中，有种不同排法；第三步，排2名小学生有种不同排法，排3名初中生有种不同排法.
根据分步计数原理，共有种不同排法.
故选：B
方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
3．B
先将写成，然后根据展开式的通项求解出项的系数即为.
【详解】
因为，所以展开式的通项为，
令，则，所以，
故选：B.
4．A
根据回文数定义，确定首位，再确定中间数，最后根据分步乘法计数原理得结果.
【详解】
由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为，，，.如果末（首）位为，
中间一位数有种可能，同理可得，如果末（首）位为或或，
中间一位数均有种可能，所以有个，
故选：A
本题考查分步计数原理实际应用，考查基本分析求解能力，属基础题.
5．C
求出的展开式的通项，令即可求出.
【详解】
可得的展开式的通项为，
令，即可得出的系数为.
故选：C.
6．C
7．C
由题意得，化简计算可得，由于，，可得，从而可求出，经验证可得答案
【详解】
原来个车站有种车票，新增了个车站，有种车票，
由题意得，即，
整理得，∴，
∵，，∴，∴，解得，即.
当时，均不为整数，只有当时，符合题意，
∴，故现在有17个车站.
故选：C.
8．B
利用二项式定理求的展开式中，和项的系数，从而可求的展开式中项的系数.
【详解】
，
的展开式的通项公式为，
令，得，所以；
令，得，所以；
令，得，所以，
所以的展开式中项的系数.
故选：B.
9．B
确定完成事件的方法：甲丙的位置固定，先排乙，再把剩余的节目全排列，由计数原理可得．
【详解】
解：由题意知，甲丙的位置固定，先排乙，再把剩余的节目全排列，
故台晚会节目演出顺序的编排方案共有有＝18种.
故选：B.
10．D
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出和的关系，即可求得的最小值．
【详解】
的展开式的通项公式为：，
令，可得，
当时，取得最小值为3，
故选：D．
11．B
本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．
【详解】
设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种，
所以恰有2只做过测试的概率为，选B．
本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．
12．B
根据题意，分析可得：“多人多足”有3种安排方法，再将踢毽、跳绳、推火车安排在剩下的3个位置，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，
则“多人多足”有3种安排方法，
将踢毽、跳绳、推火车安排在剩下的3个位置，有种安排方法，
则有种安排方法．
故选：B．
13．3
设，然后分别令，，可求出，再结合已知条件可求出答案
【详解】
设，
令，得，①
令，得，②
②①，得，
又因为，，
所以，解得．
故答案为：3
14．30
从反面考虑，总数为,不含有编号为3的总数为,即得解.
【详解】
从反面考虑，总数为,不含有编号为3的总数为,
所以含有编号为3的总数为.
故答案为：30.
方法点睛：
1、排列组合问题的解题步骤：仔细审题编程列式计算.
2、编程的一般方法
一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.
3、解排列组合问题，要排组分清（有序排列，无序组合），加乘有序(分类加法，分步乘法).
15．7、8、9
根据二项式系数的性质确定的值．
【详解】
由题意的展开式中第5项的二项式系数最大，
当为偶数时，，当为奇数时，中间两项二项式系数最大，则或．
故答案为：7、8、9．
16．
根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.
【详解】
4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
故答案为：.
本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
17．(1)8；
(2).
（1）由题设可得，进而写出第三、四项的系数，结合已知列方程求n值即可.
（2）由（1）有，确定有理项的对应k值，进而求得对应项的系数，即可得结果.
(1)
由题意，二项式展开式的通项公式．
所以第三项系数为，第四项系数为，
由，解得，即n的值为8．
(2)
由（1）知：．
当，3，6时，对应的是有理项．
当时，展开式中对应的有理项为；
当时，展开式中对应的有理项为；
当时，展开式中对应的有理项为；
故展开式中有理项的系数之和为．
18．(1)300
(2)21
（1）因为0不能排首位，故分成两类，一类是含有0，二类不含0，然后按照先特殊后一般的原则计算即可;
（2）能被25整除的数字，末两位数字为25，50之一，然后分情况讨论即可.
(1)
第一类：不含0时有个，含0时有个，所以共有120 + 180 = 300个.
(2)
由题意能被25整除的数字，末两位数字为25，50之一，
末两位为25时有个，
末两位为50时有个.
所以共有9 + 12 = 21个.
19．（1）；（2）和
（1）先求出，再写出二项式展开式的通项，令即可求解；
（2）设第项系数最大，则，即可解得的值，进而可得展开式中系数最大的项.
【详解】
（1）由题意可得：，得，
的展开式通项为，，
要求展开式中有理项，只需令，
所以
所以有理项有5项，
（2）设第项系数最大，则 ，
即，即，解得：，
因为，
所以或
所以，
所以展开式中系数最大的项为和.
解二项式的题关键是求二项式展开式的通项，求有理项需要让的指数位置是整数，求展开式中系数最大的项需要满足第项的系数大于等于第项的系数，第项的系数大于等于第项的系数，属于中档题
20．(1)45
(2)90
（1）利用组合数公式即得；
（2）利用排列数公式即得.
(1)
以平面内10个点中2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有（条）.
(2)
由于有向线段的两个端点中一个为起点，另一个为终点，以平面内10个点中2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有（条）.
21．（1）32；（2）.
（1）根据展开式的项数为6得，进而得二项式系数的和为.
（2）根据二项式展开式的通项公式求解即可得答案.
【详解】
（1）由于二项展开式有6项，故.
所有二项式的系数和为.
（2）二项式展开式的通项为，
令得.
故展开式中含的项为.
本题考查二项式定理，熟练的应用相关公式是解题的前提，是基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．七人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙 丙两人必须相邻，则排法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
2．有8位学生春游，其中小学生2名 初中生3名 高中生3名.现将他们排成一列，要求2名小学生相邻 3名初中生相邻，3名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（ ）
A．288种 B．144种 C．72种 D．36种
3．若，则（ ）
A．20 B． C．15 D．
4．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343 ，12521等.两位数的回文数有11 ，22 ，3，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
5．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．10 D．20
6．从1，2，3，4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为（ ）
A．2 B．4 C．12 D．24
7．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知，客运车票增加了62种，则现在车站的个数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
8．的展开式中项的系数为（ ）
A．140 B． C． D．1120
9．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．16种 B．18种 C．24种 D．36种
10．使得）的展开式中含有常数项的最小的n为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A． B．
C． D．
12．某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行．为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则不同的安排方案种数为（ ）
A．3 B．18 C．21 D．24
二、填空题
13．的展开式中，所有x的奇数次幂项的系数和为，则正实数a的值为______．
14．一个盒子里装有7个大小 形状完成相同的小球，其中红球4个，编号分别为1，2，3，4，黄球3个，编号分别为1，2，3，从盒子中任取4个小球，其中含有编号为3的不同取法有________种.
15．已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为________．
16．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
三、解答题
17．已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等．
(1)求n的值；
(2)求展开式中有理项的系数之和（用数字作答）．
18．由0，1，2，3，4，5这6个数字，
(1)可以组成多少个无重复数字的四位数？
(2)可以组成多少个无重复数字且能被25整除的四位数？
19．已知的展开式中只有第五项的二项式系数最大.
（1）求该展开式中有理项的项数；
（2）求该展开式中系数最大的项.
20．
(1)平面内有10个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条？
(2)平面内有10个点，以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？
21．已知二项式的展开式中共有6项.
（1）求展开式中所有二项式系数的和；
（2）求展开式中含的项.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，再利用捆绑法即求.
【详解】
特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余四个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有(种)．
故选：D
2．B
利用捆绑法和插空法可求得结果.
【详解】
第一步，先将2名小学生看成一个人，3名初中生看成一个人，然后排成一排有种不同排法；第二步，将3名高中生插在这两个整体形成的3个空档中，有种不同排法；第三步，排2名小学生有种不同排法，排3名初中生有种不同排法.
根据分步计数原理，共有种不同排法.
故选：B
方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
3．B
先将写成，然后根据展开式的通项求解出项的系数即为.
【详解】
因为，所以展开式的通项为，
令，则，所以，
故选：B.
4．A
根据回文数定义，确定首位，再确定中间数，最后根据分步乘法计数原理得结果.
【详解】
由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为，，，.如果末（首）位为，
中间一位数有种可能，同理可得，如果末（首）位为或或，
中间一位数均有种可能，所以有个，
故选：A
本题考查分步计数原理实际应用，考查基本分析求解能力，属基础题.
5．C
求出的展开式的通项，令即可求出.
【详解】
可得的展开式的通项为，
令，即可得出的系数为.
故选：C.
6．C
7．C
由题意得，化简计算可得，由于，，可得，从而可求出，经验证可得答案
【详解】
原来个车站有种车票，新增了个车站，有种车票，
由题意得，即，
整理得，∴，
∵，，∴，∴，解得，即.
当时，均不为整数，只有当时，符合题意，
∴，故现在有17个车站.
故选：C.
8．B
利用二项式定理求的展开式中，和项的系数，从而可求的展开式中项的系数.
【详解】
，
的展开式的通项公式为，
令，得，所以；
令，得，所以；
令，得，所以，
所以的展开式中项的系数.
故选：B.
9．B
确定完成事件的方法：甲丙的位置固定，先排乙，再把剩余的节目全排列，由计数原理可得．
【详解】
解：由题意知，甲丙的位置固定，先排乙，再把剩余的节目全排列，
故台晚会节目演出顺序的编排方案共有有＝18种.
故选：B.
10．D
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出和的关系，即可求得的最小值．
【详解】
的展开式的通项公式为：，
令，可得，
当时，取得最小值为3，
故选：D．
11．B
本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．
【详解】
设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种，
所以恰有2只做过测试的概率为，选B．
本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．
12．B
根据题意，分析可得：“多人多足”有3种安排方法，再将踢毽、跳绳、推火车安排在剩下的3个位置，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，
则“多人多足”有3种安排方法，
将踢毽、跳绳、推火车安排在剩下的3个位置，有种安排方法，
则有种安排方法．
故选：B．
13．3
设，然后分别令，，可求出，再结合已知条件可求出答案
【详解】
设，
令，得，①
令，得，②
②①，得，
又因为，，
所以，解得．
故答案为：3
14．30
从反面考虑，总数为,不含有编号为3的总数为,即得解.
【详解】
从反面考虑，总数为,不含有编号为3的总数为,
所以含有编号为3的总数为.
故答案为：30.
方法点睛：
1、排列组合问题的解题步骤：仔细审题编程列式计算.
2、编程的一般方法
一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.
3、解排列组合问题，要排组分清（有序排列，无序组合），加乘有序(分类加法，分步乘法).
15．7、8、9
根据二项式系数的性质确定的值．
【详解】
由题意的展开式中第5项的二项式系数最大，
当为偶数时，，当为奇数时，中间两项二项式系数最大，则或．
故答案为：7、8、9．
16．
根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.
【详解】
4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
故答案为：.
本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
17．(1)8；
(2).
（1）由题设可得，进而写出第三、四项的系数，结合已知列方程求n值即可.
（2）由（1）有，确定有理项的对应k值，进而求得对应项的系数，即可得结果.
(1)
由题意，二项式展开式的通项公式．
所以第三项系数为，第四项系数为，
由，解得，即n的值为8．
(2)
由（1）知：．
当，3，6时，对应的是有理项．
当时，展开式中对应的有理项为；
当时，展开式中对应的有理项为；
当时，展开式中对应的有理项为；
故展开式中有理项的系数之和为．
18．(1)300
(2)21
（1）因为0不能排首位，故分成两类，一类是含有0，二类不含0，然后按照先特殊后一般的原则计算即可;
（2）能被25整除的数字，末两位数字为25，50之一，然后分情况讨论即可.
(1)
第一类：不含0时有个，含0时有个，所以共有120 + 180 = 300个.
(2)
由题意能被25整除的数字，末两位数字为25，50之一，
末两位为25时有个，
末两位为50时有个.
所以共有9 + 12 = 21个.
19．（1）；（2）和
（1）先求出，再写出二项式展开式的通项，令即可求解；
（2）设第项系数最大，则，即可解得的值，进而可得展开式中系数最大的项.
【详解】
（1）由题意可得：，得，
的展开式通项为，，
要求展开式中有理项，只需令，
所以
所以有理项有5项，
（2）设第项系数最大，则 ，
即，即，解得：，
因为，
所以或
所以，
所以展开式中系数最大的项为和.
解二项式的题关键是求二项式展开式的通项，求有理项需要让的指数位置是整数，求展开式中系数最大的项需要满足第项的系数大于等于第项的系数，第项的系数大于等于第项的系数，属于中档题
20．(1)45
(2)90
（1）利用组合数公式即得；
（2）利用排列数公式即得.
(1)
以平面内10个点中2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有（条）.
(2)
由于有向线段的两个端点中一个为起点，另一个为终点，以平面内10个点中2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有（条）.
21．（1）32；（2）.
（1）根据展开式的项数为6得，进而得二项式系数的和为.
（2）根据二项式展开式的通项公式求解即可得答案.
【详解】
（1）由于二项展开式有6项，故.
所有二项式的系数和为.
（2）二项式展开式的通项为，
令得.
故展开式中含的项为.
本题考查二项式定理，熟练的应用相关公式是解题的前提，是基础题.
答案第1页，共2页
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