1.1空间向量及其运算 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 1.1空间向量及其运算 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 969.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-12 05:47:16 | ||
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文档简介
选择性必修第一册 1.1 空间向量及其运算 同步练习
一、单选题
1．在四面体中，空间的一点M满足，若M，A，B，C共面，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有（ ）
A．0个 B．3个 C．7个 D．9个
3．如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记,则（ ）
A． B．
C． D．
4．直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
5．已知三维数组，，且，则实数（ ）
A．-2 B．-9 C． D．2
6．如图，已知平行六面体，E，F分别是棱，的中点，记，则（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知向量，是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线l上，则“，且”是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知四面体的所有棱长都是2，点是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是
D．与所成角的余弦值为
11．已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知正方体的棱长为1，点E是底面ABCD上的动点，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
13．向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为实数0 C．与方向相同 D．
14．四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．2
15．已知是长方体外接球的一条直径，点在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知是空间单位向量，，若空间向量满足，，则的最大值是___________.
17．已知，，三点不共线，对平面外一点，给出下列表达式：，其中，是实数，若点与，，四点共面，则___________.
18．如图所示，在平行六面体中，，若，则___________.
三、解答题
19．如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点．
（1）用向量 ，，表示和．
（2）若四面体的所有棱长都等于1，求的值．
20．已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
21．如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
22．如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，.
（1）求证： 平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求与平面所成角的正弦值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
利用空间四点共面可知，直接求的值.
【详解】
因为M，A，B，C共面，则，得.
故选：A
本题考查空间四点共面定理，属于基础题型.
2．C
根据向量模相等，结合平行六面体的结构特征和向量的概念，即可求解.
【详解】
由向量模相等，即为长度相等，根据平行六面体的结构特征可知：
与向量模相等的向量是：，，，，，，共7个．
故选：C．
3．C
根据所给的图形，在图形中看出要求的向量可以怎么得到，用减法把向量先变化成已知向量的差的形式，再利用向量的加法法则，得到结果．
【详解】
，．
，
故选：．
本题考查空间向量的加减法，本题解题的关键是在已知图形中尽量的应用几何体的已知棱表示要求的结果，属于基础题．
4．A
若，则直线l的方向向量与平面的法向量平行，利用空间向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】
因为，所以直线l的方向向量与平面的法向量平行，
可得，解得，
故选：A
5．D
结合空间向量的数量积的应用即可.
【详解】
因为，
所以，
又，
所以.
故选：D
6．C
利用空间向量的线性运算即可求解.
【详解】
.
故选：C
7．B
利用向量的运算性质计算即可.
【详解】
因为四棱锥的底面是矩形，，，，是的中点，
所以
故选：B
8．B
由线面垂直的定义和判定定理即可得到答案.
【详解】
由题意，，.
若与方向相反，且，在平面α内，则向量，所在的直线要么重合，要么平行，因此根据线面垂直的判定定理，由，且无法得到.
若，根据线面垂直的定义，可以得到，且.
所以“，且”是的必要不充分条件.
故选：B.
9．A
根据，即 可求解.
【详解】
如图，可知，
.
故选：A.
本题考查空间向量数量积的运算，属于基础题.
10．B
选项，计算得，所以选项不正确；
选项，，所以，所以选项正确；
选项，向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，与所成角的余弦值为，所以选项不正确.
【详解】
选项，由题意可知，
则
，
∴，所以选项不正确；
选项，，又，
∴，所以选项正确；
选项，，，
∴向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，，，
设与所成角的平面角为，
∴
，所以选项不正确.
故选：B
关键点点睛：解答本题的关键是把几何的问题和向量联系起来，转化为向量的问题，提高解题效率，优化解题.把线段长度的计算，转化为向量的模的计算；把垂直证明转化为向量数量积为零；把异面直线所成的角转化为向量的夹角计算.
11．B
利用向量的线性运算和数量积运算律可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解
【详解】
设正方体内切球的球心为，则,
,
因为MN是正方体内切球的一条直径，
所以，，
所以，
又点Р在正方体表面上运动，
所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；
当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为；
所以，
所以的取值范围为，
故选：B
12．B
建立空间直角坐标系，由向量的数量积运算，计算可得选项．
【详解】
以点D为原点，为轴建立空间直角坐标系，则
设，其中，则，
所以，等号成立的条件是，故其最大值为1，
故选：B．
13．D
根据相反向量的定义，即可判断选项.
【详解】
向量，互为相反向量，则，模相等、方向相反，所以，故A错误；
，故B错误；与方向相反，故C错误；，故D正确.
故选：D.
14．B
运用向量的线性运用表示向量，对照系数，求得，代入可得选项.
【详解】
因为，
所以，所以，所以 ，
解得，所以，
故选：B.
15．B
在长方体中建立空间直角坐标系，用向量法求解.
【详解】
根据题意，以D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图示.
设长方体外接球球心为O，则DB1为外接球的一条直径，设O为DB1中点，不妨设M与D重合，N与B1重合.
则外接球的直径长为，所以半径r=1；
所以
由P在长方体表面上运动，所以，即
所以，即
故选：B
向量法解决立体几何问题的关键：
(1)建立合适的坐标系；
(2)把要用到的向量正确表示；
(3)利用向量法证明或计算.
16．
由可构造出符合基本不等式的形式，求得的范围；根据向量的数量积运算可求得，利用的范围可求得所求最大值.
【详解】
，，
显然，当时，最大；
当，时，（当且仅当时取等号），；
当，时，（当且仅当，即时取等号），；
综上所述：；
，
，的最大值为.
故答案为：.
关键点点睛：本题考查向量模长的相关问题的求解，解题关键是能够利用平方运算将模长转化为数量积运算的形式，结合基本不等式求得最值.
17．
根据空间共面向量定理的推论计算．
【详解】
解：，，
点，，，四点共面，，.
故答案为：.
18．2
题中 几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，
,再将转化为，以及将转化为,,总之等式右边为，，,从而得出，.
【详解】
解：因为
，
又，
所以，，
则.
故答案为：2.
要充分利用几何体的几何特征，以及将作为转化的目标，从而得解.
19．（1）,（2）.
（1）利用空间向量基本定理及空间向量线性运算可得.
（2）四面体的所有棱长都等于1，各面为等边三角形，再运用空间向量数量积运算化简可得.
【详解】
解：（1），
∴
（2）四面体的所有棱长都等于1，各面为等边三角形, ，，
本题考查空间向量基本定理及数量积计算
用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
20．证明见解析
取定基底向量，并分别记为，再用基底表示出和，然后借助数量积即可计算作答.
【详解】
在空间四边形OABC中，令，则，
令，G是MN的中点，如图，
则，，
于是得
，
因此，，
所以OG⊥BC.
21．（1）；（2）；（3）；（4）
根据空间向量加减运算的运算法则计算即可.
【详解】
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
22．（1）证明见详解；（2）；（3）
（1）连接OF，可得OF为的中位线，OF∥DE，可得证明；
（2）连接C点与AD中点为x轴，CB为y轴，CE为z轴建立空间直角坐标系，可得，的值，可得异面直线与所成角的余弦值；
（3）可得平面EBD的一个法向量为，可得与平面所成角的正弦值.
【详解】
解：（1）
如图，连接OF，因为底面是菱形，与交于点，
可得O点为BD的中点，又为的中点，所以OF为的中位线，
可得OF∥DE,又,DE不在平面ACF内，
可得 平面；
（2）如图连接C点与AD中点位x轴，CB为y轴，CE为z轴建立空间直角坐标系，
设菱形的边长为2，可得CE=2，
可得E(0，0，2)，O(,,0),A(,1,0),F(0,1,1),
可得：,,设异面直线与所成角为，
可得，
（3）可得D (,-1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),
可得,,设平面EBD的一个法向量为，
可得，,可得的值可为，由
可得与平面所成角的正弦值为
=.
本题主要考查直线与平面平行，及向量法求异面直线所成的角及向量法求直线与平面所成的角，综合性大，难度较大.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．在四面体中，空间的一点M满足，若M，A，B，C共面，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有（ ）
A．0个 B．3个 C．7个 D．9个
3．如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记,则（ ）
A． B．
C． D．
4．直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
5．已知三维数组，，且，则实数（ ）
A．-2 B．-9 C． D．2
6．如图，已知平行六面体，E，F分别是棱，的中点，记，则（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知向量，是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线l上，则“，且”是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知四面体的所有棱长都是2，点是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是
D．与所成角的余弦值为
11．已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知正方体的棱长为1，点E是底面ABCD上的动点，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
13．向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为实数0 C．与方向相同 D．
14．四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．2
15．已知是长方体外接球的一条直径，点在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知是空间单位向量，，若空间向量满足，，则的最大值是___________.
17．已知，，三点不共线，对平面外一点，给出下列表达式：，其中，是实数，若点与，，四点共面，则___________.
18．如图所示，在平行六面体中，，若，则___________.
三、解答题
19．如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点．
（1）用向量 ，，表示和．
（2）若四面体的所有棱长都等于1，求的值．
20．已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
21．如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
22．如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，.
（1）求证： 平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求与平面所成角的正弦值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
利用空间四点共面可知，直接求的值.
【详解】
因为M，A，B，C共面，则，得.
故选：A
本题考查空间四点共面定理，属于基础题型.
2．C
根据向量模相等，结合平行六面体的结构特征和向量的概念，即可求解.
【详解】
由向量模相等，即为长度相等，根据平行六面体的结构特征可知：
与向量模相等的向量是：，，，，，，共7个．
故选：C．
3．C
根据所给的图形，在图形中看出要求的向量可以怎么得到，用减法把向量先变化成已知向量的差的形式，再利用向量的加法法则，得到结果．
【详解】
，．
，
故选：．
本题考查空间向量的加减法，本题解题的关键是在已知图形中尽量的应用几何体的已知棱表示要求的结果，属于基础题．
4．A
若，则直线l的方向向量与平面的法向量平行，利用空间向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】
因为，所以直线l的方向向量与平面的法向量平行，
可得，解得，
故选：A
5．D
结合空间向量的数量积的应用即可.
【详解】
因为，
所以，
又，
所以.
故选：D
6．C
利用空间向量的线性运算即可求解.
【详解】
.
故选：C
7．B
利用向量的运算性质计算即可.
【详解】
因为四棱锥的底面是矩形，，，，是的中点，
所以
故选：B
8．B
由线面垂直的定义和判定定理即可得到答案.
【详解】
由题意，，.
若与方向相反，且，在平面α内，则向量，所在的直线要么重合，要么平行，因此根据线面垂直的判定定理，由，且无法得到.
若，根据线面垂直的定义，可以得到，且.
所以“，且”是的必要不充分条件.
故选：B.
9．A
根据，即 可求解.
【详解】
如图，可知，
.
故选：A.
本题考查空间向量数量积的运算，属于基础题.
10．B
选项，计算得，所以选项不正确；
选项，，所以，所以选项正确；
选项，向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，与所成角的余弦值为，所以选项不正确.
【详解】
选项，由题意可知，
则
，
∴，所以选项不正确；
选项，，又，
∴，所以选项正确；
选项，，，
∴向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，，，
设与所成角的平面角为，
∴
，所以选项不正确.
故选：B
关键点点睛：解答本题的关键是把几何的问题和向量联系起来，转化为向量的问题，提高解题效率，优化解题.把线段长度的计算，转化为向量的模的计算；把垂直证明转化为向量数量积为零；把异面直线所成的角转化为向量的夹角计算.
11．B
利用向量的线性运算和数量积运算律可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解
【详解】
设正方体内切球的球心为，则,
,
因为MN是正方体内切球的一条直径，
所以，，
所以，
又点Р在正方体表面上运动，
所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；
当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为；
所以，
所以的取值范围为，
故选：B
12．B
建立空间直角坐标系，由向量的数量积运算，计算可得选项．
【详解】
以点D为原点，为轴建立空间直角坐标系，则
设，其中，则，
所以，等号成立的条件是，故其最大值为1，
故选：B．
13．D
根据相反向量的定义，即可判断选项.
【详解】
向量，互为相反向量，则，模相等、方向相反，所以，故A错误；
，故B错误；与方向相反，故C错误；，故D正确.
故选：D.
14．B
运用向量的线性运用表示向量，对照系数，求得，代入可得选项.
【详解】
因为，
所以，所以，所以 ，
解得，所以，
故选：B.
15．B
在长方体中建立空间直角坐标系，用向量法求解.
【详解】
根据题意，以D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图示.
设长方体外接球球心为O，则DB1为外接球的一条直径，设O为DB1中点，不妨设M与D重合，N与B1重合.
则外接球的直径长为，所以半径r=1；
所以
由P在长方体表面上运动，所以，即
所以，即
故选：B
向量法解决立体几何问题的关键：
(1)建立合适的坐标系；
(2)把要用到的向量正确表示；
(3)利用向量法证明或计算.
16．
由可构造出符合基本不等式的形式，求得的范围；根据向量的数量积运算可求得，利用的范围可求得所求最大值.
【详解】
，，
显然，当时，最大；
当，时，（当且仅当时取等号），；
当，时，（当且仅当，即时取等号），；
综上所述：；
，
，的最大值为.
故答案为：.
关键点点睛：本题考查向量模长的相关问题的求解，解题关键是能够利用平方运算将模长转化为数量积运算的形式，结合基本不等式求得最值.
17．
根据空间共面向量定理的推论计算．
【详解】
解：，，
点，，，四点共面，，.
故答案为：.
18．2
题中 几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，
,再将转化为，以及将转化为,,总之等式右边为，，,从而得出，.
【详解】
解：因为
，
又，
所以，，
则.
故答案为：2.
要充分利用几何体的几何特征，以及将作为转化的目标，从而得解.
19．（1）,（2）.
（1）利用空间向量基本定理及空间向量线性运算可得.
（2）四面体的所有棱长都等于1，各面为等边三角形，再运用空间向量数量积运算化简可得.
【详解】
解：（1），
∴
（2）四面体的所有棱长都等于1，各面为等边三角形, ，，
本题考查空间向量基本定理及数量积计算
用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
20．证明见解析
取定基底向量，并分别记为，再用基底表示出和，然后借助数量积即可计算作答.
【详解】
在空间四边形OABC中，令，则，
令，G是MN的中点，如图，
则，，
于是得
，
因此，，
所以OG⊥BC.
21．（1）；（2）；（3）；（4）
根据空间向量加减运算的运算法则计算即可.
【详解】
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
22．（1）证明见详解；（2）；（3）
（1）连接OF，可得OF为的中位线，OF∥DE，可得证明；
（2）连接C点与AD中点为x轴，CB为y轴，CE为z轴建立空间直角坐标系，可得，的值，可得异面直线与所成角的余弦值；
（3）可得平面EBD的一个法向量为，可得与平面所成角的正弦值.
【详解】
解：（1）
如图，连接OF，因为底面是菱形，与交于点，
可得O点为BD的中点，又为的中点，所以OF为的中位线，
可得OF∥DE,又,DE不在平面ACF内，
可得 平面；
（2）如图连接C点与AD中点位x轴，CB为y轴，CE为z轴建立空间直角坐标系，
设菱形的边长为2，可得CE=2，
可得E(0，0，2)，O(,,0),A(,1,0),F(0,1,1),
可得：,,设异面直线与所成角为，
可得，
（3）可得D (,-1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),
可得,,设平面EBD的一个法向量为，
可得，,可得的值可为，由
可得与平面所成角的正弦值为
=.
本题主要考查直线与平面平行，及向量法求异面直线所成的角及向量法求直线与平面所成的角，综合性大，难度较大.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页