1.2空间向量基本定理 同步练习（Word版含解析）

选择性必修第一册 1.2 空间向量基本定理 同步练习
一、单选题
1．如图，在空间四边形中，，，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底中基向量与基底基向量对应相等
3．如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记,则（ ）
A． B．
C． D．
4．空间四边形OABC中，，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6，且它们所在的平面互相垂直，O是BE的中点，，则线段OM的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在四面体中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则可用向量，，表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知在平行六面体中，，，，，，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，在三棱锥中，是的中点，若，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
9．O、A、B、C为空间四点，且向量、、不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．、、共线 B．、共线
C．、共线 D．O、A、B、C四点共面
10．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，，，M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1=1∶4，用 ， ， 表示向量的结果是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知空间向量，满足||=||=1，且，的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足=2+，=3-，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．在平行六面体中，若，则（ ）
A． B． C． D．
13．如图,在四面体中,是的中点,是的中点,则等于（ ）
A． B．
C． D．
14．棱长均为3的三棱锥，若空间一点满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
15．在正方体中，AC与BD的交点为M.设则下列向量与相等的向量是 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则实数______．
17．已知四面体中，，分别在，上，且，，若，则________.
18．已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______.
三、解答题
19．如图，在三棱锥中，G是的重心（三条中线的交点），P是空间任意一点.
（1）用向量表示向量，并证明你的结论；
（2）设，请写出点P在的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）.
20．如图，在空间四边形OABC中，G，H分别是，的重心，D为BC的中点，试用基底表示向量和．
21．如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系O—xyz．
（1）写出点E，F的坐标；
（2）求证：A1F⊥C1E；
（3）若A1，E，F，C1四点共面，求证：．
22．直三棱柱中，，棱，是的中点．
(1)求的长；
(2)求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．A
根据已给条件该题可利用数量积的方法求解要求与夹角的余弦值,可求与的夹角的值,利用代入向量的夹角公式求解即可.
【详解】
解：
设异面直线与的夹角为则
故选A
本题主要考查了利用向量的数量积求异面直线所成的角,属有一定难度的基础题.解题的关键是将异面直线与的夹角转化为求与的夹角!
2．C
根据空间向量基本定理判断选项可解.
【详解】
项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以错.
项，空间基底有无数个, 所以错.
项中因为基底不唯一，所以错.
故选.
本题考查空间向量基本定理.
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组使得
3．C
根据所给的图形，在图形中看出要求的向量可以怎么得到，用减法把向量先变化成已知向量的差的形式，再利用向量的加法法则，得到结果．
【详解】
，．
，
故选：．
本题考查空间向量的加减法，本题解题的关键是在已知图形中尽量的应用几何体的已知棱表示要求的结果，属于基础题．
4．A
结合图形以及空间向量的线性运算即可求出结果.
【详解】
，
故选：A.
5．B
建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，求出点、的坐标，再利用空间中两点间的距离公式求出线段的长.
【详解】
由题意建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系
，
则，，因为是的中点，所以，
因为，所以，所以，即线段的长为，故选B.
本题考查空间中两点间的距离公式的应用，解题的关键在于建立合适的空间直角坐标系，并求出相应点的坐标，考查空间想象能力，属于中等题.
6．B
利用空间向量的基本定理，用，，表示向量．
【详解】
因为是的中点，是的中点，
，．
故选：B
7．D
运用向量表示出，然后平方计算出结果.
【详解】
解：在平行六面体中，因为，所以．
所以．
故选：D.
本题考查了平行六面体中的长度问题，运用向量将其进行分解，线性表示出要求向量，然后求出结果，属于中档题.
8．C
利用空间向量的加法和减法法则可得出关于、、的表达式.
【详解】
，
因此，.
故选：C.
9．D
根据向量、、不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论.
【详解】
因为O、A、B、C为空间四点，且向量、、不能构成空间的一个基底，
所以、、共面，
所以O、A、B、C四点共面，
故选：D
10．D
根据图形，利用向量线性运算，即可求解.
【详解】
由题意可得，=-
=-(+).
∵，，
∴.
故选：D.
11．B
求出和，cos∠AOB和sin∠AOB，根据三角形的面积公式可求出结果.
【详解】
||===，
||=，
则cos∠AOB===，
从而有sin∠AOB=，
∴△OAB的面积S=×××=，
故选：B．
12．A
根据空间向量的线性运算，得出，结合题意，即可求出，从而得出的值.
【详解】
解：由空间向量的线性运算，得，
由题可知，，
则，所以，
.
故选：A.
本题考查空间向量的基本定理的应用，以及空间向量的线性运算，属于基础题.
13．C
因为在四面体中,是的中点,是的中点,,即可求得答案.
【详解】
在四面体中,是的中点,是的中点
故选:C.
本题主要考查了向量的线性运算,解题关键是掌握向量基础知识和数形结合,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.
14．A
根据空间向量基本定理知，与，，共面, 则的最小值为三棱锥的高，由条件求出三棱锥的高即可.
【详解】
由，根据空间向量基本定理知，与，，共面.
则的最小值为三棱锥的高，，
设为在面上的射影，由条件可得三棱锥为正三棱锥.
连接并延长交于点,则
所以,
所以
故选：A．
本题考查空间向量基本定理，向量共面的条件，求正三棱锥的高，属于中档题.
15．C
根据空间向量的运算法则，推出的向量表示，可得答案.
【详解】
，
故选：C.
16．
根据，，，是不共面的四点，则对平面内任一点都存在唯一的有序实数组，使，其中，即可求解.
【详解】
解：因为，且，，，四点共面，
则，解得，
故答案为：.
17．
连接，根据题意，结合空间向量加减法运算求解即可.
【详解】
解：连接
∵四面体中，，分别在，上，且，
∴
∴
∴.
故答案为：
18．
由条件可得存在实数，使得，再用向量 表示出向量，即可得出答案.
【详解】
P，A，B，C四点共面,则存在实数，使得
所以
即
所以 ，解得
故答案为：
19．（1）；证明见解析；（2），且.
（1）再结合， ，即可将用向量表示.
（2）点P在的内部，所以四点共面，利用共面向量定理的推论即可得.
【详解】
解析（1）.
证明如下：
.
（2）若，点P在的内部（不包括边界），
的充分必要条件是：，且.
本题主要考查了空间向量基本定理，用一组基底表示向量，也考查了共面向量定理的推论，属于基础题.
20．；
根据向量的加，减，数乘公式，结合几何图形，即可用基底表示.
【详解】
；
所以,
所以
21．（1） E(a，x，0)，F(a－x，a，0)；（2）证明见解析 ；（3） 证明见解析．
( 1 )在空间直角坐标中结合正方体结构特征，能求出E, F的坐标；
(2)求出，利用向量法能证明A1F⊥C1E；
(3)由 A1，E，F，C1四点共面，得到,从而E, F,分别AB, BC的中点，由此能证明.
【详解】
（1）在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点且，其中以O为原点建立空间直角坐标系O—xyz，
所以E(a，x，0)，F(a－x，a，0)．
（2）证明：∵A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，
∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，
∴＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，
∴⊥，
∴A1F⊥C1E．
（3）证明：∵A1，E，F，C1四点共面，
共面．
选与为在平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使＝λ1＋λ2，
即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a，0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，
解得λ1＝，λ2＝1．
于是＝＋．
22．（1）；（2）
(1) 以为原点，以为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系,写出点的坐标，再求出和.
(2)先求出，再利用公式求的值．
【详解】
以为原点，以为轴，轴，轴的正方向，
建立空间直角坐标系．
(1)依题意，得.
(2)依题意，得．
∴，
∴.
本题主要考查向量的坐标运算和向量的模，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页