10.2事件的相互独立性 课件（共62张PPT）

(共62张PPT)
事件的相互独立性
事件的相互独立性
1.定义:设A, B为两个事件，如果 P (AB) = _________, 则
称事件A与事件B相互独立.
2.性质:A与B是相互独立事件，则 也相互独立.
P(A)P(B)
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立.( )
(2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )
(3)如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)=P(B).( )
(4)“P(AB)=P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要
条件.( )
提示：(1)正确.不可能事件的发生与任何一个事件的发生没
有影响.
(2)正确.必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响.
(3)正确. 如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)=P(B).
(4)正确.如果事件A与事件B相互独立，则有P(B|A)=P(B)，
又 从而P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)，即
P(AB)=P(A)P(B)是事件A,B相互独立的充要条件.
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
【知识点拨】
1.对事件相互独立性的理解
(1)前提：在应用公式P(AB)=P(A)P(B)时,一定要注意公式成
立的条件,即各事件必须相互独立.
(2)推广：一般地，如果事件A1,A2,…,An相互独立，那么这
n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
2.相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件 互斥事件
概念 如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件
符号 相互独立事件A,B同时发生,记作:AB 互斥事件A,B中有一个发生,记作:A∪B(或A+B)
计算 公式 P(AB)=P(A)P(B) P(A∪B)=P(A)+P(B)
类型一 相互独立性的判断
【典型例题】
1．下列事件中，A，B是相互独立事件的是( )
A.一枚硬币掷两次，A＝{第一次为正面}，B＝{第二次为反面}
B.袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝{第一次摸到白球}，B＝{第二次摸到白球}
C.掷一枚骰子，A＝{出现点数为奇数}，B＝{出现点数为偶数}
D.A＝{人能活到20岁}，B＝{人能活到50岁}
2.分别掷两枚质地均匀的骰子，设A＝{第一枚朝上点数为1}，B＝{第二枚朝上点数为1}，C＝{两枚朝上点数相同}，指出A,B,C中相互独立的事件．
【解题探究】
1.判断两个事件是否相互独立的依据是什么？
2.判断两个事件是否相互独立最常用的方法是什么？
探究提示：
1.两个事件相互独立的定义.
2.判断两个事件是否相互独立的最常用的方法是利用P(AB)=P(A)P(B)，若相等，则两个事件相互独立；若不相等，则这两个事件不相互独立.
【解析】1.选A.把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响．
2.掷两枚骰子，基本事件总数为36个，A发生与否不影响B的
发生及概率大小，A的基本事件个数为6，B的基本事件个数为
6，则AB的基本事件个数为1，即(1,1).
因为
所以P(AB)＝P(A)·P(B)，
所以A,B相互独立.
C的基本事件个数为6，
AC即为(1,1)，BC即为(1,1)，
所以
所以P(AC)＝P(A)·P(C)，P(BC)＝P(B)·P(C)，
所以A与C,B与C也相互独立．
【拓展提升】判断两个事件是否相互独立的方法
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件.
(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)=P(B)判断.
【变式训练】掷3枚质地均匀的硬币，设A表示事件第一枚正面朝上，事件B表示3枚结果相同，试判定A与B独立吗？
【解析】掷3枚硬币，基本事件总数为8，
事件A的基本事件个数为4，所以
B的基本事件个数为2，所以
AB基本事件为(正,正,正)，所以
而
所以A，B相互独立．
类型二 相互独立事件同时发生的概率
【典型例题】
1．同时转动如图所示的两个转盘，
记转盘甲得到的数为x，转盘乙得
到的数为y，构成数对(x,y)，则
所有数对(x,y)中满足xy=4的概率
为( )
2.甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为
求：(1)两个人都译出密码的概率.
(2)两个人都译不出密码的概率.
(3)恰有一人译出密码的概率.
(4)至多一人译出密码的概率.
(5)至少一人译出密码的概率．
【解题探究】
1.题1中满足xy=4的事件有几个？
2.利用事件之间的关系求概率的关键是什么？
探究提示:
1.题1中满足xy=4的事件有3个,分别为(1,4),(2，2)，(4,1).
2.利用事件之间的关系求概率的关键是要弄清“发生”还是“不发生”，发生几个，还要明确事件之间的关系，是彼此互斥，还是相互独立，合理运用概率的加法公式和乘法公式求解.
【解析】1.选C.满足xy=4的所有可能如下：
x=1,y=4；x=2,y=2；x=4,y=1.
所以,所求事件的概率
P＝P(x=1,y=4)+P(x=2,y=2)+P(x=4,y=1)
2.记A为“甲独立地译出密码”，B为“乙独立地译出密
码”．
(1)两个人都译出密码的概率为
(2)两个人都译不出密码的概率为
(3)恰有一人译出密码分为两类：甲译出乙译不出，乙译出甲
译不出，即
所以
(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码，
所以
(5)至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码，
所以
【拓展提升】与相互独立事件有关的概率问题求解策略
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B.
(2)A，B都发生为事件AB.
(3)A，B都不发生为事件
(4)A，B恰有一个发生为事件
(5)A，B中至多有一个发生为事件
它们之间的概率关系如表所示：
A,B互斥 A,B相互独立
P(A+B) P(A)+P(B)
P(AB) 0 P(A)P(B)
1-[P(A) +P(B)]
A,B互斥 A,B相互独立
P(A)+P(B)
1 1-P(A)·P(B)
【变式训练】(2013·沈阳高二检测)某售货员负责在甲、乙、丙三个柜台上售货，如果在某一小时内各柜台需要售货员照顾的概率分别为0.9,0.8,0.7，假定各个柜台是否需要照顾相互之间没有影响，求这个小时内：
(1)只有丙柜台需要售货员照顾的概率.
(2)三个柜台至少有一个需要售货员照顾的概率.
(3)三个柜台至多有一个需要售货员照顾的概率.
【解析】(1)只有丙柜台需要售货员照顾的概率
P=(1-0.9)×(1-0.8)×0.7=0.014.
(2)三个柜台至少有一个需要售货员照顾的概率
P=1-(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.7)=1-0.006=0.994.
(3)三个柜台至多有一个需要售货员照顾的概率
P=(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.7)+0.9×(1-0.8)×(1-0.7)+0.8×(1-0.9)×(1-0.7)+0.7×(1-0.9)×(1-0.8)=0.006+0.054+0.024+0.014=0.098.
类型三 多个事件的相互独立性
【典型例题】
1.加工某一零件经过三道工序，设第一、二、三道工序的次
品率分别为 且各道工序互不影响，则加工出来的
零件的次品率为________.
2.已知A，B,C三个事件独立，若事件A发生的概率为 事件
B发生的概率为 事件C发生的概率为 求以下发生的概率.
(1)事件A，B,C都发生的概率.
(2)事件A，B,C都不发生的概率.
(3)事件A，B,C不都发生的概率.
(4)事件A，B,C至少有一个发生的概率.
(5)事件A，B,C恰有一个发生的概率.
【解题探究】
1.多个事件相互独立的概率公式是什么？
2.对于多个较复杂的事件，解题关键是什么？
探究提示:
1.利用“如果事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)”来求.
2.可先恰当地分类(互斥事件)，在每类中，用独立事件计算．
【解析】1.因为第一、二、三道工序的次品率分别为
所以第一、二、三道工序的正品率分别为
所以加工出来的零件的次品率为
答案:
2.(1)记事件A1为“事件A，B,C都发生”，因为A，B,C是三个
独立事件，
所以
(2)记事件A2为“事件A，B,C都不发生”，因为A，B,C是三个
独立事件，故 也相互独立.
所以
(3)记事件A3为“事件A，B,C不都发生”，则 从而
(4)记事件A4为“事件A，B,C至少有一个发生”，则
从而
(5)记事件A5为“事件A，B,C恰有一个发生”，则有三种情
况：
第一种，事件A发生，事件B,C不发生，即
第二种，事件B发生，事件A,C不发生，即
第三种，事件C发生，事件A,B不发生，即
而这三种情况不可能同时发生，
即 彼此互斥，
所以
【拓展提升】应用相互独立事件的概率公式求概率的步骤
(1)确定诸事件是相互独立的.
(2)确定诸事件是否会同时发生.
(3)先求出每个事件发生的概率，再求其积或和.
【变式训练】在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考
核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否
则被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题
的概率分别为 且各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率.
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.
(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机
变量X的分布列.
【解析】设事件Ai(i=1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i
轮问题”，由已知
(1)设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，
则
(2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则
(3)X的可能取值为1,2,3,4.
所以，X的分布列为
X 1 2 3 4
P
相互独立事件概率的实际应用
1.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，则在这段时间内线路正常工作的概率是______.
2.在一袋中装有2只红球和8只白球，每次从袋中任取一球，取后放回，直到取得红球为止，求取球次数X的分布列.
【解析】1.由题意，分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够
闭合为事件A，B，C．这段时间内3个开关是否能够闭合相互
之间没有影响.根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间
内3个开关都不能闭合的概率是
=［1－P(A)］［1－P(B)］［1－P(C)］
=(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)=0.027.
所以这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正
常工作的概率是
答案：0.973
2.X的所有可能取值为1，2，…，i，…
令Ai表示“第i次取得红球”，则由于各次取球相互独立，
且取到红球的概率为p＝0.2，于是得
＝0.8×0.8×…×0.8×0.2＝0.2×0.8i-1.
所以其分布列为
X 1 2 3 … i …
P 0.2 0.8×0.2 0.82×0.2 … 0.2×0.8i-1 …
【拓展提升】系统可靠性问题的求解策略
由于该类问题常常与物理知识相联系，在考查知识纵向联系的同时，重点考查事件独立性的综合应用.求解时可先从系统的构造出发，分析所给的系统是单纯的串(并)联还是串并联混合体结构.
(1)直接法：把所求的事件分成若干个互斥事件之和，根据互斥事件的概率公式求解.
(2)间接法：当所涉及的事件较多，而其对立事件所涉及的事件较少时，可根据对立事件的概率公式求解.
【易错误区】对事件类型判断不明导致错误
【典例】甲、乙两人参加环保知识竞赛，在10道备选试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题.现规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题为合格.则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为_______.
【解析】设甲、乙两人考试合格的事件分别为A，B，事件A，
B相互独立.
所以甲、乙两人考试均不合格的概率为
故甲、乙两人至少有一人考试合格的概率
答案：
【误区警示】
【防范措施】
1.注意事件类型的甄别
在解决概率相关问题时，要理清事件间的关系，强化事件概型及关系的判断，明确事件是互斥事件还是独立事件，然后合理选择公式，如本例中的事件 A，B是相互独立的，所以选择独立事件的概率公式.
2.明确求解问题的思路
一是直接法，即求解时先把待求事件分解成彼此互斥的事件的和事件，在此基础上求相应事件的概率.二是间接法，利用对立事件的知识求解，采用的是“正难则反”的解题原则. 如本例中求“至少一人”的问题，采用其对立事件求解更加方便.
【类题试解】(2013·福州高二检测)甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6,被甲、乙同时解出的概率为0.48，则该题被解出的概率为( )
A.0.92 B.0.08 C.0.14 D.0.8
【解析】选A.令事件A，B分别表示甲、乙两人分别独立解出某一道数学题，由题意可知P(A)=0.6,P(AB)=0.48,又A,B相互独立，故P(AB)=P(A)P(B),所以P(B)=0.8,从而该题被解出的概率P=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.6-0.48=0.92.
1.若事件A，B相互独立，且 则P(AB)=( )
【解析】选C.因为事件A，B相互独立，故
2.甲、乙两人投球命中率分别为 甲、乙两人各投一
次，恰好命中一次的概率为( )
【解析】选A.
3.国庆节放假，甲去北京旅游的概率为 乙、丙去北京旅游
的概率分别为 假定三人的行动相互之间没有影响，那么
这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )
【解析】选B.因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为
因此，他们不去北京旅游的概率分别为 所以，
至少有1人去北京旅游的概率为
4.两人射击命中目标的概率分别为 现两人同时射击目
标，则目标被命中的概率为______.
【解析】目标被命中的概率
答案：
5.有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按包装可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，则这一事件的概率是_______．
【解析】设“任取一书是文科书”为事件A，“任取一书是
精装书”为事件B，则A，B是相互独立的事件，所求概率为
P(AB)．
据题意可知
所以
答案：
6.制造一种零件，甲机床的正品率为0.90，乙机床的正品率为0.80，分别从它们制造的产品中任意抽取一件.
(1)两件都是正品的概率.
(2)两件都是次品的概率.
(3)恰有一件正品的概率.
【解析】记“从甲机床抽到正品”为事件A，“从乙机床
抽到正品”为事件B，“抽取的两件产品中恰有一件正品”
为事件C，由题意知A,B是相互独立事件.
(1)两件都为正品为事件AB，则P(AB)=P(A)·P(B)
=0.90×0.80=0.72.
(2)两件都是次品为事件
则
=0.10×0.20=0.02.
(3)抽取的两件中恰有一件正品包含事件 与事件
则
=0.90×0.20+0.10×0.80=0.26.