数学高中苏教版选修（2-3）2.5《离散型随机变量的均值与方差》课件

课件58张PPT。第八节　离散型随机变量的均值与方差(理)点 击 考 纲
1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．
2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.
关 注 热 点
1.以选择、填空的形式考查离散型随机变量均值与方差的概念和计算．
2.以实际问题为背景，考查均值与方差的应用. 1．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为(1)均值
称EX＝ 为随机变量X的均值或 ，它反映了离散型随机变量取值的 ．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn数学期望平均水平平均偏离程度 σX 2．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝ .
(2)D(aX＋b)＝ .(a，b为常数)
3．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则EX＝ ，DX＝ ．
(2)若X～B(n，p)，则EX＝ ，DX＝ ．aEX＋ba2DXp(1－p)npnp(1－p)p随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？
提示：随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差．1．若随机变量X的分布列如表，则EX＝(　　)
答案：C答案：A 3．设随机变量ξ～B(n，p)，且Eξ＝1.6，Dξ＝1.28，则(　　)
A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45
答案：A4．已知X的分布列为
答案：B(1)写出ξ的分布列；
(2)求数学期望E(ξ)．故ξ的分布列为【方法探究】　(1)随机变量的数学期望等于该随机变量的每一个取值与取该值时对应的概率乘积的和．
(2)均值(数学期望)是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，均值(数学期望)是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．
(3)E(X)是一个实数，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的．
提醒：若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则可直接使用公式E(X)＝np.(1)求该学生考上大学的概率；
(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．则ξ的分布列为： 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，这两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
甲：乙：
试评定这两个保护区的管理水平．【解析】　甲保护区的违规次数X1的数学期望和方差为：
EX1＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，
DX1＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区的违规次数X2的数学期望和方差为：
EX2＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，
DX2＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为EX1＝EX2，DX1>DX2，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，甲保护区的违规事件次数相对分散和波动．
∴乙保护区的管理水平相对要好．
【方法探究】　数学期望反映了随机变量取值的平均水平，但有时只知道数学期望还不能解决问题，还需要知道随机变量的取值在均值周围变化的情况，即方差．记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每投资十万元，X取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元．随机变量X1，X2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润．
(1)求X1，X2的概率分布列和均值E(X1)，E(X2)；
(2)当E(X1)(2)由E(X1)【解析】　(1)法一：X1的概率分布列为故X2的概率分布列为
所以E(X2)＝1.3×(1－p)2＋1.25×2p(1－p)＋0.2×p2＝1.3×(1－2p＋p2)＋2.5×(p－p2)＋0.2×p2
＝－p2－0.1p＋1.3.法二：X1的概率分布列为所以E(X2)＝1.3×(1－p)2＋1.25×2p(1－p)＋0.2×p2
＝1.3×(1－2p＋p2)＋2.5×(p－p2)＋0.2×p2
＝－p2－0.1p＋1.3.
(2)由E(X1)1.18，
整理得(p＋0.4)(p－0.3)<0，
解得－0.4因为0p的取值范围是0(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
解析：(1)由概率分布的性质知，
0．1＋0.3＋2a＋a＝1，
∴a＝0.2，
则ξ的分布列为E(ξ)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.
(2)设事件A表示“2个月内共被投诉2次”，事件A1表示“2个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”，事件A2表示“2个月内每个月均被投诉1次”，则由事件的独立性可得
P(A1)＝C21P(ξ＝2)P(ξ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，
P(A2)＝[P(ξ＝1)]2＝(0.3)2＝0.09，
P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17，
故该企业在这两个月内共被投诉2次的概率为0.17.(2010·山东，12分)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：
①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；
③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；
(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.
【解析】　设A、B、C、D分别为第一、二、三、四个问题，用Mi(i＝1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答正确，用Ni(i＝1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答错误，则Mi和Ni是对立事件(i＝1,2,3,4)．由题意得因此随机变量ξ的分布列为【考向分析】　从近两年的高考试题来看，离散型随机变量的均值与方差是高考的热点，题型为填空题或解答题，属中档题．常与排列组合、概率等知识综合命题，既考查基本概念，又注重考查基本运算能力和逻辑推理、理解能力．
预测2012年高考，离散型随机变量的均值与方差仍然是高考的热点，同时应特别注意均值与方差的实际应用．1．已知ξ的分布列为：
答案：A2．某人进行射击，每次中靶的概率均为0.8，现规定：若中靶就停止射击；若没中靶，则继续射击，如果只有3发子弹，则射击次数ξ的数学期望为(　　)
A．2.14 B．4.12
C．1.24 D．2.41解析：射击次数ξ的分布列为
∴Eξ＝0.8×1＋0.16×2＋0.04×3＝1.24.
答案：C
3．(2011·福建福州质检)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且Eξ＝6.3，则a的值为(　　)
A.5 B．6
C．7 D．8
解析：由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，
∴b＝0.4.
∴Eξ＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3.
∴a＝7.
答案：C4．已知ξ的分布列
答案：C