(共24张PPT)
17.1.2 勾股定理
1.会利用勾股定理解决生活中的简单实际问题.
2.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型,强化转化思想,培养学生的应用意识和分析能力.
3.经历探索勾股定理在实际问题中的应用过程,进一步体会勾股定理的灵活应用.
学习目标
重点:会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.
难点:能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型,利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系,并进一步求出未知边长.
重难点
一个门框的尺寸如图所示:一块长3米,宽2.2米的长方形薄板能否从门框内通过 为什么
新课导入
你能用已学的知识解决上面的问题吗?
1. 从电杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆,则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是( )
A.24m B.12m C. D. m
D
5m
7m
预习检测
2. 如图,厂房屋顶人字形钢架的跨度BC=12米,AB=AC=6.5米,则中柱AD(D为底边BC的中点)的长是( )
A.6米 B.5米 C.3米 D.2.5米
D
6.5米
6.5米
6米
6米
预习检测
例1 一个门框的尺寸如图所示,一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过 为什么
2m
1m
A
B
D
C
解:在Rt△ABC中,根据勾股定理,
AC2=AB2+BC2=12+22=5
因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.
分析:可以看出木板横着,竖着都不能通过,只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度,只要AC的长大于木板的宽就能通过.
例题分析
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤:
1.从实际问题中抽象出几何图形;
2.确定所求线段所在的直角三角形;
3.找准直角边和斜边,根据勾股定理建立等量关系;
4.求得结果,解决实际问题.
实际问题
数学问题
直角三角形
勾股定理
转化
构建
利用
解决
归纳总结
湖的两端有A、B两点,从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为 ( )
A
B
C
A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
A
130米
120米
(米)
巩固练习
A
B
D
C
O
解:在Rt△ABC中,根据勾股定理得
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1,
∴OB=1.
在Rt△COD中,根据勾股定理得
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,
∴梯子的顶端沿墙下滑0.5m时,梯子底端并不是也外移0.5m,而是外移约0.77m.
例2 如图,一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗
∴
∴BD=OD-OB≈1.77-1=0.77.
例题分析
如图,学校教学楼前有一块长方形长为4米,宽为3米的草坪,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在草坪内走出了一条“径路”,却踩伤了花草.
(1)求这条“径路”的长;
(2)他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)?
解:(1)在Rt△ ABC中,根据勾股定理得
(2)他们仅仅少走了(3+4-5)×2=4(步).
∴这条“径路”的长为5米.
巩固练习
例3. 在一次台风的袭击中,小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂,树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗?
8 米
6米
C
B
∴这棵树在折断之前的高度是10+6=16(米).
A
解:根据题意可以构建一直角三角形模型,如图.
在Rt△ABC中,AC=6米,BC=8米,
由勾股定理得
例题分析
在波平如镜的湖面上,有一朵美丽的红莲,它高出水面3尺,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为6尺,问湖水多深?
A
B
D
C
解:如图,设红莲在无风时高出水面部分CD长为3尺,点B是红莲被吹斜后花朵的位置,BC部分长6尺.设水深AC为x尺.
在Rt△ABC中,∴AC2+BC2=AB2(勾股定理).
巩固练习
答:湖水深4.5尺.
∴(x+3)2=x2+62,化简解得x=4.5.
又∵AB=AD=(x+3)尺,
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤:
(1)读懂题意,分析已知、未知间的关系;
(2)构造直角三角形;
(3)利用勾股定理等列方程;
(4)解决实际问题.
归纳总结
(中考 包头)某工程队准备从A到B修建一条隧道,测量员在直线AB的同一侧选定C,D两个观测点,如图.测得AC长为km,CD长为km,BD长为km,∠ACD=60°,∠CDB=135°(A、B、C、D在同一水平面内).
(1)求A、D两点之间的距离;
(2)求隧道AB的长度.
链接中考
解:(1)过A作AE⊥CD于E,
如图所示:则∠AEC=∠AED=90°,
∵∠ACD=60°,
∴∠CAE=90°-60°=30°,
∴ CE= AC = , AE=CE =
∴ DE=CD-CE = - =
∴AE=DE,
∴△ADE是等腰直角三角形,
∴ AD= AE = × =
(中考 包头)某工程队准备从A到B修建一条隧道,测量员在直线AB的同一侧选定C,D两个观测点,如图.测得AC长为km,CD长为km,BD长为km,∠ACD=60°,∠CDB=135°(A、B、C、D在同一水平面内).
(1)求A、D两点之间的距离;
(2)由(1)得:△ADE是等腰直角三角形,
∴ AD= AE = ,∠ADE=45°,
∵∠CDB=135°,
∴∠ADB=135°-45°=90°,
∴
即隧道AB的长度为3 km.
(中考 包头)某工程队准备从A到B修建一条隧道,测量员在直线AB的同一侧选定C,D两个观测点,如图.测得AC长为km,CD长为km,BD长为km,∠ACD=60°,∠CDB=135°(A、B、C、D在同一水平面内).
(2)求隧道AB的长度.
1. 如图,一支铅笔放在圆柱体笔筒中,笔筒的内部底面直径是9cm,内壁高12cm,则这只铅笔的长度可能是( )
A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm
D
随堂检测
9
12
15
铅笔的长度>15
2. 如图,有一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为100cm,15cm和10cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点. 若A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物,则它所走的最短路线的长度为( )
A.115 cm B.125 cm C.135 cm D.145 cm
B
100
15×3+10×3=75
随堂检测
3.如图,小巷左右两侧是竖直的墙壁,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米.若梯子底端位置保持不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为_______.
2.7米
随堂检测
2.5米
2.5米
2米
4. 已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为_______.
10
(2,5)
(-4,-3)
8
6
随堂检测
5.有一个高为1.5 m,半径是1 m的圆柱形油桶,在靠近边的地方有一小孔,从孔中插入一铁棒,已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m,问这根铁棒有多长?
解:设伸入油桶中的长度为x m,则最长时:
解得x=2.5
最短时,x=1.5
所以最长是2.5+0.5=3(m).
答:这根铁棒的长应在2~3 m之间.
所以最短是1.5+0.5=2(m).
2
1.5
随堂检测
勾股定理的应用
课堂小结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤:
1.从实际问题中抽象出几何图形;
2.确定所求线段所在的直角三角形;
3.找准直角边和斜边,根据勾股定理建立等量关系;
4.求得结果,解决实际问题.
思路:
实际问题
数学问题
直角三角形
勾股定理
转化
构建
利用
解决