4.3.1 公式法 第一课时 平方差公式 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
4.3.1 公式法--平方差公式
北师大版 八年级下
新知导入
复习回顾：计算并观察下列各式。
等式两边的多项式各有什么特点？
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
新知导入
a米
b米
b米
a米
(a-b)
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么式子？
a2- b2=(a+b)(a-b)
探索新知：思考并回答下列问题。
答：是a,b两数的平方差的形式
新知讲解
平方差公式：a - b = (a+b)(a-b)
探索新知：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
把乘法公式反过来用,可以把符合公式特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法。
两数的和与差相积
只有两项，是两个数的平方差；
①左边
②右边
（1）两项
（2）平方
（3）异号
新知讲解
平方差公式的文字表述：
平方差公式的特点：a2 b2= (a+b)(a b)
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积。
思考：什么形式的多项式可以用平方差公式分解因式？
新知讲解
√
√
×
×
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式.
两数是平方，
减号在中央。
（1）x2+y2
（2）x2-y2
（3）-x2-y2
-(x2+y2)
y2-x2
（4）-x2+y2
（5）x2-25y2
(x+5y)(x-5y)
（6）m2-1
(m+1)(m-1)
练一练：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
解：
原式
分析：
第一步：原式化成平方差的形式
第二步：利用平方差公式因式分解
练一练：分解因式。
新知讲解
因式分解的步骤：
新知讲解
一提 ① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公
因式。
二套 ② 对于二项式，考虑应用平方差公式分解
三查 ③检查：特别看看多项式因式是否分解彻底。
2 - 2=（ + ）（ - ）
首2-尾2=（首+尾）（首-尾）
a2-b2=(a+b)(a-b)
9x2-y2 =(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y).
注意：a , b可以是数，也可以是单项式或多项式，要注意
“整体”“换元”思想的运用。
合作探究
探究一：你对平方差公式的认识有多深？
当场编题，考考你！
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
20152－20142 =
（2mn）2 - ( 3xy)2 =
(x+z)2 - (y+p)2 =
合作探究
a
a
b
b
(
+
)
(
-
)
a2 - b2 =
解:(1)原式=
2x
3
2x
2x
3
3
(2)原式
整体思想
a
b
合作探究
例1：分解因式
合作探究
解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2
＝(x2+y2)(x2-y2)
＝(x2+y2)(x+y)(x-y);
(2)原式＝ab(a2-1)
＝ab(a+1)(a-1).
探究二：因式分解。
注意：1.分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，
则需继续分解。每个因式要分解到不能再分解为止。
2.分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法。
最后进行检查。
合作探究
方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式。注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止。
9( m + n) - ( m - n )
解：原式=[3(m+n)] -( m - n )
=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)
=(4m+2n)(2m+4n)
=4(2m+n)(m+2n)
注意：平方差公式中字母a、b不仅可以表示数，而且也可以表示单项式、多项式或单项式与单项式的乘积。
合作探究
探究三：因式分解。
若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要分解到不能再分解为止。
方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
合作探究
∴x－y＝－2②.
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①，
联立①②组成二元一次方程组，
解得
探究四：已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值。
合作探究
方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
合作探究
(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；
(2)原式＝4(53.52－46.52)
=4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
探究五：计算下列各题。
注意：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化。
合作探究
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n 2=8n，
∵n为整数，
∴8n被8整除，
注意：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除。
探究六：求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能
被8整除．
合作探究
课堂练习
a
练习1：将下列各式因式分解。
课堂练习
课堂练习
整体思想
课堂练习
如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形。用a 与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积。
解: a2-4b2=(a+2b)(a-2b)cm2
当a=3.6，b=0.8时,
原式=(3.6+2×0.8) (3.6-2×0.8)
=5.2×2
=10.4cm2
练习2：解决问题
课堂总结
平方差公式分解因式
公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
板书设计
4.3.1 公式法--平方差公式
(a+b)(a-b)=a - b
因式分解
平方差公式：(a+b)(a-b) = a - b
整式乘法
作业布置
1、把下列各式因式分解：
(1)m n - a (2)(x-y) -(y+b)
(3)n - (a+b-c) (4)-16x4+81y4
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php