人教版九年级下册 27.2.3相似三角形应用举例课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
27.2.3相似三角形应用举例
利用相似三角形，可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题.
尝试画出影子
甲
乙
丙
太阳光线，可以看作是平行光线，“在平行光线的照射下，同一时刻物高与影长成比例”这三个三角形是否相似呢？
A
B
C
D
E
F
选择同一时间测量
情境引入
同一时刻，由太阳光线、物体、影长所组成的三角形相似.
同一时刻，物体的高度之比，等于它们的影长之比.
物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
★ 利用相似三角形测量物体的高度
据史料记载,古希腊数学家,天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆.借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度.
应用一
古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理，测量金字塔的高度。
测量金字塔的高度
例1、如图，如果木
杆EF长2 m，它的
影长FD为3 m，测
得OA为201m，求金字塔的高度BO.
解：太阳光是平行光线，
又∵∠AOB=∠DFE= 90°
∴⊿ABO∽⊿DEF
∴ =
∴BO = = = 134
答：金字塔的高为134米.
因此∠BAO=∠EDF
B
O
E
A(F)
D
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
归纳
物1高 ：影1长 = 物2高 ：影2长
或者
在某一时刻,测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m.同时测得一栋高楼的影长为90m.这栋高楼的高度是多少
解：设高楼的高度为xm.
因为在同一时刻，物体的高度之比等于它们的影长之比.
则有 =
3x =90×1.8
x =54
答：楼的高度为54m.
竹竿影长
楼高
高楼影长
竹竿高
练习
90米
3米
？
1.8
A
C
B
D
E
┐
┐
一题多解
若BC=1.6m AC=3m AE=15 m 求DE的长
A
C
B
D
E
┐
┐
一题多解
若BC=1.6m AC=3m CE=15 m 求DE的长
★ 利用相似三角形测量物体的宽度
T
S
Q
P
R
a
b
例2、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，求河的宽度PQ.
45m
90m
60m

解：∵∠PQR=∠PST=90°， ∠P=∠P
∴⊿PQR∽⊿PST
∴ =
即 = ，
=
90PQ=60(PQ+45)
30PQ=270
PQ=90
答：河宽大约为90米.
T
S
Q
P
R
a
b
60m
90m
45m
B
C
D
E
A
在河对岸选定一个目标点A，
在近岸选点B和C，
使AB⊥BC，
再选点E，
使EC⊥BC，
确定BC与AE的交点D.
⊿ABD∽⊿ECD
练习3：
如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，
求河宽AB.
解：∵∠B=∠C=90°，
∠ADB=∠CDE
∴⊿ABD∽⊿ECD
∴ =
即 = =2
∴AB=100
答：河宽AB为100m.
A
B
C
D
E
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
归纳
方法一
方法二
应用三
★ 利用相似三角形解决盲区问题
例3、已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB = 8 m和CD = 12 m，两树的根部的距离BD = 5 m.一个身高1.6 m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端C？
l
A
B
C
D
8m
12m
5m
1.6m
B
D
l
A
8m
12m
5m
1.6m
C
H
K
F
E
F
H
K
A
C
8－1.6
12－1.6
5

解：如图，假设观察者从左向右走到点 F 时，她的眼睛的位置点 F 与两棵树的顶端 A、C 恰在一条直线上．
　　∵　AB⊥l， CD⊥l，
　　∴　AB∥CD，
　　∴　△AFH∽△CFK，
答：如果观察者继续前进，当她与左边的树距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端 C．
同学们，我们学校操场的旗杆很高，如何知道它的高度？（不放倒的情况下）请同学们利用这节课所学相似三角形的知识来解决这个问题。
探究：如何测量旗杆的高度
A
B
C
D
E
F
方法1:利用阳光下的影子
D
F
E
A
B
C
A
B
C
D
E
F
∵太阳的光线是平行的
∴ AB∥DE
又B、C、 E、F在一条直线上
∴ ∠ABC= ∠DEF
∵人与旗杆是垂直于地面的
∴∠ACB= ∠DFE
∴△ABC∽△DEF
∴
即
因为同学的身高AC和她的影长BC及同一时刻旗杆的影长EF均可测量得出，所以代入测量数据即可求出旗杆DF的高度
A
D
F
E
B
C
A
C
E
B
F
D
H
3
M
N
1
2
方法2:利用标杆 操作方法：在观测者和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，当旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上时，分别测出她的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度
C
N
E
B
F
D
M
1
2
A
过A、E分别作EF 、CD的垂线交EF于M，交CD于N
∴∠1=∠2
∵标杆与旗杆平行，即EF∥CD
∴∠AEM=∠ECN
∴△AME∽△ENC
∴
∵人与标杆的距离AM、标杆与旗杆的距离EN、标杆与人眼到地面距离的差EM都可测量得出，于是可求出CN的长
∴旗杆的高CD=DN+CN=EF+CN
3
C
E
B
F
D
H
M
N
1
2
A
过A作AN⊥CD交EF于M
∵人、标杆和旗杆是互相平行
∵EF∥CN∴ ∠1= ∠2
又∠3= ∠3
∴△AME∽△ANC
∴
∴
∵人与标杆的距离AM、人与旗杆的距离AN、标杆与人眼到地面距离的差EM都可测量出∴能求出CN
∵四边形ABND为矩形 ∴DN=AB
∴能求出旗杆CD的高度CD=CN+DN
方法3、利用镜子的反射
A
C
D
E
B
A
C
D
E
B
2
1
操作方法：选一名学生作为观测者，在她与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆顶端，测出此时她的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度。
小结：如何测量旗杆的高度
解析　如图27-2-3-4过点C作CG⊥AB于点G,
则GC=BD=3 m,GB=CD=2 m.
易知∠NMF=∠AGC=90°,∠NFM=∠ACG,
∴△NMF∽△AGC,
∴ = ,
∴AG= =6(m),
∴AB=AG+GB=6+2=8(m),
即电线杆AB的高为8 m.
如图，电线杆AB影子的一部分(BD)落在地面上,另一部分(DC)落在墙上,同一时刻,小明竖起1 m高的直杆MN,测得其影长MF为0.5 m,若BD=3 m,CD=2 m,求电线杆AB的高.
利用相似解决影子落在墙上的问题
通过本节课的学习，你掌握了什么
在实际生活中，我们面对不能直接
测量物体的高度和宽度时，可以把它们
转化为数学问题，建立相似三角形模型，
再利用对应边的比相等来达到求解的目
的.
测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决
1 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
2 测距(不能直接测量的两点间的距离)
相似三角形的应用主要有如下两个方面
测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解
小结
1.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度.如果标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，楼高CD是多少？
解：EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD
（cm）
练习
2.为了测量一池塘的宽AB，在岸边找到了一点C，使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E，使DE⊥AC，测出AD=35 m，DC=35 m，DE=30 m，求池塘的宽AB.
解：∵AC⊥AB，DE⊥AC，
∴AB∥DE, ∴△CDE∽△CAB,
∴ ，
即
求得 AB=60（m）.
练习
3.如图,李明打网球时,球恰好打过网,且落在离网4 m的位置上,则网球拍击球的高度h为　　　 .

答案　1.4 m
解析　由题意得DE∥BC,
所以△ABC∽△AED,
所以 = ,
即 = ,
∴h=1.4(m).
练习
解：∵AC⊥BD，CD⊥BD，
∴AB∥CD,
∴△AOB∽△COD,