9.2.4 总体离散程度的估计 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
2021-2022学年人教A版必修二高一数学课件★★
第9章 统计
9.2 用样本估计总体
9.2.4 总体离散程度的估计
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知识回顾
1. 总体百分位数的估计
一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第一步:按从小到大排列原始数据；
第二步:计算i=n×p%；
第三步:若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；
若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
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知识回顾
平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法，但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策，下面的问题就是一个例子.
2. 总体集中趋势的估计
众数：最高矩形的中点
中位数：中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等
平均数：每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和
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总体离散程度的估计
引例 ：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下:
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价 如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择
甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7. 从这个角度看，两名运动员之间没有差别.
思考：两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数各为多少？
借助条形图可以直观看出，甲的成绩比较分散,乙的成绩相对集中,即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定.可见，他们的射击成绩是存在差异的.
10 环数
频率
4
5
6
7
8
9
（甲）
10 环数
频率
4
5
6
7
8
9
（乙）
那么，如何度量成绩的这种差异呢
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总体离散程度的估计
一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差.
可以发现甲的成绩波动范围比乙的大.
根据甲、乙运动员的10次射击成绩，可以得到
甲命中环数的极差=10-4=6，
乙命中环数的极差=9-5=4.
极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息,对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少.
思考：你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗
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总体离散程度的估计
思考：你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗？
我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；
相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远。
因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度。
思考：如何定义“平均距离”
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总体离散程度的估计
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总体离散程度的估计
假设一组数据是x1, x2,…, xn，用 表示这组数据的平均数. 我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即 作为xi到 的 “距离”.
可以得到这组数据x1, x2,…, xn到 的“平均距离”为 .
思考：如何定义“平均距离”
为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即
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总体离散程度的估计
一组数据是x1，x2，…，xn，用 表示这组数据的平均数，这组数据的方差为____________=____________，标准差为
知识梳理
（1）方差、标准差的定义
新课讲授
思考：标准差的取值范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？
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总体离散程度的估计
知识梳理
（2）总体方差、总体标准差的定义
如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为 ，则称 S2=_______________为总体方差，S=________为总体标准差 ．
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，
Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…， k），则总体方差为
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总体离散程度的估计
知识梳理
（3）样本方差、样本标准差的定义
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为 ，则称 s2=_______________为样本方差，s=________为样本标准差 ．
（4）特征：
标准差和方差刻画了数据的______程度或波动幅度．
标准差（或方差）越大，数据的离散程度越____，越不稳定；
标准差（或方差）越小，数据的离散程度越____，越稳定．
在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用_______.
离散
大
小
标准差
数据x1，x2，…，xn的方差为s2，数据y1，y2，…，yn的方差为s2y，a，b为常数．
(1)如果y1=x1+b，y2=x2+b，…，yn=xn+b，那么s2y=s2x;
(2)如果=，=，…，=，那么s2y=a2s2x.
(3)如果=+b，=+b，…，=+b，那么s2y=a2s2x.
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总体离散程度的估计
方差与标准差的性质
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总体离散程度的估计
例如:有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下:
甲:7　8　7　9　5　4　9　10　7　4
乙:9　5　7　8　7　6　8　6　 7　7
如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价
解析：我们可以根据标准差来判断两名运动员的成绩的离散程度，计算可得s甲=2，s乙≈1.095.
即s甲>s乙，由此可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小。由此可以估计，乙比甲的成绩稳定。
因此，如果要从这两名选手中选择一名参赛，要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置。
如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则选甲。
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例题及变式训练
例1、甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
解析：(1) x 甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
x 乙＝ (99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
s2甲 ＝ [(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，
s2乙 ＝ [(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s2甲 >s2乙 ，所以乙机床加工零件的质量更稳定．
变式训练1、为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运动员甲，乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：
甲 27 38 30 37 35 31
乙 33 29 38 34 28 36
(1)分别求出甲、乙运动员的中位数；
(2)估计甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差，并判断谁参加比赛更合适．
(1)甲的中位数为：(35＋31)/2 ＝33，乙的中位数为：(33＋34)/2 ＝33.5.
(2)甲的平均数为：x甲＝1/6 (27＋30＋31＋35＋37＋38)＝33，
乙的平均数为：x乙＝1/6 (28＋29＋33＋34＋36＋38)＝33，
甲的方差为：S2甲＝ (36＋9＋4＋4＋16＋25)＝ ，
乙的方差为：S2乙＝ (25＋16＋1＋9＋25)＝ ，
甲、乙的平均数相等，乙的方差更小，则乙的发挥更稳定，故乙参加比赛更合适．
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例题及变式训练
例2甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？
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例题及变式训练
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例题及变式训练
例3、为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查，他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为___________(用“＞”连接).
s1＞s2＞s3
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例题及变式训练
解析　根据频率分布直方图知，甲的数据绝大部分都处在两端，离平均值较远，表现的最分散，标准差最大，乙的数据分布均匀，不如甲组中偏离平均值大，标准差比甲的小；丙的数据大部分都在平均值左右，数据表现的最集中，方差最小，故s1＞s2＞s3.
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例题及变式训练
课堂练习
1.下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是
A.极差 B.平均数
C.方差 D.标准差
√
2.已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为
√
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例题及变式训练
某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是
A.甲、乙两班学生成绩的平均数相同
B.甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大
C.乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150为优秀)
D.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
3.(多选)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入右表：
√
√
√
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例题及变式训练
4.(多选)下列四个选项中，正确的是
A.极差与方差都反映了数据的集中程度
B.方差是没有单位的统计量
C.标准差比较小时，数据比较分散
D.只有两个数据时，极差是标准差的2倍
√
√
由定义可知A正确，BC错误.
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例题及变式训练
√
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例题及变式训练
6.已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数为____，方差为_____.
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答案：∵－1,0,4，x,7,14的中位数为5，
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例题及变式训练