10.1.1 有限样本空间与随机事件 10.1.2 事件的关系与运算 课件（共43张PPT）

(共43张PPT)
2021-2022学年人教A版必修二高一数学课件★★
第十章 概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
10.1.2 事件的关系和运算
1
随机试验
问题导入
问题一：观察下列事件，你能发现什么特点？
（1）将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况；
（2）从你所在的班级随机选择10名学生，观察近视眼人数；
（3）在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命；
（4）记录某地区7月份的降雨量.
（1）在相同条件下可以重复进行；
（2）所有可能结果是明确可知的，并且不止一个。
新知讲授（一）——随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示。
我们通常研究以下特点的随机试验：
（1）试验可以在相同条件下重复进行；
（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不确定出现哪个结果。
1
随机试验
2
样本空间
新知讲授（二）——样本空间
思考一：体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0，1，2，...，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码。这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？
根据球的号码，共有10种可能结果。
如果用m表示“摇出的球的号码为m”这一结果，那么所有可能结果可用集合表示{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
2
样本空间
2．样本点和样本空间
定义 字母表示
样本点 我们把随机试验E的_____________________称为样本点 用____表示样本点
样本 空间 全体_________的集合称为试验E的样本空间 用____表示样本空间
有限样 本空间 如果一个随机试验有n个可能结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间 Ω＝{w1，w2，…，wn}
每个可能的基本结果　
w　
样本点　
Ω　
2
样本空间
强调：1．随机试验的三个特点
(1)试验可以在相同条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
2．关于样本点和样本空间
(1)样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间；
(2)只讨论样本空间为有限集的情况，即有限样本空间.
例1、抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间。
解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，
所以试验的样本空间可以表示为Ω={正面朝上，反面朝上}
如果用h表示“正面朝上”，用t表示“反面朝上”，
则样本空间Ω={h，t}
例题讲解
例2、抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.
解：用i表示朝上面的“点数为i”.
由于落地时朝上面的点数有1，2，3，4，5，6，共6个可能的基本结果，
所以试验的样本空间可以表示为Ω={1，2，3，4，5，6}.
2
样本空间
1
随机试验
例3、抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.
解：抛两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用（x,y）表示.
所以试验的样本空间Ω={（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）}.
新知讲授（三）——随机事件
思考二：在体育彩票摇号试验中，摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？
“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件。
3
随机事件
3
随机事件
思考三：如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？
用A表示随机事件“球的号码为奇数”，
则A发生，当且仅当摇出的号码为1，3，5，7，9之一，
即事件A发生等价于摇出的号码属于集合{1，3，5，7，9}。
因此，可以用样本空间Ω={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集{1，3，5，7，9}表示随机事件A.
同理，可以用样本空间的子集{0，3，6，9}表示随机事件“球的号码为3的倍数”.
3
随机事件
三种事件的定义
子集
随机 事件 我们将样本空间Ω的______称为E的随机事件，简称事件，并把只包含______样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C等表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然 事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能 事件 空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件
一个
3
随机事件
　在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a；
(2)从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签；
(3)没有水分，种子发芽；
(4)某电话总机在60秒内接到至少15个电话；
(5)在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时会沸腾；
(6)同性电荷相互排斥.
题型一 事件类型的判断
典例 1
3
随机事件
[解析]　结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知.
(1)对任意实数，都满足加法的交换律，故此事件是必然事件.
(2)从6张号签中任取一张，得到4号签，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件.
(3)适宜的温度和充足的水分，是种子萌发不可缺少的两个条件，没有水分，种子就不可能发芽，故此事件是不可能事件.
(4)电话总机在60秒内接到至少15个电话，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件.
(5)在标准大气压下，水的温度达到100 ℃时，开始沸腾，水温达到50 ℃，水不会沸腾，故此事件是不可能事件.
(6)根据“同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引”的原理判断，该事件是必然事件.
3
随机事件
　下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间.
(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次；
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素；
(3)从集合A＝{a，b，c，d}中任取2个元素.
题型二 确定试验的样本空间
典例 2
[解析]　
(1)一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的样本空间为：{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}.
(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合”，试验的样本空间为：{(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}.
(3)一次试验是指“从集合A中一次选取2个元素”，试验的样本空间为：{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}.
3
随机事件
　一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.
(1)一共有多少个样本点？
(2)写出“2个球都是白球”这一事件的集合表示.
[解析]　(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则这个试验的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个[其中(1,2)表示摸到1号球和2号球].
(2)记A表示“2个球都是白球”这一事件，则A＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}.
题型三 随机事件的表示
典例 3
3
随机事件
3
随机事件
【对点练习】做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示 红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数.写出：
(1)这个试验的样本空间；
(2)这个试验的结果的个数；
(3)指出事件A＝{(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)}的含义；
(4)写出“点数之和大于8”这一事件的集合表示.
[解析]　
(1)这个试验的样本空间Ω为
{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}.
(2)这个试验的结果的个数为36．
(3)事件A的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7．
(4)记B＝“点数之和大于8”，则B＝{(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}.
3
随机事件
4
事件的关系和运算
在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，如：
Ci=“点数为i ”，i=1，2，3，4，5，6；
D1=“点数不大于3”； D2=“点数大于3”；
E1=“点数为1或2”; E2=”点数为2或3“;
F=“点数为偶数”； G=“点数为奇数”；
.....
你能用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
事件的关系和运算
思考一：用集合的形式表示事件C1=“点数为1 ”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
由已知得：C1={1}和G={1，3，5}
显然，如果事件C1发生，那么事件G一定发生。
用集合表示就是
也就是说，事件G包含事件C1.
4
事件的关系和运算
4
事件的关系和运算
一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，
我们就称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），
记作（如下图10.1-4所示）
特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含B，即
则称事件A与事件B相等，记作A=B.
4
事件的关系和运算
思考二：用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3 ”、事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
由已知得：D1={1,2,3},E1={1,2}和E2={2,3}
显然，事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生。
用集合表示就是
这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件。
4
事件的关系和运算
一般地，若事件A和事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，
我们就称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），
记作
（如下图10.1-5所示：绿色区域和黄色区域表示这个并事件）
4
事件的关系和运算
思考三：用集合的形式表示事件C2=“点数为2 ”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
由已知得：事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”同时发生，相当于事件C2发生。
用集合表示就是
这时我们称事件C2为事件E1和事件E2的交事件。
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事件的关系和运算
一般地，若事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，
我们就称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），
记作
（如下图10.1-6所示的蓝色区域）
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事件的关系和运算
思考四：用集合的形式表示事件C3=“点数为3 ”和事件C4=“点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
由已知得：事件C3={3}，事件C4={4}
显然，事件C3与事件C4不可能同时发生。
即
这时我们称事件C3与事件C4互斥。
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事件的关系和运算
一般地，若事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=Φ
我们就称事件A与事件B互斥（或互不相容）
（如下图10.1-7所示）
4
事件的关系和运算
思考五：用集合的形式表示事件F=“点数为偶数 ”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
在任何一次试验中，事件F与事件G两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中之一。
用集合可以表示为{2，4，6}∪{1，3，5}={1，2，3，4，5，6}，即F∪G=Ω，且{2，4，6}∩{1，3，5}=Φ，即F∩G=Φ
我们称事件F与事件G互为对立事件。事件D1与D2也有这种关系。
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事件的关系和运算
一般地，若事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B=Φ,
我们就称事件A与事件B互为对立。
事件A的对立事件记作
（如下图10.1-8所示）
4
事件的关系和运算
事件A与事件B至少有一个发生　
A∪B　
A＋B　
事件A与事件B同时发生　
A∩B　
AB
总结事件关系及运算
一定发生　
B A　
A B　
总结事件关系及运算
4
事件的关系和运算
4
事件的关系和运算
不能同时发生　
A∩B＝ 　
有且仅有一个发生　
A∩B＝ 　
总结事件关系及运算
4
事件的关系和运算
(1)(2020·河南省南阳市期中)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(　　)
A．两次都中靶　　 B．至少有一次中靶
C．两次都不中靶　　 D．只有一次中靶
题型一 互斥事件、对立事件的判定
典例 1
A　
[解析]
事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”，因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”.
4
事件的关系和运算
(2)(2020·湖南省怀化市期末)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是(　　)
A．恰有一次击中　　 B．三次都没击中
C．三次都击中　　 D．至多击中一次
[解析]　
根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”.
D　
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事件的关系和运算
【对点练习】有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是(　　)
A．互斥但非对立事件　　 B．对立事件
C．非互斥事件　　 D．以上都不对
[解析]　
由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.
A　
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事件的关系和运算
在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.
题型二 事件的运算
典例 2
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事件的关系和运算
[解析]　(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1 D3，C2 D3，C3 D3，C4 D3．
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5．
且易知事件C1与事件D1相等，
即C1＝D1．
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，
F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5．
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事件的关系和运算
【对点练习】盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.
问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
(3)设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
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事件的关系和运算
[解析]　(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
(3)由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B C，E C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.
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事件的关系和运算
设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.
(1)三个事件都发生；
(2)三个事件至少有一个发生；
(3)A发生，B，C不发生；
(4)A，B都发生，C不发生；
(5)A，B至少有一个发生，C不发生；
(6)A，B，C中恰好有两个发生.
题型三 用集合运算表示随机事件
典例 3
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事件的关系和运算
[归纳提升]　利用随机事件的运算与集合运算的对应关系，可以有效地解决此类问题
.
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事件的关系和运算
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事件的关系和运算