6.1.1向量的概念 教案

向量的概念
教学重难点 教学目标 核心素养
向量的概念 理解向量的有关概念及向量的几何表示 数学抽象
共线向量、相等向量 理解共线向量、相等向量的概念 数学抽象
向量与几何的关系 正确区分向量平行与直线平行 直观想象
【教学过程】
一、新知初探
探究点1：
向量的有关概念
例1：判断下列命题是否正确，请说明理由：
（1）若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
（2）若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
（3）对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
（4）向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．
解：（1）不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
（2）不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量的长度相等，不能确定它们的方向关系．
（3）正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b．
（4）不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．
规律方法：
（1）理解零向量和单位向量应注意的问题
①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．
②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．
（2）共线向量与平行向量
①平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
②共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
③平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
探究点2：
向量的表示及应用
例2：（1）如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．
（2）在如图所示的坐标纸上（每个小方格边长为1），用直尺和圆规画出下列向量：
①，使||＝4，点A在点O北偏东45°处；
②，使||＝4，点B在点A正东处；
③，使||＝6，点C在点B北偏东30°处．
解：（1）可以写出12个向量，分别是：，，，，，，，，，，，，故填12.
（2）①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．
②由于点B在点A正东处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．
③由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．
规律方法：
（1）向量的两种表示方法
①几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．
②字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如，，等．
（2）两种向量表示方法的作用
①用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．
②用字母表示法表示向量，便于向量的运算．
探究点3：
相等向量和共线向量
例3：如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
（1）与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
（2）与a共线的向量有哪些？
（3）请一一列出与a，b，c相等的向量．
解：（1）与a的长度相等、方向相反的向量有，，，．
（2）与a共线的向量有，，，，，，，，．
（3）与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，．
互动探究
1．[变问法]本例条件不变，试写出与向量相等的向量．
解：与向量相等的向量有，，．
2．[变条件，变问法]在本例中，若|a|＝1，求正六边形的边长．
解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1．
规律方法：
相等向量与共线向量的探求方法
（1）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
（2）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
二、课堂总结
1．位移与向量
（1）向量的概念
一般地，像位移这样既有大小又有方向的量称为向量（也称为矢量）．
向量的大小也称为向量的模（或长度）；只有大小的量称为标量，长度、面积等都是标量．
（2）向量的表示方法
①始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为，此时向量的模用||表示．除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外，还可用一个小写字母来表示向量：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c等来表示向量；在书写时，用带箭头的小写字母如，，等来表示向量．
②始点和终点相同的向量称为零向量．零向量的模为0．零向量的方向是不确定．模不为0的向量通常称为非零向量．模等于1的向量称为单位向量．e是单位向量的充要条件是|e|＝1．
■名师点拨
向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．
2．向量的相等与平行
一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量．
如果两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行．因为零向量的方向不确定，因此通常规定零向量与任意向量平行．两个向量a和b平行，记作a∥b．两个向量平行也称为两个向量共线．
■名师点拨
共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．
三、课堂检测
1．下列结论正确的个数是（　　）
①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④若|a|>|b|，则a>b．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B．①错误．温度是数量不是向量；②错误．零向量的模为0．③正确．因为零向量与任意向量共线；④错误．向量不能比较大小．
2．设O是正方形ABCD的中心，则向量，，，是（　　）
A．相等的向量 B．平行的向量
C．有相同起点的向量 D．模相等的向量
解析：选D.由正方形的性质知||＝||＝||＝||．
3．在下列判断中，正确的是（　　）
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向向量；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③ B．②③④
C．①②⑤ D．①③⑤
解析：选D．由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③⑤正确，④不正确，故选D．
4．在下列命题中：
①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．
正确命题的序号是________．
解析：由向量的相关概念可知④⑥正确．
答案：④⑥
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