北师大版九年级下册 2.5 二次函数与一元二次方程课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.
2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根.
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.
学习目标
1.一元二次方程ax2+bx+c=0 的求根公式是什么？
当b2－4ac≥0时，
当b2－4ac<0时，方程无实数根.
新课导入
2.解下列一元二次方程：
（1）x2+2x=0 （2）x2－2x+1=0 （3）x2-2x+2=0.
解：（1）x1=0, x2=-2.
（2）x1=x2=1.
（3）没有实数根.
我们已经知道，竖直上抛物体的高度 h (m) 与运动时间t (s)的关系可以用公式
h=－5t2+v0t +h0 表示，
其中h0 (m)是抛出点距地面
的高度，v0 (m/s)是抛出时
的速度.一个小球从地面被
以40 m/s的速度竖直向上抛
起，小球的高度h (m)与运
动时间t(s)的关系如图所示，
那么
O
h/m
t/s
1 2 3 4 5 6 7 8
80
70
60
50
40
30
20
10
知识讲解
（1）h与t 的关系式是什么？
（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴交流.
解析：（1）由图象知函数过点（0，0）与点（8，0）
代入关系式h=－5t2+v0t+h0得h0=0, 由已知可知v0=40，
得h=－5t2+40t.
（2）由图象可知小球经过8秒后落地.可以令h=0，得t=0s（舍去）或t=8s.
二次函数①y=x2+2x，②y=x2-2x+1，③y=x2-2x+2的图象如图所示.
-1
1
-3 -2 -1
O
x
y
-1
1 2 3
y
x
O
-1
1 2 3
O
y
x
（1）每个图象与x轴有几个交点？
（2）一元二次方程x2+2x=0，x2-2x+1=0有几个根？
解方程验证一下，一元二次方程x2-2x+2=0有根吗？
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？
（2）①x1=0, x2=-2,两个不相等实数根.
②x1=x2=1,两个相等实数根.
③没有实数根.
解:（1）每个图象与x轴的交点个数分别是2个，1个，0个.
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
【规律方法】二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：
有两个交点、有一个交点、没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
例：利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实数根（精确到0.1）.
x
y
用你学过的一元二次方程的解法来解，
准确答案是什么？
方法: (1)先作出y=x -x-3的图象;
(2)写出交点的坐标：
（-1.3，0），（2.3，0）
(3)得出方程的解：
x1=-1.3，x2=2.3.
【例题】
C
A
【跟踪训练】
3.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴的交点
情况是( )
A.无交点 B.只有一个交点
C.有两个交点 D.不能确定
C
4.根据下列表格的对应值:
判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( )
A.3C.3.24x 3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
C
6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方
程ax2+bx+c=0的解是 .
x
y
0
5
x1=0，x2=5
7.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实
数根,则m=＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿＿个交
点.
8.已知抛物线 y=x2–8x+c的顶点在 x轴上,则c=＿＿.
9.一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1=-2，x2= ,
那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿和
___________.
1
1
16
（ ，0）
（-2，0）
1.（崇左·中考）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：①abc＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=
-1，x2=3；③当x＞1时，y随x值的增大而减小；④当y＞0时，-1＜x＜3．其中正确的说法是（ ）
A．① B．①②
C．①②③ D．①②③④
O
x
y
1
3
－1
答案:D
随堂练习
2.（河北·中考）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A， B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（3，2）
C．（3，3） D．（4，3）
O
x
y
A
x = 2
B
答案:D
3.（汕头·中考）已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图
所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的
交点坐标为（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式.
（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
【解析】（1）由题意得
解得
故所求解析式为
解得
∴由图象可知，函数值y为正数时，自变量x的取值范围
是－1＜x＜3．
（2）令
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0),
4．（株洲·中考）二次函数y=x2-mx+3的图象与x轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m的值是_______．
答案:4
5.（咸宁·中考）已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0），(-3m,0)(m≠0).
（1）证明:4c=3b2.
（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值．
由（1）得
∴二次函数的最小值为-4.
【解析】（1）依题意，m,-3m是一元二次方程
的两根．根据一元二次方程根与系数的
关系，得 ,
∴
，
，
（2）依题意，
，
，
，
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
2.根据一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是两个不相等的实根、两个相等实根、没有实数根，图象上对应与x轴的交点个数是两个、一个、没有.