人教版高中数学新教材必修第一册课件：2.2 基本不等式1(共17张PPT)

(共17张PPT)
这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
新课引入
思考：这会标中含有怎样的几何图形？
思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？
新课引入
正方形和直角三角形
a
b
1、正方形ABCD的
　　面积S=＿＿＿＿＿
２、四个直角三角形的
　　面积和S’ =＿＿
３、S与S’有什么　　　
　　样的不等关系？
探究１：
S>S′
问：那么它们有相等的情况吗？
新课引入
A
D
B
C
E
F
G
H
b
a
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
当且仅当a=b时，等号成立。
A
B
C
D
E(FGH)
a
b
学习新知
思考：你能给出不等式 的证明吗？
证明：（作差法）
学习新知
结论：一般地，对于任意实数a、b，总有
当且仅当a=b时，等号成立
文字叙述为:
两数的平方和不小于它们积的2倍.
适用范围：
a,b∈R
学习新知
替换后得到：
即：
即：
你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？
学习新知
证明：要证
只要证
①
要证①，只要证
②
要证②，只要证
③
显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.
分析法
证明不等式：
学习新知
特别地，若a>0，b>0，则
≥
通常我们把上式写作：
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.
基本不等式
在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数，
叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
适用范围：
a>0,b>0
学习新知
适用范围
文字叙述
“=”成立条件
a=b
a=b
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
两数的平方和不小于它们积的2倍
a,b∈R
a>0,b>0
填表比较：
注意从不同角度认识基本不等式
学习新知
均值不等式的运用
例１．已知x>0 ，求 的最小值和此时x的取值．
典型例题
变式1：把 改为 成立吗？
变式2：把 改为 成立吗？
不成立
不成立
均值不等式的运用
典型例题
例2.已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2) x+y=S xy≤ S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
1
4
①各项皆为正数；
②和或积为定值；
③注意等号成立的条件.
一“正”
二“定”
三“相等”
利用基本不等式求最值时，要注意
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2) x+y=S xy≤ S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
1
4
归纳总结
1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值．
当x=6,y=4时,最小值为48
2.已知x<0，求 的最大值.
巩固练习
3. 求x＞ -1时， 的最小值.
解: ∵ x＞-1, ∴x+1>0.
∴
=(x +1)+ -1
1
x+1
x +
1
x+1
=1,
≥2 (x+1) -1
1
x+1
当且仅当 取“=”号.
∴当 x=0 时, 取最小值是 1.
x+1= , 即 x=0 时,
1
x+1
提高练习
2 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求
的最小值．
3.已知x,y为正数,且2x+8y＝xy，则x+y 的最小值是___.
18
1. 若 01
2
解: ∵00.
1
2
∴ x(1-2x)= 2x (1-2x)
1
2
≤ [ ]2
2x+(1-2x)
2
1
2
1
8
= .
当且仅当 时, 取“=”号.
2x=(1-2x),
即 x=
1
4
∴当 x = 时, 函数 x(1-2x) 的最大值是 .
1
4
1
8
求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2) x+y=S xy≤ S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
1
4
3. 利用基本不等式求最值
1. 重要不等式
课堂小结
2. 基本不等式