人教版高中数学新教材必修第一册课件：3.2 函数的奇偶性与单调性综合习题课 (共12张PPT)

(共12张PPT)
3.2单调性与奇偶性
函数单调性的概念：
一般地，函数f(x)的定义域为I：
2. 如果对于属于定义域内某个区间D的任意两个
称函数 f(x)在区间D上单调递减。
函数的单调性是函数的“局部性质”，它与区间密切相关
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特别的，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数
特别的，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
1. 如果对于属于定义域内某个区间D的任意两个
称函数 f(x)在区间D上单调递增。
1.偶函数定义
2.奇函数定义
3.奇偶函数的图象特征
一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称
一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称
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回顾练习
（－∞,0]
典型例题
典型例题
例3.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)，满足当x,y∈ (0,+∞)时，恒有f(xy)＝f(x)+f(y)，且当x>1时，f(x)>0, 求证： f(x)是增函数
典型例题
例4.已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x+2)= (x+2) f(x) ，则f(5) 的值为 ( )
典型例题
A.0 B.1 C.2 D.5
A
学习新知
已知函数y=f(x)在R上是奇函数,且在(0,+∞)是单调递增.那么y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上单调性如何
奇函数的图象关于坐标原点对称,所以在两个对称的区间上单调性相同.即y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上单调递增.
证明：: x1,x2∈(-∞,0),且x1-x2>0,
∵y=f(x)在(0,+∞)上是单调递增, ∴f(-x1)>f(-x2).
∵y=f(x)在R上是奇函数,
∴f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2),
∴-f(x1)>-f(x2),∴f(x1)∴函数y=f(x)在(0,+∞)上是单调递增.
学习新知
已知函数y=f(x)在R上是偶函数,且在(0,+∞)是单调递增.那么y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上单调性如何
偶函数的图象关于y轴成轴对称,所以在两个对称的区间上单调性相反.即y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上单调递减.
证明：: x1,x2∈(-∞,0),且x1-x2>0,
∵y=f(x)在(0,+∞)上是单调递增, ∴f(-x1)>f(-x2).
∵y=f(x)在R上是偶函数,
∴f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),∴f(x1)>f(x2),
∴函数y=f(x)在(0,+∞)上是单调递减.
例6.已知f(x)是定义在[－1,1]上的偶函数，在[0,1]上是单调递减且f(1－x)典型例题
变式：已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，在[0,1]上单调递减且f(1－x2)+f(1－x)<0, 求x的取值范围.
[0,1)
解:∵f(x)是偶函数,在[0,1],f(x)是减函数,
∴不等式f(1-x)|x|,
f(x)定义域是[－1，1]
1.已知函数f(x)，当x,y∈R时，恒有f(x+y)+f(x－y)=2f(x)f(y)， 求证： f(x)是偶函数
巩固练习
证明:令x=0,y=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x).①
令y=0,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x).②
由①②得f(x)+f(-x)=f(x)+f(x),即f(-x)=f(x),
所以函数f(x)为偶函数.
2.已知函数f(x)=2bx2－b3x－3在(－∞,1]上单调递增，求b的取值范围.