人教版高中数学新教材必修第一册课件：4.5.2 用二分法求方程的近似解(共20张PPT)

(共20张PPT)
4.5.2用二分法求方程的近似解
1、函数的零点的定义：
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zero point）
结论:
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2、零点存在性定理
复习
问题1
算一算：
查找线路电线、水管、气管等管道线路故障
定义：每次取中点，将区间一分为二，再经比较，
按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法，
也叫对分法，常用于：
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房
到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这上一
条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？
要把故障可能发生的范围缩小到
50～100m左右，即一两根电线杆附近，
要检查多少次？
方法分析：
实验设计、资料查询；
是方程求根的常用方法！
7次
例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数
改： 求出函数f(x)=lnx+2x-6的零点
(即求方程lnx+2x-6=0的实数根,精确到0.01)
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答案：这个函数在区间(2,3)内有零点
想法:如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值.
改： 求出函数f(x)=lnx+2x-6的零点
一般地,我们把 称为区间(a,b)的中点.
区间 中点的值 中点函数近似值
0.001
2.53515625
(2.53125,2.5390625)
0.010
2.5390625
(2.53125,2.546875)
0.029
2.546875
(2.53125,2.2625)
－0.009
2.53125
(2.5,2.5625)
0.066
2.5625
(2.5,2.625)
0.215
2.625
(2.5,2.75)
0.512
2.75
(2.5,3)
－0.084
2.5
(2,3)
改： 求出函数f(x)=lnx+2x-6的零点的近似值
f(2)<0,f(3)>0
二分法定义
对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。
用二分法求函数零点近似值的步骤
思考1:求函数f(x)的零点近似值第一步应做什么？
思考2:为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么？
确定区间[a,b]，使 f(a)f(b)<0
求区间的中点c，并计算f(c)的值
思考3:若f(c)=0说明什么？
若f(a)·f(c)<0或f(c)·f(b)<0 ，
则分别说明什么？
若f(c)=0 ，则c就是函数的零点；
若f(a)·f(c)<0 ，则零点x0∈(a,c)；
若f(c)·f(b)<0 ，则零点x0∈(c,b).
思考4:若给定精确度ε，如何选取近似值？
当|m—n|<ε时，区间[m，n]内的任意一个值都是函数零点的近似值.
思考5：对下列图象中的函数，能否用二分法求函数零点的近似值？为什么？
x
y
o
x
y
o
二分法步骤
1.确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε.
2、求区间(a,b)的中点c
3、计算f(c);
(1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点
(2) 若f(a)f(c)<0,则令b= c(此时零点x0∈(a,c))
(3) 若f(a)f(c)>0,则令a= c(此时零点x0∈(c,b))
4、判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则重复2～4
3.1.2 用二分法求方程的近似解
例2 借助计算器或计算机用二分法求
方程2x+3x=7 的近似解(精确到0.1).
解:令f(x)= 2x+3x-7,则把问题转化为求
函数的零点,用二分法
例2 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解(精确到0.1).
方法三：
画出y=lnx及y=-2x+6的图象
方法一：
用计数器或计算机作出x,f(x)的对应值表
方法二：
用几何画板作出函数y=f(x)的图象
区间 中点的值 中点函数近似值
(1,2) 1.5 0.33
(1,1.5) 1.25 -0.87
(1.25,1.5) 1.375 -0.28
(1.375,1.5) 1.4375 0.02
(1.375,1.4375)
由于 |1.375-1.4375|=0.0625<0.1
此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4。
例2 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解(精确到0.1).
方法二：用几何画板作出函数y=f(x)的图象
(2,2.5)
练习：
4.课本155页 第1,2题
用二分法求解方程的近似解：
1、确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε
2、求区间(a,b)的中点c
3、计算f(c);
(1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点
(2) 若f(a)·f(c)<0,则令b= c(此时零点x0∈(a,c))
(3) 若f(a)· f(c)>0,则令a= c(此时零点x0∈(c,b))
4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则重复2～4.