浙江省台州市临海市实验学校2021-2022学年八年级下学期起始考数学试卷
1．（2022八下·临海开学考）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的性质，判断正确的选项即可。
2．（2022八下·临海开学考）使分式 有意义的条件是（ ）
A．x≠2 B．x≠0 C．x＝2 D．x＝﹣2
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2.
故答案为：A.
【分析】根据分式的分母不能为0可得x-2≠0，求解即可.
3．（2022八下·临海开学考）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
D、20=22×5，该二次根式的被开方数中含开的尽的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：C．
【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．
4．（2022八下·临海开学考）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当 的内角为这个等腰三角形的顶角时，
则另外两个内角均为底角，它们的度数为 ；
②当 的内角为这个等腰三角形的底角时，
则另两个内角一个为底角，一个为顶角，
底角为 ，顶角为 ，
综上，另外两个内角的度数分别是 或 .
故答案为：D.
【分析】先根据等腰三角形的性质，分 的内角为顶角和 的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得.
5．（2022八下·临海开学考）下列运算中正确的是（ ）
A．a5+a5＝2a10 B．3a3 2a2＝6a6
C．a6÷a2＝a3 D．（﹣2ab）2＝4a2b2
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a5+a5＝2a5，故A选项错误；
B、3a3 2a2＝6a5，故B选项错误；
C、a6÷a2＝a4，故C选项错误；
D、 （﹣2ab）2＝4a2b2 ，故C选项正确.
故答案为：D.
【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A；单项式乘以单项式，首先将单项式的系数分别相乘，然后将相同字母的幂分别相乘，据此判断B；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断C；积的乘方：先将每一个因式进行乘方，然后将结果相乘，据此判断D.
6．（2022八下·临海开学考）已知△ABC（AB＜AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上取一点P，使PA+PC＝BC，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵PB+PC＝BC，
而PA+PC＝BC，
∴PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
即点P为AB的垂直平分线与BC的交点.
故答案为：B.
【分析】由线段的和差关系可得PB+PC＝BC，结合已知条件可得PA＝PB，则点P在AB的垂直平分线上，据此判断.
7．（2022八下·临海开学考）如图通过将左图裁剪、用两块梯形拼接成右图，体现了什么数学公式（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】如图通过将左图裁剪、用两块梯形拼接成右图，体现了的公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：A.
【分析】首先根据左图计算出左图的面积，然接下来求得右图的面积；最后依据左图和右图的面积相等列出等式即可.
8．（2022八下·临海开学考）某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据题意，得：（n﹣2）×180=360×3，解得n=8．
故选D．
【分析】利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．
9．（2022八下·临海开学考）施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（ ）
A． =2 B． =2
C． =2 D． =2
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，
根据题意，可列方程： =2，
故答案为：A．
【分析】设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，原计划的工作时间是天，实际的工作时间为：天，根据实际工作时间比原计划工作时间少两天列出方程即可。
10．（2022八下·临海开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数为（ ）
A．72° B．100° C．108° D．120°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC＝54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝ ∠BAC＝ ×54°＝27°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝ （180°﹣∠BAC）＝ （180°﹣54°）＝63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝27°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝63°﹣27°＝36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB＝∠OBC＝36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，
∴∠COE＝∠OCB＝36°，
在△OCE中，∠OEC＝180°﹣∠COE﹣∠OCB＝180°﹣36°﹣36°＝108°.
故答案为：C.
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的概念可得∠BAO＝27°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC＝∠ACB=63°，根据垂直平分线的性质可得OA＝OB，由等腰三角形的性质可得∠ABO＝∠BAO＝27°，则∠OBC＝∠ABC-∠ABO＝36°，易得点O是△ABC的外心，则∠OCB＝∠OBC＝36°，根据折叠的性质可得OE＝CE，由等腰三角形的性质可得∠COE＝∠OCB＝36°，然后利用内角和定理进行计算.
11．（2022八下·临海开学考）分解因式：x2﹣4= ．
【答案】（x+2）（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
12．（2022八下·临海开学考）﹣0.00035用科学记数法表示为 .
【答案】﹣3.5×10﹣4
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：﹣0.00035＝﹣3.5×10﹣4，
故答案为：﹣3.5×10﹣4.
【分析】用科学记数法表示绝对值非常小的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，根据方法即可得出答案.
13．（2022八下·临海开学考）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为
【答案】5
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：∵，且是整数；
∴2是整数，即5n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为5．
故答案为：5．
【分析】因为是整数，且，则5n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为5．
14．（2022八下·临海开学考）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
15．（2022八下·临海开学考）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝6cm，∠B＝15°，则AC等于 .
【答案】3cm
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，
∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，
∵DE垂直平分AB，BE＝6cm，
∴BE＝AE＝6cm，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEC＝30°，
∴AC＝ AE＝ ×6cm＝3cm.
故答案为：3cm.
【分析】易得∠BAC＝90°-∠B＝75°，根据垂直平分线的性质可得BE＝AE＝6cm，由等腰三角形的性质可得∠EAB＝∠B＝15°，则∠EAC=∠BAC-∠EAB=60°，∠AEC＝30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行计算.
16．（2022八下·临海开学考）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是 ．
【答案】4
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：连接CC′，如图所示．
∵△ABC、△A′BC′均为正三角形，
∴∠ABC=∠A′=60°，A′B=BC=A′C′，
∴A′C′∥BC，
∴四边形A′BCC′为菱形，
∴点C关于BC'对称的点是A'，
∴当点D与点B重合时，AD+CD取最小值，
此时AD+CD=2+2=4．
故答案为：4．
【分析】连接CC′，根据△ABC、△A′BC′均为正三角形即可得出四边形A′BCC′为菱形，进而得出点C关于BC'对称的点是A'，以此确定当点D与点B重合时，AD+CD的值最小，代入数据即可得出结论．
17．（2022八下·临海开学考）计算：
（1）（a+b）2﹣b（2a+b）；
（2）
【答案】（1）解：（a+b）2﹣b（2a+b）
＝a2+2ab+b2﹣2ab﹣b2
＝a2
（2）解：
＝2﹣1﹣3+3﹣4×
＝2﹣1﹣3+3﹣1
＝0
【知识点】实数的运算；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则分别去括号，然后合并同类项进行化简即可；
（2）根据平方差公式、算术平方根的概念以及立方根的概念、有理数的乘方法则分别化简，然后计算乘法，再计算加减法即可.
18．（2022八下·临海开学考）先化简再求值： ，若x2＝4，求化简后代数式的值.
【答案】解：
＝x+2，
∵x2＝4，
∴x＝±2，
由题意得：x≠﹣2，
当x＝2时，原式＝2+2＝4.
【知识点】平方根；分式的化简求值
【解析】【分析】对括号外分式的分子、分母进行分解，对括号中的式子进行通分，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，根据x2=4求出x的值，然后选取一个使分式有意义的x的值代入进行计算即可.
19．（2022八下·临海开学考）如图，已知AB＝AC，CE⊥AB，BF⊥AC.求证：BF＝CE.
【答案】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠BEC＝∠CFB＝90°，
在△BEC和△CFB中，
∴△BEC≌△CFB（AAS），
∴BF＝CE.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，根据垂直的概念可得∠BEC＝∠CFB＝90°，然后利用AAS证明△BEC≌△CFB，据此可得结论.
20．（2022八下·临海开学考）如图，已知△ABC的三个顶点在格点上.
⑴作出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
⑵直接写出点C关于x轴对称C2的坐标： ▲ ；
⑶在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小.请在图中标出点P的位置.
【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，
（2）C2（﹣1，﹣1），
（3）如图所示：点P为所求，
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同可得点A、B、C关于y轴的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数可得C2的坐标；
（3）连接AC1，与y轴的交点即为点P的位置.
21．（2022八下·临海开学考）我市某学校开展“远足君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动.已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时.
【答案】解：设学生步行的平均速度是每小时x千米.
服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米，
根据题意： ﹣ ＝3.6，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是所列方程的解，且符合题意.
答：学生步行的平均速度是每小时4千米.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设学生步行的平均速度是每小时x千米，则服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米，由题意可得学生所用的时间为小时，服务人员所用的时间为小时，然后根据服务人员所花时间比学生少用了3.6小时列出方程，求解即可.
22．（2022八下·临海开学考）如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，连接AF，且EA⊥AF.
（1）求证：DE＝BF；
（2）若AH平分∠FAE交线段BC上一点H，连接EH，请判断线段DE、BH、HE三者存在怎样的数量关系？并加以证明.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，
∵EA⊥AF，
∴∠EAF＝90°，
∴∠FAB+∠BAE＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠FAB＝∠DAE，
在△BAF和△DAE中，
∴△BAF≌△DAE（SAS），
∴DE＝BF；
（2）解：DE+BH＝HE，
理由如下：
由（1）知△BAF≌△DAE，
∴AF＝AE，
∵AH平分∠FAE，
∴∠FAH＝∠EAH，
在△FAH与△EAH中，
∴△FAH≌△EAH（SAS），
∴FH＝EH，
∴DE+BH＝HE.
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，根据垂直的概念可得∠EAF＝90°，由同角的余角相等可得∠FAB＝∠DAE，然后利用ASA证明△BAF≌△DAE，据此可得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得AF＝AE，根据角平分线的概念可得∠FAH＝∠EAH，利用SAS证明△FAH≌△EAH，得到FH＝EH，据此解答.
23．（2022八下·临海开学考）阅读下面材料：
临书生同学这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形.类比这一特性，临书生同学发现像m+n，mnp等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变.太神奇了!于是他把这样的式子命名为神奇对称式.他还发现像m2+n2，（m﹣1）（n﹣1）等神奇对称式都可以用mn，m+n表示.例如：m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1.于是临书生同学把mn和m+n称为基本神奇对称式.
请根据以上材料解决下列问题：
（1）代数式① ，②m2﹣n2，③ ，④xy+yz+zx中，属于神奇对称式的是 （填序号）；
（2）已知（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣px+q.
①q＝ ▲ （用含m，n的代数式表示）；
②若p＝3，q＝﹣2，则神奇对称式 的值.
【答案】（1）①④
（2）①mn；
②由①知：m+n＝p＝3，mn＝q＝﹣2，
∴
【知识点】多项式乘多项式；分式的化简求值；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）在① ，②m2﹣n2，③ ，④xy+yz+zx中，任意交换两个字母的位置，式子的值都不变的有：① ，④xy+yz+zx.
故答案为：①④；
（2）①∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣px+q，
∴x2﹣（m+n）x+mn＝x2﹣px+q，
∴q＝mn，
故答案为：mn；
【分析】（1）直接根据神奇对称式的概念进行判断即可；
（2）①根据多项式与多项式的乘法法则将左边展开把那个合并然后与右边比较即可得q；
②由①知：m+n＝p＝3，mn＝q＝-2，对待求式进行通分并化简可得 ，据此计算.
24．（2022八下·临海开学考）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与点BC重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE.设∠BAC＝α，∠DCE＝β.
（1）求证：△DAB≌△EAC.
（2）当点D在线段BC上运动时，
①α＝50°，则β＝ °.
②猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论进行证明.
（3）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上运动时，猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论给出证明.
【答案】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠CAD﹣∠DAE＝∠CAD﹣∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△DAB和△EAC中，
∴△DAB≌△EAC（SAS）
（2）解：①130；
②α+β＝180°，
理由：由（1）知，△DAB≌△EAC，
∴∠ABC＝∠ACE，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝ （180°﹣∠BAC）＝ （180°﹣α）＝90°﹣ α，
∴β＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABC＝90°﹣ α+90°﹣ α＝180°﹣α，
∴α+β＝180°
（3）解：β＝α；
理由：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△DAB和△EAC中，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝ （180°﹣∠BAC）＝ （180°﹣α）＝90°﹣ α，
∴∠ACE＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣ α）＝90°+ α，
∴β＝∠ACE﹣∠ACB＝90°+ α﹣（90°﹣ α）＝α.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）①由（1）知，△DAB≌△EAC，
∴∠ABC＝∠ACE，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝ （180°﹣∠BAC）＝ （180°﹣50°）＝65°，
∴β＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABC＝65°+65°＝130°.
故答案为：130；
【分析】（1）根据∠DAE＝∠BAC结合角的和差关系可得∠CAE＝∠BAD，进而利用SAS进行证明；
（2）①由（1）知：△DAB≌△EAC，则∠ABC＝∠ACE，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝65°，然后根据β＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABC进行计算；
②由全等三角形的性质可得∠ABC＝∠ACE，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝90°-α， 然后根据β=∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABC进行解答；
（3）由∠DAE＝∠BAC结合角的和差关系得∠CAE=∠BAD，证△DAB≌△EAC，得到∠ABD=∠ACE，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝90°-α，利用邻补角的性质表示出∠ACE＝∠ABD，然后根据β＝∠ACE-∠ACB进行计算.
1 / 1浙江省台州市临海市实验学校2021-2022学年八年级下学期起始考数学试卷
1．（2022八下·临海开学考）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022八下·临海开学考）使分式 有意义的条件是（ ）
A．x≠2 B．x≠0 C．x＝2 D．x＝﹣2
3．（2022八下·临海开学考）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八下·临海开学考）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
5．（2022八下·临海开学考）下列运算中正确的是（ ）
A．a5+a5＝2a10 B．3a3 2a2＝6a6
C．a6÷a2＝a3 D．（﹣2ab）2＝4a2b2
6．（2022八下·临海开学考）已知△ABC（AB＜AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上取一点P，使PA+PC＝BC，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022八下·临海开学考）如图通过将左图裁剪、用两块梯形拼接成右图，体现了什么数学公式（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
8．（2022八下·临海开学考）某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（2022八下·临海开学考）施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（ ）
A． =2 B． =2
C． =2 D． =2
10．（2022八下·临海开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数为（ ）
A．72° B．100° C．108° D．120°
11．（2022八下·临海开学考）分解因式：x2﹣4= ．
12．（2022八下·临海开学考）﹣0.00035用科学记数法表示为 .
13．（2022八下·临海开学考）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为
14．（2022八下·临海开学考）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
15．（2022八下·临海开学考）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝6cm，∠B＝15°，则AC等于 .
16．（2022八下·临海开学考）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是 ．
17．（2022八下·临海开学考）计算：
（1）（a+b）2﹣b（2a+b）；
（2）
18．（2022八下·临海开学考）先化简再求值： ，若x2＝4，求化简后代数式的值.
19．（2022八下·临海开学考）如图，已知AB＝AC，CE⊥AB，BF⊥AC.求证：BF＝CE.
20．（2022八下·临海开学考）如图，已知△ABC的三个顶点在格点上.
⑴作出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
⑵直接写出点C关于x轴对称C2的坐标： ▲ ；
⑶在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小.请在图中标出点P的位置.
21．（2022八下·临海开学考）我市某学校开展“远足君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动.已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时.
22．（2022八下·临海开学考）如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，连接AF，且EA⊥AF.
（1）求证：DE＝BF；
（2）若AH平分∠FAE交线段BC上一点H，连接EH，请判断线段DE、BH、HE三者存在怎样的数量关系？并加以证明.
23．（2022八下·临海开学考）阅读下面材料：
临书生同学这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形.类比这一特性，临书生同学发现像m+n，mnp等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变.太神奇了!于是他把这样的式子命名为神奇对称式.他还发现像m2+n2，（m﹣1）（n﹣1）等神奇对称式都可以用mn，m+n表示.例如：m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1.于是临书生同学把mn和m+n称为基本神奇对称式.
请根据以上材料解决下列问题：
（1）代数式① ，②m2﹣n2，③ ，④xy+yz+zx中，属于神奇对称式的是 （填序号）；
（2）已知（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣px+q.
①q＝ ▲ （用含m，n的代数式表示）；
②若p＝3，q＝﹣2，则神奇对称式 的值.
24．（2022八下·临海开学考）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与点BC重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE.设∠BAC＝α，∠DCE＝β.
（1）求证：△DAB≌△EAC.
（2）当点D在线段BC上运动时，
①α＝50°，则β＝ °.
②猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论进行证明.
（3）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上运动时，猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论给出证明.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的性质，判断正确的选项即可。
2．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2.
故答案为：A.
【分析】根据分式的分母不能为0可得x-2≠0，求解即可.
3．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
D、20=22×5，该二次根式的被开方数中含开的尽的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：C．
【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当 的内角为这个等腰三角形的顶角时，
则另外两个内角均为底角，它们的度数为 ；
②当 的内角为这个等腰三角形的底角时，
则另两个内角一个为底角，一个为顶角，
底角为 ，顶角为 ，
综上，另外两个内角的度数分别是 或 .
故答案为：D.
【分析】先根据等腰三角形的性质，分 的内角为顶角和 的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得.
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a5+a5＝2a5，故A选项错误；
B、3a3 2a2＝6a5，故B选项错误；
C、a6÷a2＝a4，故C选项错误；
D、 （﹣2ab）2＝4a2b2 ，故C选项正确.
故答案为：D.
【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A；单项式乘以单项式，首先将单项式的系数分别相乘，然后将相同字母的幂分别相乘，据此判断B；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断C；积的乘方：先将每一个因式进行乘方，然后将结果相乘，据此判断D.
6．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵PB+PC＝BC，
而PA+PC＝BC，
∴PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
即点P为AB的垂直平分线与BC的交点.
故答案为：B.
【分析】由线段的和差关系可得PB+PC＝BC，结合已知条件可得PA＝PB，则点P在AB的垂直平分线上，据此判断.
7．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】如图通过将左图裁剪、用两块梯形拼接成右图，体现了的公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：A.
【分析】首先根据左图计算出左图的面积，然接下来求得右图的面积；最后依据左图和右图的面积相等列出等式即可.
8．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据题意，得：（n﹣2）×180=360×3，解得n=8．
故选D．
【分析】利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．
9．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，
根据题意，可列方程： =2，
故答案为：A．
【分析】设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，原计划的工作时间是天，实际的工作时间为：天，根据实际工作时间比原计划工作时间少两天列出方程即可。
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC＝54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝ ∠BAC＝ ×54°＝27°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝ （180°﹣∠BAC）＝ （180°﹣54°）＝63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝27°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝63°﹣27°＝36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB＝∠OBC＝36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，
∴∠COE＝∠OCB＝36°，
在△OCE中，∠OEC＝180°﹣∠COE﹣∠OCB＝180°﹣36°﹣36°＝108°.
故答案为：C.
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的概念可得∠BAO＝27°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC＝∠ACB=63°，根据垂直平分线的性质可得OA＝OB，由等腰三角形的性质可得∠ABO＝∠BAO＝27°，则∠OBC＝∠ABC-∠ABO＝36°，易得点O是△ABC的外心，则∠OCB＝∠OBC＝36°，根据折叠的性质可得OE＝CE，由等腰三角形的性质可得∠COE＝∠OCB＝36°，然后利用内角和定理进行计算.
11．【答案】（x+2）（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
12．【答案】﹣3.5×10﹣4
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：﹣0.00035＝﹣3.5×10﹣4，
故答案为：﹣3.5×10﹣4.
【分析】用科学记数法表示绝对值非常小的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，根据方法即可得出答案.
13．【答案】5
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：∵，且是整数；
∴2是整数，即5n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为5．
故答案为：5．
【分析】因为是整数，且，则5n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为5．
14．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
15．【答案】3cm
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，
∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，
∵DE垂直平分AB，BE＝6cm，
∴BE＝AE＝6cm，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEC＝30°，
∴AC＝ AE＝ ×6cm＝3cm.
故答案为：3cm.
【分析】易得∠BAC＝90°-∠B＝75°，根据垂直平分线的性质可得BE＝AE＝6cm，由等腰三角形的性质可得∠EAB＝∠B＝15°，则∠EAC=∠BAC-∠EAB=60°，∠AEC＝30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行计算.
16．【答案】4
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：连接CC′，如图所示．
∵△ABC、△A′BC′均为正三角形，
∴∠ABC=∠A′=60°，A′B=BC=A′C′，
∴A′C′∥BC，
∴四边形A′BCC′为菱形，
∴点C关于BC'对称的点是A'，
∴当点D与点B重合时，AD+CD取最小值，
此时AD+CD=2+2=4．
故答案为：4．
【分析】连接CC′，根据△ABC、△A′BC′均为正三角形即可得出四边形A′BCC′为菱形，进而得出点C关于BC'对称的点是A'，以此确定当点D与点B重合时，AD+CD的值最小，代入数据即可得出结论．
17．【答案】（1）解：（a+b）2﹣b（2a+b）
＝a2+2ab+b2﹣2ab﹣b2
＝a2
（2）解：
＝2﹣1﹣3+3﹣4×
＝2﹣1﹣3+3﹣1
＝0
【知识点】实数的运算；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则分别去括号，然后合并同类项进行化简即可；
（2）根据平方差公式、算术平方根的概念以及立方根的概念、有理数的乘方法则分别化简，然后计算乘法，再计算加减法即可.
18．【答案】解：
＝x+2，
∵x2＝4，
∴x＝±2，
由题意得：x≠﹣2，
当x＝2时，原式＝2+2＝4.
【知识点】平方根；分式的化简求值
【解析】【分析】对括号外分式的分子、分母进行分解，对括号中的式子进行通分，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，根据x2=4求出x的值，然后选取一个使分式有意义的x的值代入进行计算即可.
19．【答案】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠BEC＝∠CFB＝90°，
在△BEC和△CFB中，
∴△BEC≌△CFB（AAS），
∴BF＝CE.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，根据垂直的概念可得∠BEC＝∠CFB＝90°，然后利用AAS证明△BEC≌△CFB，据此可得结论.
20．【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，
（2）C2（﹣1，﹣1），
（3）如图所示：点P为所求，
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同可得点A、B、C关于y轴的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数可得C2的坐标；
（3）连接AC1，与y轴的交点即为点P的位置.
21．【答案】解：设学生步行的平均速度是每小时x千米.
服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米，
根据题意： ﹣ ＝3.6，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是所列方程的解，且符合题意.
答：学生步行的平均速度是每小时4千米.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设学生步行的平均速度是每小时x千米，则服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米，由题意可得学生所用的时间为小时，服务人员所用的时间为小时，然后根据服务人员所花时间比学生少用了3.6小时列出方程，求解即可.
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，
∵EA⊥AF，
∴∠EAF＝90°，
∴∠FAB+∠BAE＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠FAB＝∠DAE，
在△BAF和△DAE中，
∴△BAF≌△DAE（SAS），
∴DE＝BF；
（2）解：DE+BH＝HE，
理由如下：
由（1）知△BAF≌△DAE，
∴AF＝AE，
∵AH平分∠FAE，
∴∠FAH＝∠EAH，
在△FAH与△EAH中，
∴△FAH≌△EAH（SAS），
∴FH＝EH，
∴DE+BH＝HE.
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，根据垂直的概念可得∠EAF＝90°，由同角的余角相等可得∠FAB＝∠DAE，然后利用ASA证明△BAF≌△DAE，据此可得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得AF＝AE，根据角平分线的概念可得∠FAH＝∠EAH，利用SAS证明△FAH≌△EAH，得到FH＝EH，据此解答.
23．【答案】（1）①④
（2）①mn；
②由①知：m+n＝p＝3，mn＝q＝﹣2，
∴
【知识点】多项式乘多项式；分式的化简求值；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）在① ，②m2﹣n2，③ ，④xy+yz+zx中，任意交换两个字母的位置，式子的值都不变的有：① ，④xy+yz+zx.
故答案为：①④；
（2）①∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣px+q，
∴x2﹣（m+n）x+mn＝x2﹣px+q，
∴q＝mn，
故答案为：mn；
【分析】（1）直接根据神奇对称式的概念进行判断即可；
（2）①根据多项式与多项式的乘法法则将左边展开把那个合并然后与右边比较即可得q；
②由①知：m+n＝p＝3，mn＝q＝-2，对待求式进行通分并化简可得 ，据此计算.
24．【答案】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠CAD﹣∠DAE＝∠CAD﹣∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△DAB和△EAC中，
∴△DAB≌△EAC（SAS）
（2）解：①130；
②α+β＝180°，
理由：由（1）知，△DAB≌△EAC，
∴∠ABC＝∠ACE，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝ （180°﹣∠BAC）＝ （180°﹣α）＝90°﹣ α，
∴β＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABC＝90°﹣ α+90°﹣ α＝180°﹣α，
∴α+β＝180°
（3）解：β＝α；
理由：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△DAB和△EAC中，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝ （180°﹣∠BAC）＝ （180°﹣α）＝90°﹣ α，
∴∠ACE＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣ α）＝90°+ α，
∴β＝∠ACE﹣∠ACB＝90°+ α﹣（90°﹣ α）＝α.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）①由（1）知，△DAB≌△EAC，
∴∠ABC＝∠ACE，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝ （180°﹣∠BAC）＝ （180°﹣50°）＝65°，
∴β＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABC＝65°+65°＝130°.
故答案为：130；
【分析】（1）根据∠DAE＝∠BAC结合角的和差关系可得∠CAE＝∠BAD，进而利用SAS进行证明；
（2）①由（1）知：△DAB≌△EAC，则∠ABC＝∠ACE，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝65°，然后根据β＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABC进行计算；
②由全等三角形的性质可得∠ABC＝∠ACE，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝90°-α， 然后根据β=∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABC进行解答；
（3）由∠DAE＝∠BAC结合角的和差关系得∠CAE=∠BAD，证△DAB≌△EAC，得到∠ABD=∠ACE，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝90°-α，利用邻补角的性质表示出∠ACE＝∠ABD，然后根据β＝∠ACE-∠ACB进行计算.
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