6.1.2向量的加法 教案
文档属性
| 名称 | 6.1.2向量的加法 教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 185.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-13 10:29:19 | ||
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文档简介
向量的加法
教学重难点 教学目标 核心素养
向量加法的概念 理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律 数学抽象
向量加法的运算法则 掌握向量加法运算法则，能熟练地进行加法运算 数学运算
数与向量的类比 数的加法与向量的加法的联系与区别 逻辑推理
【教学过程】
一、新知初探
探究点1：
向量加法运算法则的应用
例1：（1）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么（在横线上只填上一个向量）：
①＋＝________；
②＋＝________；
③＋＋＝________．
（2）①如图甲所示，求作向量和a＋b．
②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c．
解：（1）如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：
①＋＝＋＝．
②＋＝＋＝．
③＋＋＝＋＋＝．
故填①，②，③．
（2）①首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b．如图所示．
②法一（三角形法则）：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝（a＋b）＋c＝a＋b＋c即为所求．
法二（平行四边形法则）：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b．再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求．
互动探究：
1．[变问法]在例1（1）条件下，求＋．
解：因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，所以＋＝．
2．[变问法]在例1（1）图形中求作向量＋＋．
解：过A作AG∥DF，且AG＝DF交CF的延长线于点G，
则＋＝．作＝，连接，
则＝＋＋，如图所示．
规律方法：
（1）三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．
（2）平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．
（3）求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单．
探究点2：
向量加法运算律的应用
例2：（1）设a＝（＋）＋（＋），b是一个非零向量，则下列结论正确的有________．（将正确结论的序号填在横线上）
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|．
（2）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
①＋＋；
②＋＋＋．
解：（1）由条件得，（＋）＋（＋）＝0＝a，故①③正确．
（2）①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝；
②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0．
规律方法：
向量加法运算律的意义和应用原则
（1）意义
向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．
（2）应用原则
利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
探究点3：
向量加法的实际应用
例3：如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）．
解：如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝．
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°．
所以||＝||·cos30°
＝10×＝5，
||＝||cos60°＝10×＝5．
所以A处所受的力为5N，B处所受的力为5N．
规律方法：
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
二、课堂总结
1．向量加法的三角形法则
一般地，平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则向量称为向量a与b的和（也称为向量a与b的和向量），向量a与b的和向量记作a＋b，因此＋＝．
这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则．
对任意向量a，有a＋00＋a＝a．
向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|．
2．向量加法的平行四边形法则
一般地，平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为＝，因此＝＋＝＋．
这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则．
由向量加法的平行四边形法则不难看出，向量的加法运算满足交换律，即对于任意的向量a，b，都有a＋b＝b＋a．
3．多个向量相加
结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．
因为向量的加法满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果是唯一的，我们可以任意调换其中向量的位置，也可以任意决定相加的顺序．例如
（a＋b）＋（c＋d）＝a＋[（b＋c）＋d]＝[（d＋c）＋a]＋b．
三、课堂检测
1．化简＋＋等于（ ）
A． B．
C． D．
解析：选C．＋＋＝．
2．对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为的是（ ）
A．＋＋ B．＋＋
C．＋＋ D．＋＋
解析：选C．在A中＋＋＝＋＝；在B中＋＋＝＋＝；在C中＋＋＝＋＝；在D中＋＋＝＋＝＋＝．
3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________．
解析：在菱形ABCD中，连接BD（图略），
因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形，
又因为||＝1，所以||＝1，
|＋|＝||＝1．
答案：1
4．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
解析：如图所示，作＝a，＝b，
则a＋b＝＋＝．
所以|a＋b|＝||
＝＝8（km），
因为∠AOB＝45°，
所以a＋b的方向是东北方向．
答案：8km 东北方向
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教学重难点 教学目标 核心素养
向量加法的概念 理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律 数学抽象
向量加法的运算法则 掌握向量加法运算法则，能熟练地进行加法运算 数学运算
数与向量的类比 数的加法与向量的加法的联系与区别 逻辑推理
【教学过程】
一、新知初探
探究点1：
向量加法运算法则的应用
例1：（1）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么（在横线上只填上一个向量）：
①＋＝________；
②＋＝________；
③＋＋＝________．
（2）①如图甲所示，求作向量和a＋b．
②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c．
解：（1）如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：
①＋＝＋＝．
②＋＝＋＝．
③＋＋＝＋＋＝．
故填①，②，③．
（2）①首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b．如图所示．
②法一（三角形法则）：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝（a＋b）＋c＝a＋b＋c即为所求．
法二（平行四边形法则）：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b．再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求．
互动探究：
1．[变问法]在例1（1）条件下，求＋．
解：因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，所以＋＝．
2．[变问法]在例1（1）图形中求作向量＋＋．
解：过A作AG∥DF，且AG＝DF交CF的延长线于点G，
则＋＝．作＝，连接，
则＝＋＋，如图所示．
规律方法：
（1）三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．
（2）平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．
（3）求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单．
探究点2：
向量加法运算律的应用
例2：（1）设a＝（＋）＋（＋），b是一个非零向量，则下列结论正确的有________．（将正确结论的序号填在横线上）
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|．
（2）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
①＋＋；
②＋＋＋．
解：（1）由条件得，（＋）＋（＋）＝0＝a，故①③正确．
（2）①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝；
②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0．
规律方法：
向量加法运算律的意义和应用原则
（1）意义
向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．
（2）应用原则
利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
探究点3：
向量加法的实际应用
例3：如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）．
解：如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝．
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°．
所以||＝||·cos30°
＝10×＝5，
||＝||cos60°＝10×＝5．
所以A处所受的力为5N，B处所受的力为5N．
规律方法：
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
二、课堂总结
1．向量加法的三角形法则
一般地，平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则向量称为向量a与b的和（也称为向量a与b的和向量），向量a与b的和向量记作a＋b，因此＋＝．
这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则．
对任意向量a，有a＋00＋a＝a．
向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|．
2．向量加法的平行四边形法则
一般地，平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为＝，因此＝＋＝＋．
这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则．
由向量加法的平行四边形法则不难看出，向量的加法运算满足交换律，即对于任意的向量a，b，都有a＋b＝b＋a．
3．多个向量相加
结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．
因为向量的加法满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果是唯一的，我们可以任意调换其中向量的位置，也可以任意决定相加的顺序．例如
（a＋b）＋（c＋d）＝a＋[（b＋c）＋d]＝[（d＋c）＋a]＋b．
三、课堂检测
1．化简＋＋等于（ ）
A． B．
C． D．
解析：选C．＋＋＝．
2．对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为的是（ ）
A．＋＋ B．＋＋
C．＋＋ D．＋＋
解析：选C．在A中＋＋＝＋＝；在B中＋＋＝＋＝；在C中＋＋＝＋＝；在D中＋＋＝＋＝＋＝．
3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________．
解析：在菱形ABCD中，连接BD（图略），
因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形，
又因为||＝1，所以||＝1，
|＋|＝||＝1．
答案：1
4．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
解析：如图所示，作＝a，＝b，
则a＋b＝＋＝．
所以|a＋b|＝||
＝＝8（km），
因为∠AOB＝45°，
所以a＋b的方向是东北方向．
答案：8km 东北方向
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