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浙江省金华市义乌市绣湖中学2021-2022学年九年级下学期寒假作业监测（开学）数学试卷
一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)
1．（2018·乐山）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】﹣2的相反数是2．
故答案为：B
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
2．（2022九下·义乌开学考）已知x2﹣4x﹣1＝0，则代数式x（x﹣4）+1的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
【答案】A
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵x2-4x-1＝0，
∴x2-4x＝1，
∴ x（x﹣4）+1=x2-4x+1=1+1=2.
故答案为：C.
【分析】根据题意得出x2-4x＝1，再把原式进行化简，然后把x2-4x＝1代入进行计算，即可得出答案.
3．（2022九下·义乌开学考）如图，D为平面直角坐标系内一点，OD与x轴构成∠1，那么tan∠1=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： tan∠1= .
故答案为：C.
【分析】利用方格纸的特点，设每一个小正方形的边长为1，根据正切的定，tan∠1= ，即可得出答案.
4．（2022九下·义乌开学考）关于反比例函数图象，下列说法正确的是（）
A．必经过点（1，1） B．两个分支分布在第二、四象限
C．两个分支关于x轴成轴对称 D．两个分支关于原点成中心对称
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【分析】把（1，1)代入得到左边≠右边；k=4＞0，图象在第一、三象限；根据轴对称的定义沿X轴对折不重合；根据中心对称的定义得到两曲线关于原点对称；根据以上结论判断即可．
【解答】A、把（1，1)代入得：左边≠右边，故本选项错误；
B、k=4＞0，图象在第一、三象限，故本选项错误；
C、沿X轴对折不重合，故本选项错误；
D、两曲线关于原点对称，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题主要考查对反比例函数的性质，轴对称图形，中心对称图形等知识点的理解和掌握，能根据反比例函数的性质进行判断是解此题的关键．
5．（2022九下·义乌开学考）一组数据为1，5，3，4，5，6，这组数据的众数、中位数分别为（ ）
A．4，5 B．3，2 C．5，4 D．5，4.5
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵数据5出现的次数最多，
∴众数是5，
把数据从小到大排列为：1，3，4，5，5，6，
∴中位数=
=4.5，
故答案为：D.
【分析】一组数据中出现次数最多的数据，就是这组数据的众数；将一组数据按从小到大或从大到小排列后，如果这组数据的个数是奇数个，则最中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数个，则最中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此即可得出答案.
6．（2022九下·义乌开学考）如图，在⊙O中，弦AB的长是 cm，弦AB的弦心距为6cm，E是⊙O优弧AEB上一点.则∠AEB的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．80°
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵OC⊥AB于点C，OA=OB，
∴AC=
AB=
，∠AOB=2∠AOC，
∵OC=6，
∴，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠AEB=
∠AOB=60°，
故答案为：A.
【分析】连接OA，OB，根据垂径定理得出AC的长，再根据等腰三角形的性质得出∠AOB=2∠AOC，利用特殊角的三角函数值得出∠AOC的度数，从而得出∠AOB的度数，再根据圆周角定理得出∠AEB=
∠AOB，即可得出答案.
7．（2022九下·义乌开学考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，若AD=4，BD=8，则CD的长为（ ）
A．
B．4
C．
D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2=AD·BD=4×8=32，
∴CD=
.
故答案为：A.
【分析】先证出△ACD∽△CBD，得出
，从而得出CD2=AD·BD=32，即可得出答案.
8．（2022九下·义乌开学考）如图，某物流公司指示标AB边长是40cm，AB=AC，∠ABC=45°，则该指示标BC的宽的值应是（ ）
A．
B．40
C．
D．
【答案】C
【知识点】等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠ABC=45°，
∴∠C=∠ABC=45°，
∴∠A=90°，
∴BC=
AB=40
，
∴该指示标BC的宽的值是40
cm，
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠C=∠ABC=45°，从而得出∠A=90°，再根据勾股定理即可得出BC的长.
9．（2022九下·义乌开学考）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A(0，-2)，B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接BE，DE，过点E作EN⊥y轴于点N，EM⊥x轴于点M，
∴AN=BN，EM=ON，OM=EN，
∵A（0，-2），B（0，4），
∴AB=6，
∴BN=AN=3，
∴ME=ON=1，
∴DM=
，
∴OM=EN=
=4，
∴OD=DM-OM=
，
∴点D的坐标为（
，0）.
故答案为：B.
【分析】连接BE，DE，过点E作EN⊥y轴于点N，EM⊥x轴于点M，得出AN=BN，EM=ON，OM=EN，求出DM和OM的长，利用OD=DM-OM求出OD的长，即可得出点D的坐标.
10．（2022九下·义乌开学考）如图，已知点A（ ，2）， B(0，1)，射线AB绕点A逆时针旋转30°，与x轴交于点C，则过A，B，C三点的二次函数y=ax2+bx+1中a，b的值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
设直线AB的解析式为y=kx+m，
∵A（
，2），B（0，1），
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y=
x+1，
令y=0，得
x+1=0，
解得x=-
，
∴D（-
，0），
∴，
∴∠ADC=30°，
∴∠ACE=∠ADC+∠BAC=30°+30°=60°，
∴CE=
，
∴OC=OE-CE=
，
∴C（
，0），
∵抛物线y=ax2+bx+1经过点A，C，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，先求出直线AB的解析式，求出点D的坐标，根据锐角三角函数的定义得出∠ADC=30°，从而得出∠ACE=60°，求出CE的长，从而得出点C的坐标，再把点A，C的坐标代入抛物线的解析式，即可得出a，b的值.
二、填空题 (本题有6小题,每小题4分,共24分)
11．（2022九下·义乌开学考）分解因式：a2﹣ab＝ ；
【答案】a（a-b）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2-ab=a（a-b）.
故答案为：a（a-b）.
【分析】提公因式a，即可得出答案.
12．（2022九下·义乌开学考）关于x的一元二次方程
+tanα=0有两个相等的实数根，则锐角α = ．
【答案】45°
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵方程x2-2x+
=0有两个相等的实数根，
∴△=（-2）2-4
=0，
∴=1，
∴=45°.
故答案为：45°.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）中，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根，据此结合题意得出△=（-2）2-4
=0，进而根据特殊锐角三角函数值即可得出答案.
13．（2022九下·义乌开学考）⊙O的半径为10，弦AB//CD，AB=12，CD=16，则AB与CD之间的距离为 ．
【答案】2或14
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，当AB，CD在圆心的两侧时，过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC，
∴AE=
AB=
×12=6，
∵AB//CD，
∴OF⊥CD，
∴∠OEA=∠OFC=90°，CF=
CD=
×16=8，
∴OE=
=8，OF=
=6，
∴EF=OE+OF=14，
如图，当AB，CD在圆心的同侧时，过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC，
∴AE=
AB=
×12=6，
∵AB//CD，
∴OF⊥CD，
∴∠OEA=∠OFC=90°，CF=
CD=
×16=8，
∴OE=
=8，OF=
=6，
∴EF=OE-OF=2，
∴AB与CD之间的距离为2或14.
故答案为：2或14.
【分析】分两种情况讨论：①当AB，CD在圆心的两侧，②当AB，CD在圆心的同侧，过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC，分别求出OE和OF的长，从而得出EF的长，即可得出答案.
14．（2022九下·义乌开学考）如图，甲、乙、丙3人站在5×6网格中的三个格子中，小王随机站在 剩下的空格中，与图中3人均不在同一行或同一列的概率是 ．
【答案】
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：∵剩下的空格有27个， 与图中3人均不在同一行或同一列的空格有6个，
∴ 小王随机站在剩下的空格中，与图中3人均不在同一行或同一列的概率=
.
故答案为：
.
【分析】根据题意得出剩下的空格有27个， 与图中3人均不在同一行或同一列的空格有6个，根据概率公式进行计算，即可得出答案.
15．（2022九下·义乌开学考）当0≤x≤4时，直线y=2x+a与抛物线y=（x-1）2-3有2个不同交点，则a的取值范围是 ．
【答案】-6＜a≤-2
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由
，
得x2-4x-2-a=0，
∵直线y=2x+a与抛物线y=（x-1）2-3有2个不同交点，
∴△=（-4）2-4（-2-a）＞0，
∴a＞-6，
∵当0≤x≤4时，直线y=2x+a与抛物线y=（x-1）2-3有2个不同交点，
∴当x=0时，y=2x+a=a，y=（0-1）2-3=-2，
∴a≤-2 ，
∴a的取值范围是-6＜a≤-2.
故答案为： -6＜a≤-2 .
【分析】根据直线y=2x+a与抛物线y=（x-1）2-3有2个不同交点，转化为一元二次方程利用根的判别式求出a＞-6，再求出当x=0时a的值，从而得出a≤-2 ，即可得出答案.
16．（2022九下·义乌开学考）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好. 当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点. 通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得∠CQA=∠ABQ（此时也有∠DQB=∠QAB）时，恰好能使球门AB的张角∠AQB达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点.如图2所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门一部分，CD⊥AB于点D，AB=6米，BD=2米.某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q.
（1）tan∠AQB= ．
（2）已知对方守门员伸开双臂后，成功防守的范围为
，若此时守门员站在张 角∠AQB内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，为了确保防守成功，MN中点与AB的距离至少为 ．
【答案】（1）
（2） 米
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AQ于点E，
∵∠ADQ=∠QBD， ∠DQB=∠QAB，
∴△ADQ∽△QDB，
∴，
∴，
∴DQ=4，
∴AQ=
，BQ=
，
∵∠AEB=∠QBD， ∠DQB=∠QAB，
∴△AEB∽△QDB，
∴，
∴，
∴AE=
，BE=
，
∴EQ=AQ-AE=
，
∴tan∠AQB=
；
故答案为：
；
（2）如图，过NM中点O作OF⊥AB于点F，交AQ于点P，
∵守门员伸开双臂后，成功防守的范围为
，
∴当MN=
时才能确保防守成功，
∵ tan∠AQB=
，
∴MQ=
，
∴ME=EQ-MQ=
，
∵∠MOP+∠APF=90°，∠QAD+∠APF=90°，
∴∠MOP=∠QAD，
∴tan∠MOP=tan∠QAD，
∴，
∵OM=
MN=
，
∴PM=
OM=
，
∴OP=
，
∴AP=EM+AE+PM=
，
∵，
∴PF=
，
∴OF=PF-OP=
，
∴MN中点与AB的距离至少为
米，
故答案为：
米.
【分析】（1）过点B作BE⊥AQ于点E，先证出△ADQ∽△QDB，利用比例式求出DQ的长，从而求出AQ，BQ的长，再证出△AEB∽△QDB，利用比例式求出AE，BE的长，从而求出EQ的长，然后利用锐角三角函数定义即可求解；
（2）过NM中点O作OF⊥AB于点F，交AQ于点P，分别求出EM，PM，OP，PF的长，再利用OF=PF-OP求出OF的长，即可得出答案.
三、解答题（本题有8小题,共66分）
17．（2022九下·义乌开学考）计算：|－4|－
－(－
)－2+2cos 45°
【答案】解：|－4|－ －(－ )－2+2cos 45°．
原式=4－2 －4+ =－
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据绝对值的性质、二次根式的性质、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行计算，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法，即可得出答案.
18．（2022九下·义乌开学考）已知5x2﹣x﹣1＝0，求代数式（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）的值．
【答案】解：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）
＝9x2﹣4+x2﹣2x
＝10x2﹣2x﹣4，
∵5x2﹣x﹣1＝0，
∴5x2﹣x＝1，
∴原式＝2（5x2﹣x）﹣4＝﹣2．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据多项式乘多项式、单项式乘多项式的法则进行计算，再合并同类项，把原式进行化简，再把5x2-x＝1代入进行计算， 即可得出答案.
19．（2022九下·义乌开学考）如图1为医院里常见的“测温门”，图2为该“测温门”截面示意图．小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．经测量该测温门的高度AD为2.5米，小聪的有效测温区间MN的长度是1米，根据以上数据，求小聪的身高CN为多少？（注：额头到地面的距离以身高计）（参考数据：
，结果精确到0.01米）
【答案】解：如图，延长BC与AD交于点E，
∵∠ABC=30°，∠ACE=60°，
∴∠BAC=∠ABC=30°，
∴AC=BC=MN=1，
∴AE=AC· = ，
∴CN=DE=AD-AE=2.5- ≈1.63，
∴小聪的身高CN为1.63米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长BC与AD交于点E，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质得出AC=BC=MN=1，再利用锐角三角函数的定义得出AE=
，从而得出CN=DE=AD-AE≈1.63，即可得出答案.
20．（2022九下·义乌开学考）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；
（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB'C'．
【答案】（1）解：如图1中，△A'B'C'即为所求．
（2）解：如图2中，△AB'C'即为所求．
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）分别作出点A，B，C关于点O的对称点A'，B'，C'，并顺次连接即可作出△A'B'C'；
（2）利用方格纸的特点及勾股定理可得 ， ， ，画出△AB'C'即可．
21．（2022九下·义乌开学考）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，点E是AB上一点，CE=1，点F是线段AB上一个动点，以EF为斜边向上作等腰直角三角形.
（1）当BF=5时，求BG的长度．
（2）点F从点B运动到点A的过程中，求AG的最小值．
【答案】（1）解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=5，∠D=90°，AD=BC=4，
∵∠EGF=90°，
∴∠FGD=∠CEG，
∵FG=EG，
∴△FGD≌△GEC，
∴CG=FD=AD=4，
∴BG= ；
（2）解： 如图，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥BC于点N，
∴∠GMF=∠GNE=90°，
∵∠EGF=90°，
∴∠FGM=∠NEG，
∵FG=EG，
∴△FGM≌△EGN，
∴MG=NG，
∴四边形BNGM是正方形，
∴GM=BM，
设GM=BM=x，则AM=5-x，
∴AG2=AM2+GM2=（5-x）2+x2=2x2-10x+25，
∴当x=- 时，AG2最小，AG2最小值= ，
∴AG的最小值= .
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）证出△FGD≌△GEC，得出CG=FD=AD=4，再利用勾股定理即可得出BG的长；
（2）过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥BC于点N，先证出四边形BNGM是正方形，得出GM=BM，设GM=BM=x，则AM=5-x，根据勾股定理得出AG2=AM2+GM2=（5-x）2+x2=2x2-10x+25，再利用抛物线的性质得出当x=
时，AG2最小值=
，即可得出AG的最小值.
22．（2022九下·义乌开学考）甲、乙两组同学玩“两人背夹球”比赛，即：每组两名同学用背部夹着球跑完
规定的距离，若途中球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲组两位同学掉了球；乙组两位同学则顺利跑完．设比赛距离用y表示，单位是米；比赛时间用x表示，单位是秒.两组同学比赛过程用图象表示如下.
（1）这是一次 米的背夹球比赛，获胜的是 组同学；
（2）请写出线段AB的实际意义；
（3）求出C点坐标并说明点C的实际意义.
【答案】（1）60；甲
（2）解：因为从A到B的路程不变，所以甲组两位同学在比赛中掉了球，因为从A到B的时间为2秒，
所以线段AB的实际意义是甲组两位同学在比赛中掉了球，耽误了2秒；
（3）解：设直线FG的函数解析式为y=k1x+b1，
把F（12，30），G（26，0）代入y=k1x+b1 得：
，
∴，
∴直线FG的函数解析式为y= ，
设直线DE的函数解析式为：y=k2x+b2，
把D（14，30），E（24，0）代入y=k2x+b2， 得：
，
∴，
∴直线DE的函数解析式为：y=-3x+72，
联立方程组得： ，
解得 ，
∴C点坐标为（19，15），
∴说明点C的实际意义是当比赛进行到19秒时，甲、乙两组同学离终点均为15米．
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（1）根据函数图象可得这是一次60米的背夹球比赛，获胜的是甲组同学，
故答案为：60；甲；
【分析】 （1）根据函数图象的纵坐标为30，可得这是一次60米的背夹球比赛，利用横坐标可得，获胜的是甲组同学；
（2）根据从A到B的路程不变，得出甲组两位同学在比赛中掉了球，根据从A到B的时间为2秒，得出线段AB的实际意义是甲组两位同学在比赛中掉了球，耽误了2秒；
（3）根据点F，G的坐标，求出直线FG的函数解析式，根据点D，E的坐标，求出直线DE的函数解析式，然后组成方程组，求方程组的解，即为C的坐标，即可解答.
23．（2022九下·义乌开学考）如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA＝OB＝OC＝OD＝2，OC平分∠BOD，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F．
（1）求证：OC∥AD；
（2）如图2，若DE＝DF，求
的值；
（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求
的值．
【答案】（1）证明：∵AO＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵OC平分∠BOD，
∴∠DOC＝∠COB，
又∵∠DOC+∠COB∠＝∠OAD+∠ADO，
∴∠ADO＝∠DOC，
∴CO∥AD；
（2）解： ∵OA=OB=OC，
∴∠ADB=90°，
∴△AOD和△ABD是等腰直角三角形，
∴AD= AO，
∴，
∵DE=DF，
∴∠DFE=∠AED，
∵∠DFE=∠AFO，
∴∠AFO=∠AED，
∵∠AOF=∠ADE=90°，
∴△ADE∽△AOF，
∴= ；
（3）解：如图2，
∵OD＝OB，∠BOC＝∠DOC，∴△BOC≌△DOC（SAS），∴BC＝CD，
设BC＝CD＝x，CG＝m，则OG＝2﹣m，
∵OB2﹣OG2＝BC2﹣CG2，
∴4﹣（2﹣m）2＝x2﹣m2，解得：m ，∴OG＝2 ，
∵OD＝OB，∠DOG＝∠BOG，∴G为BD的中点，
又∵O为AB的中点，∴AD＝2OG＝4 ，
∴四边形ABCD的周长为2BC+AD+AB＝2x+4 4 2x+8 10，
∵ 0，∴x＝2时，四边形ABCD的周长有最大值为10．∴BC＝2，
∴△BCO为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∵OC∥AD，∴∠DAC＝∠COB＝60°，
∴∠ADF＝∠DOC＝60°，∠DAE＝30°，∴∠AFD＝90°，∴ ，DF DA，
∴ ．
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠OAD＝∠ADO，∠DOC＝∠COB，根据三角形外角性质得出∠ADO＝∠DOC，即可得出CO∥AD；
（2）先证出△AOD和△ABD是等腰直角三角形，得出AD=
AO，再证出△ADE∽△AOF，得出
，即可得出答案；
（3）先证出△BOC≌△DOC，得出BC＝CD，设BC＝CD＝x，CG＝m，OG＝2﹣m，利用勾股定理得出m=
x2，从而得出OG=2-
x2，根据三角形中位线定理得出AD=4-
x2，从而得出四边形ABCD的周长=-
（x-2）2+10，再根据二次函数的性质得出x＝2时，四边形ABCD的周长有最大值为10，得出BC=2，再利用锐角三角函数的定义得出
，
，即可得出答案.
24．（2022九下·义乌开学考）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0）点B（3，0），点C（0，3），D为抛物线的顶点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC，M是平面内一点，将△OAC绕点M沿逆时针旋转90o后，得到△O1A1C1，点O、A、C对应的点分别是点O1、A1、C1，若△O1A1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，求出点C1的横坐标；
（3）在坐标平面内找一点P，使△OCD与△CBP相似，且 ∠COD=∠BCP，求出所有点P的坐标．
【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
将C（0，3）代入得：-3a=3，
∴a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；
（2）解： △ AOC绕点M沿逆时针方向旋转90°，
∴A1O1∥y轴，B1O1IIx轴， 设点C的横坐标为m，
①如图，点O1、C1在抛物线上时，点C1的横坐标为m，点O1的横坐标为m+3，
∵O1，C1关于抛物线对称轴的直线x=1对称，
∴，
解得：m=- ，
∴C1点的横坐标为：- ；
②如图，点A1、C1在抛物线上时，点C的横坐标为m， C1(m， - m2+ 2m+ 3)，点O1的横坐标为m+3，A1(m+3， - m2+ 2m+3-1)，
∵A1也在抛物线上，
∴-(m+3)2+2(m+3)+3=-m2+2m+3-1，
解得m=-；
综上，C1的横坐标为-或-.
（3）解：解：如图，作DK⊥OC于K，由题意得OC=OB=3，BC=3，OD==，
∵CK=1=DK，
∴∠KCD=45°，
∴∠DCO=135°，
∵△OCD∽△CBP，∠COD=∠BCP，
当CP在直线BC上方时，∠CBO= 45°，
①当∠CBP1=∠DCO=135°时，P在x轴上，
∴，即，
解得BP1=2，
∴P1(5，0)；
②当∠CP2B=∠OCD时，
，即，
解得CP2=，
作P2M⊥CO于M，则P2M∥x轴，
∴△CMP2∽△COP1，
∴，即，
∴P2M=，CM=，
∴OM=OC-CM=，
∴P2 ；
③∵BP3⊥x轴，BP3=BP1=2，
∴P3(3，-2)；
④∵CP4=CP2=，
∴与P2同理，P4= .
综上， （5，0）或（3，-2）或 或 .
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)利用交点式设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），再利用待定系数法求函数解析式即可；
(2)根据逆时针旋转角为90°可得A1O1∥y轴，B1O1∥x轴， 设点C1的横坐标为m，然后分两种情况讨论：①点O1， C1在抛物线上时，表示出两点的横坐标，再根据横坐标中点在抛物线的对称轴上求解即可；②点A1、C1在抛物线上时，表示出点A1(m+3， - m2+ 2m+3- 1)，满足点在抛物线上，计算求解即可；
(3)作DK⊥OC于K，分4种情况求解，当CP在直线BC上方时，∠CBO=45°，①当∠CBP1= ∠DCO= 135°时，P1在x轴上， 根据相似三角形的性质列比例式求出BP1的长，即可求解；②当∠CP2B=∠DCO时，则由，求出CP2，作P2M⊥CO于M，证明△CMP2∽△COP，列比例式求出P2M、CM、从而求出OM的长，得出P2坐标；当直线CP在直线BC下方时，根据对称性可知，P1、P2关于直线BC的对称点分别为P3、P4；③推出BP3⊥x，根据BP3= BP1，求出BP3长，则可得出P3点坐标；④根据CP4=CP2=，同P2的过程，列比例式求解即可.
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浙江省金华市义乌市绣湖中学2021-2022学年九年级下学期寒假作业监测（开学）数学试卷
一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)
1．（2018·乐山）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
2．（2022九下·义乌开学考）已知x2﹣4x﹣1＝0，则代数式x（x﹣4）+1的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
3．（2022九下·义乌开学考）如图，D为平面直角坐标系内一点，OD与x轴构成∠1，那么tan∠1=（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022九下·义乌开学考）关于反比例函数图象，下列说法正确的是（）
A．必经过点（1，1） B．两个分支分布在第二、四象限
C．两个分支关于x轴成轴对称 D．两个分支关于原点成中心对称
5．（2022九下·义乌开学考）一组数据为1，5，3，4，5，6，这组数据的众数、中位数分别为（ ）
A．4，5 B．3，2 C．5，4 D．5，4.5
6．（2022九下·义乌开学考）如图，在⊙O中，弦AB的长是 cm，弦AB的弦心距为6cm，E是⊙O优弧AEB上一点.则∠AEB的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．80°
7．（2022九下·义乌开学考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，若AD=4，BD=8，则CD的长为（ ）
A．
B．4
C．
D．
8．（2022九下·义乌开学考）如图，某物流公司指示标AB边长是40cm，AB=AC，∠ABC=45°，则该指示标BC的宽的值应是（ ）
A．
B．40
C．
D．
9．（2022九下·义乌开学考）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A(0，-2)，B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2022九下·义乌开学考）如图，已知点A（ ，2）， B(0，1)，射线AB绕点A逆时针旋转30°，与x轴交于点C，则过A，B，C三点的二次函数y=ax2+bx+1中a，b的值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题 (本题有6小题,每小题4分,共24分)
11．（2022九下·义乌开学考）分解因式：a2﹣ab＝ ；
12．（2022九下·义乌开学考）关于x的一元二次方程
+tanα=0有两个相等的实数根，则锐角α = ．
13．（2022九下·义乌开学考）⊙O的半径为10，弦AB//CD，AB=12，CD=16，则AB与CD之间的距离为 ．
14．（2022九下·义乌开学考）如图，甲、乙、丙3人站在5×6网格中的三个格子中，小王随机站在 剩下的空格中，与图中3人均不在同一行或同一列的概率是 ．
15．（2022九下·义乌开学考）当0≤x≤4时，直线y=2x+a与抛物线y=（x-1）2-3有2个不同交点，则a的取值范围是 ．
16．（2022九下·义乌开学考）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好. 当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点. 通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得∠CQA=∠ABQ（此时也有∠DQB=∠QAB）时，恰好能使球门AB的张角∠AQB达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点.如图2所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门一部分，CD⊥AB于点D，AB=6米，BD=2米.某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q.
（1）tan∠AQB= ．
（2）已知对方守门员伸开双臂后，成功防守的范围为
，若此时守门员站在张 角∠AQB内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，为了确保防守成功，MN中点与AB的距离至少为 ．
三、解答题（本题有8小题,共66分）
17．（2022九下·义乌开学考）计算：|－4|－
－(－
)－2+2cos 45°
18．（2022九下·义乌开学考）已知5x2﹣x﹣1＝0，求代数式（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）的值．
19．（2022九下·义乌开学考）如图1为医院里常见的“测温门”，图2为该“测温门”截面示意图．小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．经测量该测温门的高度AD为2.5米，小聪的有效测温区间MN的长度是1米，根据以上数据，求小聪的身高CN为多少？（注：额头到地面的距离以身高计）（参考数据：
，结果精确到0.01米）
20．（2022九下·义乌开学考）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；
（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB'C'．
21．（2022九下·义乌开学考）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，点E是AB上一点，CE=1，点F是线段AB上一个动点，以EF为斜边向上作等腰直角三角形.
（1）当BF=5时，求BG的长度．
（2）点F从点B运动到点A的过程中，求AG的最小值．
22．（2022九下·义乌开学考）甲、乙两组同学玩“两人背夹球”比赛，即：每组两名同学用背部夹着球跑完
规定的距离，若途中球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲组两位同学掉了球；乙组两位同学则顺利跑完．设比赛距离用y表示，单位是米；比赛时间用x表示，单位是秒.两组同学比赛过程用图象表示如下.
（1）这是一次 米的背夹球比赛，获胜的是 组同学；
（2）请写出线段AB的实际意义；
（3）求出C点坐标并说明点C的实际意义.
23．（2022九下·义乌开学考）如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA＝OB＝OC＝OD＝2，OC平分∠BOD，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F．
（1）求证：OC∥AD；
（2）如图2，若DE＝DF，求
的值；
（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求
的值．
24．（2022九下·义乌开学考）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0）点B（3，0），点C（0，3），D为抛物线的顶点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC，M是平面内一点，将△OAC绕点M沿逆时针旋转90o后，得到△O1A1C1，点O、A、C对应的点分别是点O1、A1、C1，若△O1A1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，求出点C1的横坐标；
（3）在坐标平面内找一点P，使△OCD与△CBP相似，且 ∠COD=∠BCP，求出所有点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】﹣2的相反数是2．
故答案为：B
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
2．【答案】A
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵x2-4x-1＝0，
∴x2-4x＝1，
∴ x（x﹣4）+1=x2-4x+1=1+1=2.
故答案为：C.
【分析】根据题意得出x2-4x＝1，再把原式进行化简，然后把x2-4x＝1代入进行计算，即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： tan∠1= .
故答案为：C.
【分析】利用方格纸的特点，设每一个小正方形的边长为1，根据正切的定，tan∠1= ，即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【分析】把（1，1)代入得到左边≠右边；k=4＞0，图象在第一、三象限；根据轴对称的定义沿X轴对折不重合；根据中心对称的定义得到两曲线关于原点对称；根据以上结论判断即可．
【解答】A、把（1，1)代入得：左边≠右边，故本选项错误；
B、k=4＞0，图象在第一、三象限，故本选项错误；
C、沿X轴对折不重合，故本选项错误；
D、两曲线关于原点对称，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题主要考查对反比例函数的性质，轴对称图形，中心对称图形等知识点的理解和掌握，能根据反比例函数的性质进行判断是解此题的关键．
5．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵数据5出现的次数最多，
∴众数是5，
把数据从小到大排列为：1，3，4，5，5，6，
∴中位数=
=4.5，
故答案为：D.
【分析】一组数据中出现次数最多的数据，就是这组数据的众数；将一组数据按从小到大或从大到小排列后，如果这组数据的个数是奇数个，则最中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数个，则最中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵OC⊥AB于点C，OA=OB，
∴AC=
AB=
，∠AOB=2∠AOC，
∵OC=6，
∴，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠AEB=
∠AOB=60°，
故答案为：A.
【分析】连接OA，OB，根据垂径定理得出AC的长，再根据等腰三角形的性质得出∠AOB=2∠AOC，利用特殊角的三角函数值得出∠AOC的度数，从而得出∠AOB的度数，再根据圆周角定理得出∠AEB=
∠AOB，即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2=AD·BD=4×8=32，
∴CD=
.
故答案为：A.
【分析】先证出△ACD∽△CBD，得出
，从而得出CD2=AD·BD=32，即可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠ABC=45°，
∴∠C=∠ABC=45°，
∴∠A=90°，
∴BC=
AB=40
，
∴该指示标BC的宽的值是40
cm，
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠C=∠ABC=45°，从而得出∠A=90°，再根据勾股定理即可得出BC的长.
9．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接BE，DE，过点E作EN⊥y轴于点N，EM⊥x轴于点M，
∴AN=BN，EM=ON，OM=EN，
∵A（0，-2），B（0，4），
∴AB=6，
∴BN=AN=3，
∴ME=ON=1，
∴DM=
，
∴OM=EN=
=4，
∴OD=DM-OM=
，
∴点D的坐标为（
，0）.
故答案为：B.
【分析】连接BE，DE，过点E作EN⊥y轴于点N，EM⊥x轴于点M，得出AN=BN，EM=ON，OM=EN，求出DM和OM的长，利用OD=DM-OM求出OD的长，即可得出点D的坐标.
10．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
设直线AB的解析式为y=kx+m，
∵A（
，2），B（0，1），
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y=
x+1，
令y=0，得
x+1=0，
解得x=-
，
∴D（-
，0），
∴，
∴∠ADC=30°，
∴∠ACE=∠ADC+∠BAC=30°+30°=60°，
∴CE=
，
∴OC=OE-CE=
，
∴C（
，0），
∵抛物线y=ax2+bx+1经过点A，C，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，先求出直线AB的解析式，求出点D的坐标，根据锐角三角函数的定义得出∠ADC=30°，从而得出∠ACE=60°，求出CE的长，从而得出点C的坐标，再把点A，C的坐标代入抛物线的解析式，即可得出a，b的值.
11．【答案】a（a-b）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2-ab=a（a-b）.
故答案为：a（a-b）.
【分析】提公因式a，即可得出答案.
12．【答案】45°
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵方程x2-2x+
=0有两个相等的实数根，
∴△=（-2）2-4
=0，
∴=1，
∴=45°.
故答案为：45°.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）中，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根，据此结合题意得出△=（-2）2-4
=0，进而根据特殊锐角三角函数值即可得出答案.
13．【答案】2或14
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，当AB，CD在圆心的两侧时，过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC，
∴AE=
AB=
×12=6，
∵AB//CD，
∴OF⊥CD，
∴∠OEA=∠OFC=90°，CF=
CD=
×16=8，
∴OE=
=8，OF=
=6，
∴EF=OE+OF=14，
如图，当AB，CD在圆心的同侧时，过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC，
∴AE=
AB=
×12=6，
∵AB//CD，
∴OF⊥CD，
∴∠OEA=∠OFC=90°，CF=
CD=
×16=8，
∴OE=
=8，OF=
=6，
∴EF=OE-OF=2，
∴AB与CD之间的距离为2或14.
故答案为：2或14.
【分析】分两种情况讨论：①当AB，CD在圆心的两侧，②当AB，CD在圆心的同侧，过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC，分别求出OE和OF的长，从而得出EF的长，即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：∵剩下的空格有27个， 与图中3人均不在同一行或同一列的空格有6个，
∴ 小王随机站在剩下的空格中，与图中3人均不在同一行或同一列的概率=
.
故答案为：
.
【分析】根据题意得出剩下的空格有27个， 与图中3人均不在同一行或同一列的空格有6个，根据概率公式进行计算，即可得出答案.
15．【答案】-6＜a≤-2
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由
，
得x2-4x-2-a=0，
∵直线y=2x+a与抛物线y=（x-1）2-3有2个不同交点，
∴△=（-4）2-4（-2-a）＞0，
∴a＞-6，
∵当0≤x≤4时，直线y=2x+a与抛物线y=（x-1）2-3有2个不同交点，
∴当x=0时，y=2x+a=a，y=（0-1）2-3=-2，
∴a≤-2 ，
∴a的取值范围是-6＜a≤-2.
故答案为： -6＜a≤-2 .
【分析】根据直线y=2x+a与抛物线y=（x-1）2-3有2个不同交点，转化为一元二次方程利用根的判别式求出a＞-6，再求出当x=0时a的值，从而得出a≤-2 ，即可得出答案.
16．【答案】（1）
（2） 米
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AQ于点E，
∵∠ADQ=∠QBD， ∠DQB=∠QAB，
∴△ADQ∽△QDB，
∴，
∴，
∴DQ=4，
∴AQ=
，BQ=
，
∵∠AEB=∠QBD， ∠DQB=∠QAB，
∴△AEB∽△QDB，
∴，
∴，
∴AE=
，BE=
，
∴EQ=AQ-AE=
，
∴tan∠AQB=
；
故答案为：
；
（2）如图，过NM中点O作OF⊥AB于点F，交AQ于点P，
∵守门员伸开双臂后，成功防守的范围为
，
∴当MN=
时才能确保防守成功，
∵ tan∠AQB=
，
∴MQ=
，
∴ME=EQ-MQ=
，
∵∠MOP+∠APF=90°，∠QAD+∠APF=90°，
∴∠MOP=∠QAD，
∴tan∠MOP=tan∠QAD，
∴，
∵OM=
MN=
，
∴PM=
OM=
，
∴OP=
，
∴AP=EM+AE+PM=
，
∵，
∴PF=
，
∴OF=PF-OP=
，
∴MN中点与AB的距离至少为
米，
故答案为：
米.
【分析】（1）过点B作BE⊥AQ于点E，先证出△ADQ∽△QDB，利用比例式求出DQ的长，从而求出AQ，BQ的长，再证出△AEB∽△QDB，利用比例式求出AE，BE的长，从而求出EQ的长，然后利用锐角三角函数定义即可求解；
（2）过NM中点O作OF⊥AB于点F，交AQ于点P，分别求出EM，PM，OP，PF的长，再利用OF=PF-OP求出OF的长，即可得出答案.
17．【答案】解：|－4|－ －(－ )－2+2cos 45°．
原式=4－2 －4+ =－
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据绝对值的性质、二次根式的性质、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行计算，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法，即可得出答案.
18．【答案】解：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）
＝9x2﹣4+x2﹣2x
＝10x2﹣2x﹣4，
∵5x2﹣x﹣1＝0，
∴5x2﹣x＝1，
∴原式＝2（5x2﹣x）﹣4＝﹣2．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据多项式乘多项式、单项式乘多项式的法则进行计算，再合并同类项，把原式进行化简，再把5x2-x＝1代入进行计算， 即可得出答案.
19．【答案】解：如图，延长BC与AD交于点E，
∵∠ABC=30°，∠ACE=60°，
∴∠BAC=∠ABC=30°，
∴AC=BC=MN=1，
∴AE=AC· = ，
∴CN=DE=AD-AE=2.5- ≈1.63，
∴小聪的身高CN为1.63米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长BC与AD交于点E，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质得出AC=BC=MN=1，再利用锐角三角函数的定义得出AE=
，从而得出CN=DE=AD-AE≈1.63，即可得出答案.
20．【答案】（1）解：如图1中，△A'B'C'即为所求．
（2）解：如图2中，△AB'C'即为所求．
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）分别作出点A，B，C关于点O的对称点A'，B'，C'，并顺次连接即可作出△A'B'C'；
（2）利用方格纸的特点及勾股定理可得 ， ， ，画出△AB'C'即可．
21．【答案】（1）解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=5，∠D=90°，AD=BC=4，
∵∠EGF=90°，
∴∠FGD=∠CEG，
∵FG=EG，
∴△FGD≌△GEC，
∴CG=FD=AD=4，
∴BG= ；
（2）解： 如图，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥BC于点N，
∴∠GMF=∠GNE=90°，
∵∠EGF=90°，
∴∠FGM=∠NEG，
∵FG=EG，
∴△FGM≌△EGN，
∴MG=NG，
∴四边形BNGM是正方形，
∴GM=BM，
设GM=BM=x，则AM=5-x，
∴AG2=AM2+GM2=（5-x）2+x2=2x2-10x+25，
∴当x=- 时，AG2最小，AG2最小值= ，
∴AG的最小值= .
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）证出△FGD≌△GEC，得出CG=FD=AD=4，再利用勾股定理即可得出BG的长；
（2）过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥BC于点N，先证出四边形BNGM是正方形，得出GM=BM，设GM=BM=x，则AM=5-x，根据勾股定理得出AG2=AM2+GM2=（5-x）2+x2=2x2-10x+25，再利用抛物线的性质得出当x=
时，AG2最小值=
，即可得出AG的最小值.
22．【答案】（1）60；甲
（2）解：因为从A到B的路程不变，所以甲组两位同学在比赛中掉了球，因为从A到B的时间为2秒，
所以线段AB的实际意义是甲组两位同学在比赛中掉了球，耽误了2秒；
（3）解：设直线FG的函数解析式为y=k1x+b1，
把F（12，30），G（26，0）代入y=k1x+b1 得：
，
∴，
∴直线FG的函数解析式为y= ，
设直线DE的函数解析式为：y=k2x+b2，
把D（14，30），E（24，0）代入y=k2x+b2， 得：
，
∴，
∴直线DE的函数解析式为：y=-3x+72，
联立方程组得： ，
解得 ，
∴C点坐标为（19，15），
∴说明点C的实际意义是当比赛进行到19秒时，甲、乙两组同学离终点均为15米．
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（1）根据函数图象可得这是一次60米的背夹球比赛，获胜的是甲组同学，
故答案为：60；甲；
【分析】 （1）根据函数图象的纵坐标为30，可得这是一次60米的背夹球比赛，利用横坐标可得，获胜的是甲组同学；
（2）根据从A到B的路程不变，得出甲组两位同学在比赛中掉了球，根据从A到B的时间为2秒，得出线段AB的实际意义是甲组两位同学在比赛中掉了球，耽误了2秒；
（3）根据点F，G的坐标，求出直线FG的函数解析式，根据点D，E的坐标，求出直线DE的函数解析式，然后组成方程组，求方程组的解，即为C的坐标，即可解答.
23．【答案】（1）证明：∵AO＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵OC平分∠BOD，
∴∠DOC＝∠COB，
又∵∠DOC+∠COB∠＝∠OAD+∠ADO，
∴∠ADO＝∠DOC，
∴CO∥AD；
（2）解： ∵OA=OB=OC，
∴∠ADB=90°，
∴△AOD和△ABD是等腰直角三角形，
∴AD= AO，
∴，
∵DE=DF，
∴∠DFE=∠AED，
∵∠DFE=∠AFO，
∴∠AFO=∠AED，
∵∠AOF=∠ADE=90°，
∴△ADE∽△AOF，
∴= ；
（3）解：如图2，
∵OD＝OB，∠BOC＝∠DOC，∴△BOC≌△DOC（SAS），∴BC＝CD，
设BC＝CD＝x，CG＝m，则OG＝2﹣m，
∵OB2﹣OG2＝BC2﹣CG2，
∴4﹣（2﹣m）2＝x2﹣m2，解得：m ，∴OG＝2 ，
∵OD＝OB，∠DOG＝∠BOG，∴G为BD的中点，
又∵O为AB的中点，∴AD＝2OG＝4 ，
∴四边形ABCD的周长为2BC+AD+AB＝2x+4 4 2x+8 10，
∵ 0，∴x＝2时，四边形ABCD的周长有最大值为10．∴BC＝2，
∴△BCO为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∵OC∥AD，∴∠DAC＝∠COB＝60°，
∴∠ADF＝∠DOC＝60°，∠DAE＝30°，∴∠AFD＝90°，∴ ，DF DA，
∴ ．
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠OAD＝∠ADO，∠DOC＝∠COB，根据三角形外角性质得出∠ADO＝∠DOC，即可得出CO∥AD；
（2）先证出△AOD和△ABD是等腰直角三角形，得出AD=
AO，再证出△ADE∽△AOF，得出
，即可得出答案；
（3）先证出△BOC≌△DOC，得出BC＝CD，设BC＝CD＝x，CG＝m，OG＝2﹣m，利用勾股定理得出m=
x2，从而得出OG=2-
x2，根据三角形中位线定理得出AD=4-
x2，从而得出四边形ABCD的周长=-
（x-2）2+10，再根据二次函数的性质得出x＝2时，四边形ABCD的周长有最大值为10，得出BC=2，再利用锐角三角函数的定义得出
，
，即可得出答案.
24．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
将C（0，3）代入得：-3a=3，
∴a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；
（2）解： △ AOC绕点M沿逆时针方向旋转90°，
∴A1O1∥y轴，B1O1IIx轴， 设点C的横坐标为m，
①如图，点O1、C1在抛物线上时，点C1的横坐标为m，点O1的横坐标为m+3，
∵O1，C1关于抛物线对称轴的直线x=1对称，
∴，
解得：m=- ，
∴C1点的横坐标为：- ；
②如图，点A1、C1在抛物线上时，点C的横坐标为m， C1(m， - m2+ 2m+ 3)，点O1的横坐标为m+3，A1(m+3， - m2+ 2m+3-1)，
∵A1也在抛物线上，
∴-(m+3)2+2(m+3)+3=-m2+2m+3-1，
解得m=-；
综上，C1的横坐标为-或-.
（3）解：解：如图，作DK⊥OC于K，由题意得OC=OB=3，BC=3，OD==，
∵CK=1=DK，
∴∠KCD=45°，
∴∠DCO=135°，
∵△OCD∽△CBP，∠COD=∠BCP，
当CP在直线BC上方时，∠CBO= 45°，
①当∠CBP1=∠DCO=135°时，P在x轴上，
∴，即，
解得BP1=2，
∴P1(5，0)；
②当∠CP2B=∠OCD时，
，即，
解得CP2=，
作P2M⊥CO于M，则P2M∥x轴，
∴△CMP2∽△COP1，
∴，即，
∴P2M=，CM=，
∴OM=OC-CM=，
∴P2 ；
③∵BP3⊥x轴，BP3=BP1=2，
∴P3(3，-2)；
④∵CP4=CP2=，
∴与P2同理，P4= .
综上， （5，0）或（3，-2）或 或 .
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)利用交点式设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），再利用待定系数法求函数解析式即可；
(2)根据逆时针旋转角为90°可得A1O1∥y轴，B1O1∥x轴， 设点C1的横坐标为m，然后分两种情况讨论：①点O1， C1在抛物线上时，表示出两点的横坐标，再根据横坐标中点在抛物线的对称轴上求解即可；②点A1、C1在抛物线上时，表示出点A1(m+3， - m2+ 2m+3- 1)，满足点在抛物线上，计算求解即可；
(3)作DK⊥OC于K，分4种情况求解，当CP在直线BC上方时，∠CBO=45°，①当∠CBP1= ∠DCO= 135°时，P1在x轴上， 根据相似三角形的性质列比例式求出BP1的长，即可求解；②当∠CP2B=∠DCO时，则由，求出CP2，作P2M⊥CO于M，证明△CMP2∽△COP，列比例式求出P2M、CM、从而求出OM的长，得出P2坐标；当直线CP在直线BC下方时，根据对称性可知，P1、P2关于直线BC的对称点分别为P3、P4；③推出BP3⊥x，根据BP3= BP1，求出BP3长，则可得出P3点坐标；④根据CP4=CP2=，同P2的过程，列比例式求解即可.
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