6.1.4数乘向量 课件（共38张PPT）
文档属性
| 名称 | 6.1.4数乘向量 课件（共38张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 580.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-13 09:16:51 | ||
图片预览
文档简介
(共38张PPT)
数乘向量
1.向量的数乘运算
定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做数乘向量，记作λa。
规定：（1）当λ≠0且a≠0时，|λa|=|λ||a|，且
①当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；
②当λ<0时，λa的方向与a的方向相反。（2）当λ=0或a=0时，λa=0。
【思考】
（1）定义中“是一个向量”告诉了我们什么信息？
提示：数乘向量的结果仍是一个向量，它既有大小又有方向。
（2）若把|λa|=|λ||a|写成|λa|=λ|a|可以吗？为什么？
提示：不可以，当λ<0时不成立。
2.向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，则λ（μa）=（λμ）a；
特别地，我们有（-λ）a=-（λa）=λ（-a）。
【思考】
这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？
提示：不能，数乘向量中的λ，μ都是实数，只有λ，μ都是实数时，运算律才成立。
3.向量共线的条件
如果存在实数λ，使得b=λa，则b∥a。
【思考】
“若向量b∥a，则存在实数λ，使得b=λa。”成立吗？
提示：不成立，若a=0，b≠0，则λ不存在。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）3a的方向与a的方向相同，且-2a的方向与a的方向相反。（ ）
（2）4a与-4a的模相等。（ ）
（3）a与-λa的方向相反。（ ）
（4）若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a=λb。（ ）
提示：（1）√。因为3>0，所以3a与a同向。因为-2<0，所以-2a与a反向。
（2）√。因为|4a|=|4||a|，|-4a|=|-4||a|=4|a|，故二者相等。
（3）×。当λ<0时，a与-λa的方向相同。
（4）×。若b=0时不成立。
2.点C在直线AB上，且 ，则 等于（ ）
【解析】选D。如图， ，所以
3.已知|a|=1，|b|=3，若两向量方向相反，则向量a与向量b的关系为b=________a。
【解析】由于|a|=1，|b|=3，则|b|=3|a|，又两向量反向，故b=-3a。答案：-3
类型一 数乘向量的定义
【典例】设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________。
①|-λa|≥|a|；
②a与λ2a方向相同；③|-2λa|=2|λ|·|a|。
【思维·引】根据数乘向量的概念解决。
【解析】当0<λ<1时，|-λa|<|a|，①错误；②③正确。
答案：②③
【内化·悟】
解决数乘向量问题关键应注意哪几点？
提示：应注意两点：方向相同还是相反，模长放大还是缩小。
【类题·通】
数乘向量与原来向量是共线的，其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小。
【习练·破】
若两个非零向量a与（2x-1）a方向相同，则x的取值范围为________。
【解析】由向量数乘定义可知，2x-1>0，即x> 。
答案：x>
【加练·固】
存在两个非零向量a，b，满足b=-3a，则有（ ）
A.a与b方向相同 B.a与b方向相反
C.|a|=|3b| D.|a|=|b|
【解析】选B。因为-3<0，所以a与-3a方向相反。且|-3a|=3|a|，即|b|=3|a|，故选B。
类型二 数乘向量的运算
【典例】下列各式化简正确的是________。
①-3×2a=-5a；
② a×3×（-2）= -3a；
③-2× = 2 ；
④0×b=0。
【思维·引】根据数乘向量的运算律解决。
【解析】因为-3×2a=-6a， a×3×（-2）=-3a，-2×
=-2 =2 ，0×b=0。所以，①④错误，②③正确。
答案：②③
【内化·悟】
数乘向量的运算可以与以前我们学过的什么运算相类比？
提示：可类比数乘单项式运算。
【类题·通】
λa中的实数λ叫做向量a的系数，数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘，作为新向量的系数。
【习练·破】
化简下列各式。
（1）4× a。
（2）-2×
【解析】（1）4×
（2）-2× =3a。
类型三 数乘向量的应用
角度1 判断向量共线
【典例】已知a=2e，b=-4e，判断a，b是否平行，求
的值；若a∥b，说出它们是同向还是反向。
【思维·引】利用数乘向量的定义解决。
【解析】因为b=-4e=-2（2e）=-2a，所以a∥b，且
，即 =1∶2。向量a，b反向。
【素养·探】
本题主要考查向量共线条件的应用，突出考查了数学运算的核心素养。本题若把条件改为“a=2e，b=3e，”其他不变，试求解。
【解析】因为b=3e= a ，所以a∥b，且 即
= 2∶3。向量a，b同向。
角度2 判断三点共线
【典例】已知 =e， =-3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，说出点A是线段BC的几等分点。
【思维·引】利用数乘向量的定义解决。
【解析】因为 =-3e=-3 ，所以 ， 且有公共点B，所以A，B，C三点共线，又因为BC=3AB，且向量
反向，如图，所以点A是线段BC的三等分点。
【类题·通】
数乘向量的应用
（1）如果存在实数λ，使得b=λa，则b∥a。
（2）如果存在实数λ，使得 ，则 ， 且AB与AC有公共点A，所以A，B，C三点共线。
【习练·破】
分别指出下列各题中A，B，C三点是否共线，如果共线，指出线段AB与BC的长度之比。
【解析】（1）因为 ，所以 ，又有公共的
点C，所以A，B，C三点共线，且AB=2BC，即AB∶BC=2∶1。
（2）因为 ，所以 ，又有公共点A，所以A，B，C三点共线，且AB= BC，即AB∶BC=3∶4。
谢 谢
数乘向量
1.向量的数乘运算
定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做数乘向量，记作λa。
规定：（1）当λ≠0且a≠0时，|λa|=|λ||a|，且
①当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；
②当λ<0时，λa的方向与a的方向相反。（2）当λ=0或a=0时，λa=0。
【思考】
（1）定义中“是一个向量”告诉了我们什么信息？
提示：数乘向量的结果仍是一个向量，它既有大小又有方向。
（2）若把|λa|=|λ||a|写成|λa|=λ|a|可以吗？为什么？
提示：不可以，当λ<0时不成立。
2.向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，则λ（μa）=（λμ）a；
特别地，我们有（-λ）a=-（λa）=λ（-a）。
【思考】
这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？
提示：不能，数乘向量中的λ，μ都是实数，只有λ，μ都是实数时，运算律才成立。
3.向量共线的条件
如果存在实数λ，使得b=λa，则b∥a。
【思考】
“若向量b∥a，则存在实数λ，使得b=λa。”成立吗？
提示：不成立，若a=0，b≠0，则λ不存在。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）3a的方向与a的方向相同，且-2a的方向与a的方向相反。（ ）
（2）4a与-4a的模相等。（ ）
（3）a与-λa的方向相反。（ ）
（4）若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a=λb。（ ）
提示：（1）√。因为3>0，所以3a与a同向。因为-2<0，所以-2a与a反向。
（2）√。因为|4a|=|4||a|，|-4a|=|-4||a|=4|a|，故二者相等。
（3）×。当λ<0时，a与-λa的方向相同。
（4）×。若b=0时不成立。
2.点C在直线AB上，且 ，则 等于（ ）
【解析】选D。如图， ，所以
3.已知|a|=1，|b|=3，若两向量方向相反，则向量a与向量b的关系为b=________a。
【解析】由于|a|=1，|b|=3，则|b|=3|a|，又两向量反向，故b=-3a。答案：-3
类型一 数乘向量的定义
【典例】设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________。
①|-λa|≥|a|；
②a与λ2a方向相同；③|-2λa|=2|λ|·|a|。
【思维·引】根据数乘向量的概念解决。
【解析】当0<λ<1时，|-λa|<|a|，①错误；②③正确。
答案：②③
【内化·悟】
解决数乘向量问题关键应注意哪几点？
提示：应注意两点：方向相同还是相反，模长放大还是缩小。
【类题·通】
数乘向量与原来向量是共线的，其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小。
【习练·破】
若两个非零向量a与（2x-1）a方向相同，则x的取值范围为________。
【解析】由向量数乘定义可知，2x-1>0，即x> 。
答案：x>
【加练·固】
存在两个非零向量a，b，满足b=-3a，则有（ ）
A.a与b方向相同 B.a与b方向相反
C.|a|=|3b| D.|a|=|b|
【解析】选B。因为-3<0，所以a与-3a方向相反。且|-3a|=3|a|，即|b|=3|a|，故选B。
类型二 数乘向量的运算
【典例】下列各式化简正确的是________。
①-3×2a=-5a；
② a×3×（-2）= -3a；
③-2× = 2 ；
④0×b=0。
【思维·引】根据数乘向量的运算律解决。
【解析】因为-3×2a=-6a， a×3×（-2）=-3a，-2×
=-2 =2 ，0×b=0。所以，①④错误，②③正确。
答案：②③
【内化·悟】
数乘向量的运算可以与以前我们学过的什么运算相类比？
提示：可类比数乘单项式运算。
【类题·通】
λa中的实数λ叫做向量a的系数，数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘，作为新向量的系数。
【习练·破】
化简下列各式。
（1）4× a。
（2）-2×
【解析】（1）4×
（2）-2× =3a。
类型三 数乘向量的应用
角度1 判断向量共线
【典例】已知a=2e，b=-4e，判断a，b是否平行，求
的值；若a∥b，说出它们是同向还是反向。
【思维·引】利用数乘向量的定义解决。
【解析】因为b=-4e=-2（2e）=-2a，所以a∥b，且
，即 =1∶2。向量a，b反向。
【素养·探】
本题主要考查向量共线条件的应用，突出考查了数学运算的核心素养。本题若把条件改为“a=2e，b=3e，”其他不变，试求解。
【解析】因为b=3e= a ，所以a∥b，且 即
= 2∶3。向量a，b同向。
角度2 判断三点共线
【典例】已知 =e， =-3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，说出点A是线段BC的几等分点。
【思维·引】利用数乘向量的定义解决。
【解析】因为 =-3e=-3 ，所以 ， 且有公共点B，所以A，B，C三点共线，又因为BC=3AB，且向量
反向，如图，所以点A是线段BC的三等分点。
【类题·通】
数乘向量的应用
（1）如果存在实数λ，使得b=λa，则b∥a。
（2）如果存在实数λ，使得 ，则 ， 且AB与AC有公共点A，所以A，B，C三点共线。
【习练·破】
分别指出下列各题中A，B，C三点是否共线，如果共线，指出线段AB与BC的长度之比。
【解析】（1）因为 ，所以 ，又有公共的
点C，所以A，B，C三点共线，且AB=2BC，即AB∶BC=2∶1。
（2）因为 ，所以 ，又有公共点A，所以A，B，C三点共线，且AB= BC，即AB∶BC=3∶4。
谢 谢