第九单元 数学广角——集合
章节复习巩固
一．选择题
1．（2021 高坪区）六（1）班有30人参加了语文和数学竞赛。其中参加语文竞赛的有20人，参加数学竞赛的有17人，语文、数学竞赛都参加的有（ ）人。
A．37 B．47 C．13 D．7
【思路引导】首先理解参加语文竞赛的人里面包含参加数学竞赛的人，反之参加数学竞赛的人里面包含参加语文竞赛的人，如果两数相加就把参加语文竞赛又参加数学竞赛多算了一次，由容斥原理解决问题即可。
【完整解答】解：20+17﹣30＝7（人）
答：语数竞赛都参加的有7人。
故选：D。
2．（2021秋 新兴县期末）三（1）班订《数学报》和《语文报》，每人至少订一份，有22人订《数学报》，24人订《语文报》，11人两种都订了，三（1）班有（ ）人。
A．57 B．55 C．35
【思路引导】有22人订《数学报》，24人订《语文报》，11人两种都订了，根据容斥原理可知，把订《数学报》和订《语文报》的人数相加，再减去重叠的人数11人即可。
【完整解答】解：22+24﹣11
＝46﹣11
＝35（人）
答：三（1）班有35人。
故选：C。
3．（2021春 沙河市月考）三（1）班每人都参与了向灾区小朋友献爱心活动，有20人捐图书，有15人捐衣物，其中有3人既捐图书又捐衣物。三（1）班一共有（ ）人。
A．35 B．38 C．32
【思路引导】由容斥原理可知：捐衣物的有15人加上捐图书的有20人，就把两样都捐的3人重复多算了一次，再减去3即可得出答案。
【完整解答】解：15+20﹣3
＝35﹣3
＝32（人）
答：三（1）班一共有32人。
故选：C。
4．（2021秋 桓台县期末）四年级一班的同学参加跳绳和踢毽子比赛（每人至少报一项），参加跳绳的有35人，参加踢毽子的有29人。两项都参加的有21人，四年级一班有（ ）人。
A．64 B．43 C．50
【思路引导】根据容斥原理，用跳绳的35人加参加踢毽子的29人，求出和，然后再减去两项都参加的21人（重复计算的人数），就是四年级一班总人数。
【完整解答】解：35+29﹣21
＝64﹣21
＝43（人）
答：参四年级一班有43人。
故选：B。
5．（2021秋 中原区期末）三一班有32人参加了午餐配餐、课后延时服务，其中参加午餐配餐的有25人，参加课后延时的有29人。三一班既参加午餐配餐又参加课后延时服务的有（ ）人。
A．22 B．25 C．32
【思路引导】由题意，用25+29就是只参加午餐配餐的、只参加课后延时的以及两样都参加的人数的2倍，再减两样都参加的总人数，即可解决问题。
【完整解答】解：25+29﹣32
＝54﹣32
＝22（人）
答：三一班既参加午餐配餐又参加课后延时服务的有22人。
故选：A。
二．填空题
6．（2021秋 禅城区期末）302班全体同学喜欢球类运动的情况如下：喜欢足球的有35人，喜欢篮球的有24人，两项都喜欢的有17人，302班共有 42 人，只喜欢足球一个项目的有 18 人。
【思路引导】根据容斥问题公式，用喜欢足球的35人加上喜欢篮球的24人，减去两项都喜欢的有17人，求全班人数；用喜欢足球的人数减去两项都喜欢的人数，就是只喜欢足球的人数。
【完整解答】解：35+24﹣17
＝59﹣17
＝42（人）
35﹣17＝18（人）
答：302班共有42人，只喜欢足球一个项目的有18人。
故答案为：42；18。
7．（2021秋 香坊区期末）40名同学参加兴趣小组，参加合唱小组的有23人，参加舞蹈队的有26人，既参加合唱小组又参加舞蹈队的有 9 人。
【思路引导】根据容斥问题原理，用参加合唱小组的23人，加上参加舞蹈队的26人，减去全班人数，就是参加合唱小组又参加舞蹈队的人数。
【完整解答】解：23+26﹣40
＝49﹣40
＝9（人）
答：既参加合唱小组又参加舞蹈队的有9人。
故答案为：9。
8．（2021秋 邛崃市期末）四（1）班做完数学作业的有32人，做完语文作业的有29人，两种作业都做完的有15人，全班每人至少做完其中的一种作业。四（1）班有学生 46 人。
【思路引导】容斥原理公式：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。四（1）班学生总数＝做完数学作业的+做完语文作业的﹣两种作业都做完的人数；据此列式解答即可。
【完整解答】解：32+29﹣15
＝61﹣15
＝46（人）
答：四（1）班有学生46人。
故答案为：46。
9．（2021秋 阳原县期末）佳美水果店昨天进了苹果、香蕉、菠萝、樱桃4种水果，今天进了梨、菠萝、草莓、芒果和香蕉5种水果，昨天和今天该水果店一共进了 7 种水果。
【思路引导】利用两天进的水果种类和（4+5）去掉重复的2种水果（香蕉、菠萝）即可求得答案。
【完整解答】解：4+5﹣2＝7（种）
答：昨天和今天该水果店一共进了7种水果。
故答案为：7。
10．（2021秋 富裕县期末）三（1）班一共有48名学生，每人至少参加一项阳光体育运动。其中参加跳绳的有27人，参加踢毽子的有26人，两项都参加的有 5 人。
【思路引导】由题意，用26+27就是只参加跳绳的、只参加踢毽子的以及两项都参加的人数的2倍，然后用这个和再减去三（1）班的总人数，即得两项都参加的人数。
【完整解答】解：26+27﹣48
＝53﹣48
＝5（人）
答：两项都参加的有5人。
故答案为：5。
11．（2021秋 德江县期末）东风小学组织同学们参加运动会，三年级参加跳远的有6人，参加跳高的有8人，同时参加这两项运动的有3人。参加这两项运动的有 11 人，只参加跳高的有 5 人。
【思路引导】根据容斥问题公式，用参加跳远的人数加上参加跳高的人数，减去两项都参加的人数，得参加这两项运动的人数；用参加跳高的人数减去两项都参加的人数，得只参加跳高的人数。
【完整解答】解：6+8﹣3＝11（人）
8﹣3＝5（人）
答：参加这两项运动的有11人，只参加跳高的有5人。
故答案为：11，5。
12．（2021秋 德江县期末）同学们去动物园玩，参观猴山的有26人，参观大象馆的有31人，两个馆都参观的有17人，去动物园的一共有 40 人，只参观猴山的有 9 人。
【思路引导】根据容斥问题公式，用参观猴山的人数加上参观大象馆的人数，减去两个馆都参加的人数，就是去动物园的总人数；用参观猴山的人数减去两个馆都参加的人数，就是只参观猴山的人数。
【完整解答】解：26+31﹣17
＝57﹣17
＝40（人）
26﹣17＝9（人）
答：去动物园的一共有40人，只参观猴山的有9人。
故答案为：40，9。
13．（2021秋 磐石市期末）学校运动会上，三（1）班参加跳绳比赛的有12人，参加跑步比赛的有8人，两种比赛都参加的有5人，三（1）班参加比赛的一共有 15 人。
【思路引导】根据“跳绳比赛的有12人，参加跑步比赛的有8人”可得两者的总人数：12+8＝20（人），这其中把两种比赛都参加的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得这两项活动共有：20﹣5＝15（人），据此解答即可。
【完整解答】解：12+8﹣5
＝20﹣5
＝15（人）
答：三（1）班参加比赛的一共有15人。
故答案为：15。
三．判断题
14．（2021春 卢龙县期末）三年级一共有31人参加了舞蹈组或美术组，其中参加舞蹈组的有19人，参加美术组的有24人，两个小组都参加的有12人． √ （判断对错）
【思路引导】根据“参加舞蹈组的有19人，参加美术组的有24人．”可得两者的总人数：19+24＝43人，这其中把两种兴趣小组都参加的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得两种兴趣小组都参加的人数是：43﹣31＝12（人），据此解答即可．
【完整解答】解：19+24﹣31
＝43﹣31
＝12（人）
即两个小组都参加的有12人，所以原题说法正确．
故答案为：√．
15．（2017秋 巴东县期末）同学们到动物园游玩，参观熊猫馆的10人，参观大象馆的8人，两个馆都参观的是3人，去动物园的一共有18人． × （判断对错）
【思路引导】由题意，用10+8就是只参观熊猫馆、只参观大象馆以及两个馆都参观的人数和，再减去重复计算的两个馆都参观的人数，即得去动物园的总人数．
【完整解答】解：10+8﹣3
＝18﹣3
＝15（人）
即去动物园的一共有15人，所以原题说法错误．
故答案为：×．
16．某班每人都至少订阅了一种报纸，其中订阅《英语报》的有18人，订阅《语文报》的有20人，两种报纸都订的有4人，全班一共有38人。 × （判断对错）
【思路引导】由题意，用18加上20就是只订阅《英语报》、只订阅《语文报》以及两样都订阅的人数的2倍，再减去两样都订阅的人数，即得全班的总人数。
【完整解答】解：18+20﹣4
＝38﹣4
＝34（人）
全班一共有34人；所以原题说法错误。
故答案为：×。
17．小明有4种文具，小东有5种文具，那么他们两人一定有9种文具。 × （判断对错）
【思路引导】小明有4种文具，小东有5种文具，可能拥有的文具有重叠部分，据此判断即可。
【完整解答】解：小明有4种文具，小东有5种文具，可能拥有的文具有重叠部分，所以他们两人不一定有9种文具；因此原题说法错误。
故答案为：×。
18．三（1）班订《数学报》的有32人，订《语文报》的有30人，两种报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸。三（1）班共有52人。 √ （判断对错）
【思路引导】先用32加上30求出两者的和，再减去重复计算的10人即可。
【完整解答】解：32+30﹣10
＝62﹣10
＝52（人）
答：三（1）班共有52人。
所以原题说法正确。
故答案为：√。
四．应用题
19．（2021秋 武川县期末）三（1）班有50人，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人？
【思路引导】根据容斥原理一：用做完语文作业的人数加上做完数学作业的人数，再减去总人数50即可。
【完整解答】解：35+40﹣50
＝75﹣50
＝25（人）
答：两种作业都做完的有25人。
20．（2021秋 台前县期末）实验小学三（一）喜欢篮球的有9人，喜欢足球的有15人，两种球都喜欢的有4人。
（1）填写如图；
（2）喜欢足球或喜欢篮球的一共有多少人？
【思路引导】（1）两种球都喜欢的有4人，即重叠部分有4人，那么只喜欢篮球的有9﹣4＝5人，只喜欢足球的有15﹣4＝11人，据此解答即可。
（2）根据总人数＝（A+B）﹣既A又B解答即可。
【完整解答】解：（1）9﹣4＝5（人）
15﹣4＝11（人）
（2）9+15﹣4
＝24﹣4
＝20（人）
答：喜欢足球或喜欢篮球的一共有20人。
21．（2021秋 凉州区期末）三（1）班每人至少订阅了一本杂志，其中有28人订阅了《数学王国》，还有30人订阅了《作文天地》，其中两种书都订阅的有13人。三（1）班一共有多少人？
【思路引导】先计算出订两种杂志的总人数，因为有两种杂志都订的人数重复数了，所以订两种杂志的总人数就比班级实际人数多，即订两种杂志的总人数减去两种杂志都订的人数，就是班级实际的人数。
【完整解答】解：30+28﹣13
＝58﹣13
＝45（人）
答：三（1）班一共有45人。
22．（2021秋 岳麓区校级期末）三（1）班有学生45人，喜欢喜羊羊的有22人，喜欢美羊羊的有28人，既喜欢喜羊羊又喜欢美羊羊的有 5 人。
【思路引导】结合题意，可先求出喜欢喜羊羊、美羊羊的人数和，再用人数和减去全班的人数就是既喜欢喜羊羊又喜欢美羊羊的人数。
【完整解答】解：28+22﹣45
＝50﹣45
＝5（人）
答：既喜欢喜羊羊又喜欢美羊羊的有5人。
故答案为：5。
23．（2021 宁波模拟）某班一次考试有52人参加，共有5道题，每道题做错的人数如下：
题号 1 2 3 4 5
人数 4 6 10 20 39
又知道每人至少做对一道题，做对一道题的有7人，5道题全做对的有6人，做对2道题的人数和3道题的人数一样多，那么做对4道题的有多少人？
【思路引导】首先计算出总共有题52×5＝260（道），这样做对的题有260﹣（4+6+10+20+39）＝181（道）。对2道，3道，4道题的人共有52﹣7﹣6＝39（人），他们共做对181﹣1×7﹣5×6＝144（道），由于对2道和3道题的人数一样多，可以把他们看作是对2.5道题的人，这样结合做对2道、3道题、4道题的题目总数为144道，做对2道、3道题、4道题的人数为39人，最后计算出对4道题的有（144﹣2.5×39）÷（4﹣2.5）＝31（人）。
【完整解答】解：52×5＝260（道）
260﹣（4+6+10+20+39）＝181（道）
52﹣7﹣6＝39（人）
181﹣1×7﹣5×6
＝181﹣7﹣30
＝144（道）
（2+3）÷2＝2.5（道）
（144﹣2.5×39）÷（4﹣2.5）
＝（144﹣97.5）÷1.5
＝46.5÷1.5
＝31（人）
答：做对4道题的有31人。
24．（2021秋 相城区期末）有50个同学参加文化节演出，每人至少参加大合唱和集体舞中的一项。其中有32人表演大合唱，26人表演集体舞，两项都参加的有几人？（画图表示题目意思）
【思路引导】根据“其中有32人表演大合唱，26人表演集体舞，”可得：只参加大合唱的人数是：50﹣26＝24（人），只参加集体舞的人数是：50﹣32＝18（人），两项都参加的有：32﹣24＝8（人），据此解答即可。
【完整解答】解：
50﹣26＝24（人）
50﹣32＝18（人）
32﹣24＝8（人）
答：两项都参加的有8人。
五．解答题
25．（2021秋 雨花区期末）同学们进行跳绳和跑步达标练习，跳绳达标的有24人，跑步达标的有30人，两项都达标的有20人。根据上述信息，填写在图中。
【思路引导】两项都达标的有20人，跳绳达标的有24人，减去20就是只是跳绳达标的人数；同理，跑步达标的有30人，减去20就是只是跑步达标的人数；据此解答即可。
【完整解答】解：24﹣20＝4（人）
30﹣20＝10（人）
26．（2021秋 东城区期末）根据下面统计表，把同学们的名字填在如图所示中合适的位置，再填空。
三（1）班参加兴趣小组情况统计表
音乐组 周丹 李红 朱一 杨兰 马杰
美术组 陈东 朱一 宋军 王丽 杨兰
既参加音乐组又参加美术组的有 2 人。
【思路引导】根据统计表中参加各兴趣小组的名单，完成图示，并结合图示回答问题即可。
【完整解答】解：如图：
答：既参加音乐组又参加美术组的有2人。
故答案为：2。
27．（2021秋 永年区期末）一次数学测验．全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道题．问两道都做对的有几人？
【思路引导】用做对第一道题的人数加上第二道题的人数，然后再减去全班的总人数就是两题都做对的人数．
【完整解答】解：21+18﹣36，
＝39﹣36，
＝3（人）；
答：两道都做对的有3人．
28．（2021秋 涧西区期末）同学们参加义务劳动．周六参加的有：小静、玲玲、丁丁、小红、阿军、大林．周日参加的有：玲玲、小云、豆豆、阿军、小雨．
（1）把名单写到相应的圈里．
（2）既参加周六劳动，又参加周日劳动的有 2 人．
（3）这两天参加义务劳动的一共有 9 人．
【思路引导】（1）只周六参加的写在左侧椭圆中，只周日参加的写在右侧的椭圆中，这两个椭圆重复的部分是既周六参加又周日参加的同学；
（2）根据（1）直接数出即可求解；
（3）把周六参加的人数和周日参加的人数相加，再减去两天都参加的人数即可．
【完整解答】解：（1）如下图：
（2）既参加周六劳动，又参加周日劳动的有2人．
（3）6+5﹣2＝9（人）
答：这两天参加义务劳动的一共有9人．
故答案为：2，9．
29．（2021春 阳信县期末）四年级二班有45人，会下象棋的有21人，会下围棋的有17人，两种棋都不会的有10人．两种棋都会的有多少人？
【思路引导】先求出会下象棋的人数与围棋的人数和，再加上两样都不会下的人数，这样就比全班的总人数多算了一次两种棋都会下的人数，所以再减去总人数45，就是两种棋都会下的人数．
【完整解答】解：21+17+10﹣45
＝48﹣45
＝3（人）
答：两种棋都会下的有3人．
30．（2021秋 丹江口市期末）五年级一班有40人，他们都参加了英语课外兴趣小组或信息技术课小组，已知参加了英语课外小组的有32位同学，参加了信息技术课外小组的有20位同学，那么，两个小组都参加的同学有多少位？
【思路引导】由容斥原理可知：参加了英语课外小组的有32位同学加上参加了信息技术课外小组的有20位同学，再减去40人就是两个小组都参加的同学．
【完整解答】解：32+20﹣40
＝52﹣40
＝12（位）
答：两个小组都参加的同学12位．第九单元 数学广角——集合
章节复习巩固
一．选择题
1．（2021 高坪区）六（1）班有30人参加了语文和数学竞赛。其中参加语文竞赛的有20人，参加数学竞赛的有17人，语文、数学竞赛都参加的有（ ）人。
A．37 B．47 C．13 D．7
2．（2021秋 新兴县期末）三（1）班订《数学报》和《语文报》，每人至少订一份，有22人订《数学报》，24人订《语文报》，11人两种都订了，三（1）班有（ ）人。
A．57 B．55 C．35
3．（2021春 沙河市月考）三（1）班每人都参与了向灾区小朋友献爱心活动，有20人捐图书，有15人捐衣物，其中有3人既捐图书又捐衣物。三（1）班一共有（ ）人。
A．35 B．38 C．32
4．（2021秋 桓台县期末）四年级一班的同学参加跳绳和踢毽子比赛（每人至少报一项），参加跳绳的有35人，参加踢毽子的有29人。两项都参加的有21人，四年级一班有（ ）人。
A．64 B．43 C．50
5．（2021秋 中原区期末）三一班有32人参加了午餐配餐、课后延时服务，其中参加午餐配餐的有25人，参加课后延时的有29人。三一班既参加午餐配餐又参加课后延时服务的有（ ）人。
A．22 B．25 C．32
二．填空题
6．（2021秋 禅城区期末）302班全体同学喜欢球类运动的情况如下：喜欢足球的有35人，喜欢篮球的有24人，两项都喜欢的有17人，302班共有 人，只喜欢足球一个项目的有 人。
7．（2021秋 香坊区期末）40名同学参加兴趣小组，参加合唱小组的有23人，参加舞蹈队的有26人，既参加合唱小组又参加舞蹈队的有 人。
8．（2021秋 邛崃市期末）四（1）班做完数学作业的有32人，做完语文作业的有29人，两种作业都做完的有15人，全班每人至少做完其中的一种作业。四（1）班有学生 人。
9．（2021秋 阳原县期末）佳美水果店昨天进了苹果、香蕉、菠萝、樱桃4种水果，今天进了梨、菠萝、草莓、芒果和香蕉5种水果，昨天和今天该水果店一共进了 种水果。
10．（2021秋 富裕县期末）三（1）班一共有48名学生，每人至少参加一项阳光体育运动。其中参加跳绳的有27人，参加踢毽子的有26人，两项都参加的有 人。
11．（2021秋 德江县期末）东风小学组织同学们参加运动会，三年级参加跳远的有6人，参加跳高的有8人，同时参加这两项运动的有3人。参加这两项运动的有 人，只参加跳高的有 人。
12．（2021秋 德江县期末）同学们去动物园玩，参观猴山的有26人，参观大象馆的有31人，两个馆都参观的有17人，去动物园的一共有 人，只参观猴山的有 人。
13．（2021秋 磐石市期末）学校运动会上，三（1）班参加跳绳比赛的有12人，参加跑步比赛的有8人，两种比赛都参加的有5人，三（1）班参加比赛的一共有 人。
三．判断题
14．（2021春 卢龙县期末）三年级一共有31人参加了舞蹈组或美术组，其中参加舞蹈组的有19人，参加美术组的有24人，两个小组都参加的有12人． （判断对错）
15．（2017秋 巴东县期末）同学们到动物园游玩，参观熊猫馆的10人，参观大象馆的8人，两个馆都参观的是3人，去动物园的一共有18人． （判断对错）
16．某班每人都至少订阅了一种报纸，其中订阅《英语报》的有18人，订阅《语文报》的有20人，两种报纸都订的有4人，全班一共有38人。 （判断对错）
17．小明有4种文具，小东有5种文具，那么他们两人一定有9种文具。 （判断对错）
18．三（1）班订《数学报》的有32人，订《语文报》的有30人，两种报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸。三（1）班共有52人。 （判断对错）
四．应用题
19．（2021秋 武川县期末）三（1）班有50人，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人？
20．（2021秋 台前县期末）实验小学三（一）喜欢篮球的有9人，喜欢足球的有15人，两种球都喜欢的有4人。
（1）填写如图；
（2）喜欢足球或喜欢篮球的一共有多少人？
21．（2021秋 凉州区期末）三（1）班每人至少订阅了一本杂志，其中有28人订阅了《数学王国》，还有30人订阅了《作文天地》，其中两种书都订阅的有13人。三（1）班一共有多少人？
22．（2021秋 岳麓区校级期末）三（1）班有学生45人，喜欢喜羊羊的有22人，喜欢美羊羊的有28人，既喜欢喜羊羊又喜欢美羊羊的有 人。
23．（2021 宁波模拟）某班一次考试有52人参加，共有5道题，每道题做错的人数如下：
题号 1 2 3 4 5
人数 4 6 10 20 39
又知道每人至少做对一道题，做对一道题的有7人，5道题全做对的有6人，做对2道题的人数和3道题的人数一样多，那么做对4道题的有多少人？
24．（2021秋 相城区期末）有50个同学参加文化节演出，每人至少参加大合唱和集体舞中的一项。其中有32人表演大合唱，26人表演集体舞，两项都参加的有几人？（画图表示题目意思）
五．解答题
25．（2021秋 雨花区期末）同学们进行跳绳和跑步达标练习，跳绳达标的有24人，跑步达标的有30人，两项都达标的有20人。根据上述信息，填写在图中。
26．（2021秋 东城区期末）根据下面统计表，把同学们的名字填在如图所示中合适的位置，再填空。
三（1）班参加兴趣小组情况统计表
音乐组 周丹 李红 朱一 杨兰 马杰
美术组 陈东 朱一 宋军 王丽 杨兰
既参加音乐组又参加美术组的有 人。
27．（2021秋 永年区期末）一次数学测验．全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道题．问两道都做对的有几人？
28．（2021秋 涧西区期末）同学们参加义务劳动．周六参加的有：小静、玲玲、丁丁、小红、阿军、大林．周日参加的有：玲玲、小云、豆豆、阿军、小雨．
（1）把名单写到相应的圈里．
（2）既参加周六劳动，又参加周日劳动的有 人．
（3）这两天参加义务劳动的一共有 人．
29．（2021春 阳信县期末）四年级二班有45人，会下象棋的有21人，会下围棋的有17人，两种棋都不会的有10人．两种棋都会的有多少人？
30．（2021秋 丹江口市期末）五年级一班有40人，他们都参加了英语课外兴趣小组或信息技术课小组，已知参加了英语课外小组的有32位同学，参加了信息技术课外小组的有20位同学，那么，两个小组都参加的同学有多少位？
