6.4.3余弦定理 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
6.4.3 余弦定理
一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系，例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系.对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS,SAS,ASA,AAS等判定三角形全等的方法，这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的。
那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？
新课引入
若已知三角形的两边及其夹角，如何求其他的边角呢？下面我们来研究一下这个问题。
C
A
B
a
b
C
A
B
a
b
c
新课引入
我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.
新课引入
在△ABC中，若已知边a，b和它们的夹角C，求第三条边c.
C
A
B
a
b
c
学习新知
余弦定理：
三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方和，减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍.
学习新知
余弦定理的主要作用：
（1）已知两边一角求边；(SAS)
（2）已知三边求角.(SSS)
学习新知
例1. 在△ABC中，已知a= cm，
c= cm，B=45°，解三角形.
步骤：
1.求第三边；（余弦定理）
2.求已知边中较小边所对的角；
3.求第三角（内角和为π）
已知两边及夹角求边；(SAS)
典型例题
巩固练习
例2. 在△ABC中，已知 ，
，求最大角.
已知三边求角.(SSS)
典型例题
已知三角形三边求角，可先用余弦定理求两个角，进而求出第三个角．
【思路点拨】　在三角形中，大边对大角，所以a边所对角最大，然后根据已知三边可用余弦定理求三角．
在△ABC中，已知a＝7,b＝3,c＝5，
求最大角
巩固练习
例3 在△ABC中，角A、B、C的对边分
别为a 、b 、c，若AB AC=BA BC=1.
(1)求证：A=B;
(2)求边长c的值.
(3)若|AB+AC|= ,求△ABC的面积.
典型例题
训练
1．在△ABC中：
(1)已知b＝8,c＝3,A＝60°,求a；
(2)已知a＝20,b＝29,c＝21,求B；
(3)已知a＝3 ,c＝2,B＝150°,求b；
(4)已知a＝2，b＝ 求A
巩固练习
典型例题
典型例题
在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状．
【思路点拨】　利用余弦定理把边与角的关系转化为边与边的关系．
通分整理得：
a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0.
展开整理得(a2－b2)2＝c4.
∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理，知△ABC是直角三角形．
方法总结
判断三角形的形状
判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状．
巩固练习
在△ABC中， bcos A＝acos B ，试判断三角形的形状．
巩固练习
巩固练习
1.余弦定理的主要作用是已知两边一角求边，或已知三边求角，所得结论是唯一的.同时，利用余弦定理也可以实现边角转化.
2.余弦定理及其推论共有六个基本公式，应用时要注意适当选取，有时可结合正弦定理求解.
课堂小结
1．余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量：
(1)已知两边与它们的夹角，可以求得第三边；
(2)已知两边与其中一边的对角，可以代入余弦定理，看成关于另一边的二次方程，从而解得另一边；
(3)已知三角形的三边可以求得三角形的三个角．从这里可以看出，利用余弦定理解三角形时，条件中必须至少知道两边．
课堂小结
2．余弦定理与勾股定理
余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．
(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．
(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．
(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．
课堂小结