6.2平面向量的运算 同步练习（Word版含解析）

必修第二册 6.2 平面向量的运算
一、单选题
1．若非零向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．正的边长为3，M是正所在平面内一点，则最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．下列关于向量，的命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则与夹角是0
4．已知边长为1的正方形，设，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
6．在五边形中（如图），下列运算结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，则( )
A．2 B．4 C． D．
8．已知，，，则（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图所示，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为(　　)
A． B．
C． D．
10．已知菱形中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知平面内M,N,P三点满足,则下列说法正确的是
A．M,N,P是一个三角形的三个顶点 B．M,N,P是一条直线上的三个点
C．M,N,P是平面内的任意三个点 D．以上都不对
12．在中，角所对的边分别为，且点满足，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
13．已知点为所在平面内一点，若动点满足，则点一定经过的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
14．向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为实数0 C．与方向相同 D．
15．在中，，分别是边，上的点，且，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．如图，在△中，，点是线段上的一个动点.，则，满足的等式是___________.
17．已知平面向量，，满足，，，，则___________.
18．已知向量，满足||＝1，||＝2，||＝2，则||＝__．
三、解答题
19．如图,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段的一个靠近点B的三等分点,设.
(1)用向量与表示向量;
(2)若,求证:C,D,E三点共线.
20．如图，已知D，E，F分别为的三边，，的中点，求证：．
21．计算：
（1）；
（2）.
22．已知，且向量与的夹角为，求和；
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
设与的夹角为，进而根据向量数量积的运算律和向量垂直时数量积为0得，进而得答案.
【详解】
解：根据题意，设与的夹角为，则，
若，则，
即，
又由，则，
故选：C．
2．C
首先利用向量的运算法则，转化向量，再利用不等式关系求数量积的最小值.
【详解】
，记，则，连接AN，取AN的中点O，，
，.
故选：C.
关键点点睛：本题考查向量的转化，以及向量数量积，本题的关键是由可知，重点考查转化与化归的思想，计算能力.
3．C
结合平面向量中相等向量的概念，平行向量的概念以及平面向量的夹角的定义逐项分析即可求出结果.
【详解】
因为，但是，的方向不确定，故，不一定相等，故A错误；
因为向量不能比较大小，故B错误；
因为，即，的方向相同，所以，故C正确；
因为，则，的方向相同或相反，所以与夹角是0或，故D错误；
故选：C.
4．B
根据向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质可得答案.
【详解】
因为是边长为1的正方形，，
所以
又，所以
故选：B
5．A
利用向量运算化简已知条件，由此确定正确选项.
【详解】
依题意，
,
，
所以，所以三角形是等腰三角形.
故选：A
6．A
对各选项按向量加法、减法运算法则进行向量加减运算即可判断作答.
【详解】
A，，正确；
B，，不正确；
C，，不正确；
D，， 不正确.
故选：A.
7．B
由求得，再由即可求得答案.
【详解】
∵，
∴，则.
∴，故.
故选：B.
8．A
利用数量积公式求模.
【详解】
，解得：或（舍）
故选：A
9．A
直接利用平面向量运算的三角形法则以及相反向量的定义求解即可.
【详解】
因为＝，所以，
所以＋---＝ ,故选A.
本题主要考查平面向量的运算法则以及相反向量的性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
10．B
根据平面向量基本定理，由题中条件，用和表示出与，再由向量数量积的运算法则，根据题中数据，可直接得出结果.
【详解】
由题，，
所以，，
所以，
在菱形中，，，
则，，，
所以.
故选：B.
思路点睛：
求解平面图形中的向量数量积问题时，一般需要利用已知模与夹角的向量表示出所求向量，再由向量数量积的运算法则，即可求解.
11．C
根据平面向量的线性运算求解证明恒成立即可.
【详解】
因为,
故 对任意情况都成立,所以M,N,P是平面内的任意三个点,
故选：C.
本题主要考查了平面向量的线性运算,属于基础题型.
12．A
利用向量知识可得，两边平方可得，再利用不等式知识可求得结果.
【详解】
因为，所以，所以，
所以，
所以，整理得，
所以，
因为，所以，
所以，解得.
所以的最大值为
故选：A
关键点点睛：将向量条件化为，利用向量数量积的运算律运算得到是解题关键.
13．D
取的中点，由，得，从而可得与共线，得直线与直线重合，进而得结论
【详解】
解：取的中点，则，
因为，
所以，
所以与共线，即直线与直线重合，
所以直线一定过的重心，
故选：D
14．D
根据相反向量的定义，即可判断选项.
【详解】
向量，互为相反向量，则，模相等、方向相反，所以，故A错误；
，故B错误；与方向相反，故C错误；，故D正确.
故选：D.
15．A
根据向量的线性运算直接运算.
【详解】
如图所示：
，
故选：A.
16．
由可得，结合条件知，又B、P、D三点共线即可得，的等量关系
【详解】
∵，有
又，即
∵B、P、D三点共线
∴，即
故答案为：
本题考查了向量的几何应用，结合定比分点--三点共线求参数的等量关系，属于简单题
17．
由题意得，直接平方即得结果.
【详解】
由题，两边同时平方得，，得.
故答案为：.
18．
先将||＝2两边平方，求出，再将||平方，即可求得结论．
【详解】
由题意知：，即，
而，
∴||，
故答案为：．
19．(1),;(2)证明见解析.
（1）根据题意，利用向量的加法与减法的几何意义，得出，，即可用、表示；
（2）由，只需找到与的关系，即可得证.
【详解】
解：(1)∵,,
∴,
.
(2)证明:
,
∴与平行,
又∵与有共同点C,
∴，，三点共线.
本题考查了平面向量的加法与减法的几何意义以及向量共线的应用问题，属于基础题．
20．证明见解析
利用向量加法的三角形法则，在图形中寻找回路，即可证明．
【详解】
由题意知，，，
由题意可知，．
．
21．（1）；（2）.
（1）根据向量的运算法则，展开整理，即可得答案.
（2）根据向量的运算法则，展开整理，即可得答案.
【详解】
（1）
=.
（2）
=
22．1；6
直接利用平面向量数量积的定义与运算法则、性质求解即可.
【详解】
由向量满足，，且与的夹角为，
可得，
，
.
答案第1页，共2页
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