6.1平面向量的概念 同步练习 （Word版含解析）

必修第二册 6.1 平面向量的概念 同步练习
一、单选题
1．下列结论正确的个数是（ ）
①温度含零上和零下，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③向量与不共线，则与都是非零向量；
④若，则.
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
3．已知非零向量与满足且，则的形状是（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．以上均有可能
4．以下选项中，都是向量的是（ ）
A．正弦线、海拔 B．质量、摩擦力
C．△ABC的三边、体积 D．余弦线、速度
5．给出下列命题：
①零向量的长度为零，方向是任意的；
②若，都是单位向量，则；
③若，则或；
则所有正确命题的号是（ ）
A．③ B．① C．①③ D．①②
6．给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．
其中不是向量的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．已知向量，为非零向量，则“向量，的夹角为180°”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
9．如图是的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有
A．12个 B．18个 C．24个 D．36个
10．设M是所在平面上的一点，，D是的中点，，则实数t的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
11．以下命题：①与是否相等与的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量．其中，正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D．若的模为2，的模为3，的模为1，则的模为____.
14．下面几个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若向量满足，则．
其中正确命题的是________
15．在直角中，，为边的中点，为线段上一动点，且满足，则的取值范围为_______________.
16．给出下列命题：
①若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；
②在中，一定有＝；
③若，，则＝；
④若，，则．
其中所有正确命题的序号为________．
17．设点是的外心，，则_______.
三、解答题
18．某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点，最后又改变方向向东走了200m到达D点
（1）作出向量，，(表示200m)；
（2）求的模.
19．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后改变方向，向东行驶了100千米到达D点.作出向量.
20．如图，已知是单位向量，求出图中向量，，，的模.
21．如图，已知D，E，F分别为的三边，，的中点，求证：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
利用向量的基本概念逐一判断即可.
【详解】
①错，温度只有大小，没有方向，是数量不是向量；
②错，的模等于0；
③正确，根据零向量与任何向量共线；
④错，向量不能比较大小.
故选：B
2．B
根据向量相等即模长相等，方向相同，结合中位线性质，即得结果.
【详解】
向量相等即模长相等，方向相同.
依题意，是三角形的中位线，故，，即.
因此与都是和相等的向量．
故选：B.
3．C
和分别表示向量和向量方向上的单位向量，表示平分线所在的直线与垂直，可知为等腰三角形，再由可求出，即得三角形形状。
【详解】
由题的，∵，∴平分线所在的直线与垂直，∴为等腰三角形.又，∴，∴，故为等边三角形.
故选：C
本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。
4．D
根据向量的定义判断．
【详解】
表示三角函数值的正切线、余弦线、正弦线既有大小，又有方向，都是向量．海拔、质量、△ABC的三边和体积均只有大小，没有方向，不是向量．速度既有大小又有方向，是向量，
故选：D．
5．B
根据向量的有关概念逐一判断即可.
【详解】
零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确
单位向量是指长度为1的向量，两个单位向量不一定相等，故②错误
两个向量长度相等，推不出这两个向量相等或者是相反向量，故③错误
故选：B
6．C
既有方向，又有大小的量为向量
【详解】
①质量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨时间只有大小，没有方向，故不是向量，其余均为向量，故共有5个不是向量.
故选：C
7．A
判断命题“若向量，的夹角为180°，则”和命题“若，则向量，的夹角为180°”的真假即可得解.
【详解】
因向量，为非零向量，则当向量，的夹角为180°时，与方向相反，即成立，
当时，与方向相同或者方向相反，即向量，的夹角为0°或者180°，可以不为180°，
所以“向量，的夹角为180°”是“”的充分不必要条件.
故选：A
8．B
在，上分别取单位向量，作，则平分，用表示出代入条件式，用表示出，则可证明，，三点共线，即平分．
【详解】
在，上分别取点，，使得，，
则．
以，为邻边作平行四边形，如图，
则四边形是菱形，且．
为的平分线．
，
即，
．
，，三点共线，即在的平分线上．
同理可得在其他两角的平分线上，
是的内心．
故选：．
本题考查了三角形内心的向量表示，向量的线性运算，属于中档题.
9．C
利用共线向量、模的计算公式、正方形的对角线即可得出.
【详解】
由题意知，每个小正方形的对角线与平行且模为的所在的向量，的格点图中包含12个小正方形，
所以有12条对角线，与平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足.
故选：C.
本题考查了共线向量、模的计算公式、正方形的对角线，考查了理解能力，属于基础题．
10．B
由D是的中点，可得，由于，从而得，所以，可求得t的值.
【详解】
解：因为D是的中点，所以，
又因为，
所以，
所以，
因为，所以，
故选：B
此题考查了向量的平行四边形法则、向量形式的中点坐标公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.
11．C
根据向量的定义、向量模的定义、共线向量的定义、向量的性质逐一判断即可.
【详解】
①:两个向量模是否相等与这两向量的方向无关，故本命题正确；
②：有公共终点的向量，但是当夹角不为零角和夹角时，这两个向量就不是共线向量，故本命题不正确；
③：两个向量不能比较大小，但是它们的模能比较大小，故本命题正确；
④：单位向量只说明向量的模为1，不能说明向量的方向，所以本命题不正确，
故选：C
12．B
根据向量减法和加法的运算，求出运算的结果.
【详解】
依题意，故选B.
本小题主要考查向量的减法运算，考查向量的加法运算，属于基础题.
13．##1.5
作出辅助线，证得△ADE∽△BDC，进而根据相似比即可求出结果.
【详解】
如图，延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.
因为∠ACD=∠BCD=∠AED，
所以||=||.
因为△ADE∽△BDC，
所以，
故||=.
故答案为：.
14．①
对于①，由相等向量的定义判断即可；对于②，若，则可得，而不是向量为零；对于③，当两向量的模相等时，不一定有两个向量相等；对于④，当两共线向量的模相等时，则这两向量相等或是相反向量
【详解】
解：对于①，由相等向量的定义可知，时，则有，所以①正确；
对于②，当时，则有，所以②错误；
对于③，当时，与的方向不一定相同，所以③错误；
对于④，当向量满足时，有或，所以④错误．
故答案为：①
15．.
由数量积的定义把用的余弦表示，由的范围可得结论．
【详解】
如图.∵为中斜边的中点，，∴.∵，
∴，∴.
∵，∴，∴.又在上，
∴，∴.
故答案为：．
本题考查用平面向量的数量积表示向量的模，掌握数量积的定义是解题关键．
16．②③
对于①，由两向量共线可知A、B、C、D四点有可能在同一条直线上；对于②，由平行四边形的对边平行且相等可判断；对于③，由相等向量的定义判断即可；对于④，由于零向量与任何向量都共线，所以当时，不一定成立
【详解】
解：＝，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故①不正确；
在中，，与平行且方向相同，故＝，故②正确；
，则，且与方向相同；，则，且与方向相同，则与长度相等且方向相同，故＝，故③正确；
对于④，当时，与不一定平行，故④不正确．
故答案为：②③
17．
由三角形外心的性质，再结合图形，利用向量的线性运算，转化成跟两组基底向量相关的向量来进行求解
【详解】
设为平面内的一组基底.如图所示，
设为的中点，连接，则.
又∵，
∴
.
考生需熟悉三角形外心一些基本特点。三角形外心为外接圆的圆心，外心到三个顶点的距离相等、外心为各边中垂线的交点。在运用向量基底解决几何问题时，关键是学会将任何一组向量转化成跟基底向量有关的向量进行表示
18．（1）见解析；（2）450m
（1）利用具体方位，用有向线段表示向量；
（2）借助相反向量模相等，得到.
【详解】
（1）根据题意，如图所示.
（2）由题意及（1）可得，四边形为平行四边形,所以.
本题考查具体方位，用有向线段表示向量，向量的平行四边形法则以及相反向量模相等．
19．作图见解析
根据题意画出图形，根据大小和方向作出向量即可.
【详解】
解：记千米，如图所示：
本题考查了数学阅读能力，考查了根据题意画图问题，注意向量的大小和方向是解题的关键.
20．
因为是单位向量，所以图中小正方形的边长为，再根据平面向量模的概念即可得到结果.
【详解】
因为是单位向量，所以图中小正方形的边长为；
所以，
由勾股定理可知，，.
21．证明见解析
利用向量加法的三角形法则，在图形中寻找回路，即可证明．
【详解】
由题意知，，，
由题意可知，．
．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页