6.4平面向量的应用 同步练习（Word版含解析）

必修第二册 6.4 平面向量的应用
一、单选题
1．在中，角的对边分别为，且，，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．的内角、、的对边分别为、、，已知，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，角的对边分别为，已知，且，点满足，，则的面积为
A． B． C． D．
4．平行四边形ABCD满足条件（）·（）=，则平行四边形ABCD为（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．任意平行四边形
5．为测量两塔塔尖之间的距离，某同学建立了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．已知作用在坐标原点的三个力， ，，则作用在原点的合力 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．在四边形中，，且，那么四边形为（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．长方形 D．正方形
8．在中，、、分别为的内角、、的对边，，则角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．在中，，，分别为，，的对边，为的外心，且有，，若，，则（ ）
A．0 B． C．1 D．-2
10．在中，，，且点为的中点，，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
11．在中分别是的对边，，若且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．2
12．在中，D在线段上，且，若，则下列说法错误的是（ ）
A．的面积为8 B．的周长为
C．为钝角三角形 D．
二、填空题
13．三条直线、、两两平行，到的距离为，到的距离为，等边三角形三个顶点分别在这三条直线上，则该三角形的面积为_______.
14．点P是△所在平面上一点，若，则△与△的面积之比是___________.
15．在锐角中，，则角A的大小为___________.
16．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为______.
三、解答题
17．如图，在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求的大小；
（2）若，点、在的异侧，，，求平面四边形面积的最大值.
18．在中，角A，B，C所对的边分别a，b，c，且，
（1）求的值．
（2）若，求的最大值．
19．已知△AOB中，边，令过AB边上一点(异于端点)引边OB的垂线垂足为再由引边OA的垂线垂足为又由引边AB的垂线垂足为设.
（1）求；
（2）证明：；
（3）当重合时，求的面积.
20．在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A的值；
（2）若，，求的周长；
（3）若，求面积的最大值．
21．小明在东方明珠广播电视塔底端的正东方向上的处，沿着与电视塔()垂直的水平马路驾驶机动车行驶，以南偏西60°的方向每小时60千米的速度开了15分钟以后，在点处望见电视塔的底端在东北方向上，设沿途处观察电视塔的仰角，的最大值为60°.
（1）小明开车从处出发到处，几小时后其所在位置观察电视塔的仰角达到最大值60°，约为多少分钟？(分钟保留两位小数)
（2）求东方明珠塔的高度约为多少米.(保留两位小数)
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
利用余弦定理可构造方程直接求得结果.
【详解】
在中，由余弦定理得：，
即，解得：或（舍），.
故选：B.
2．B
先由正弦定理边角互化，计算求得，再根据余弦定理求，最后计算面积.
【详解】
根据正弦定理有，
、、，则，，可得，
由余弦定理可得，则为锐角，所以，，
所以，，解得.
因此，.
故选：B.
方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
3．D
运用正弦定理和余弦定理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面积公式结合求解.
【详解】
由，
可得，即.又，所以．
因为，所以点为的重心，
所以，所以，
两边平方得．
因为，所以，
于是，所以，
的面积为.
因为的面积是面积的倍.故的面积为．
本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相结合求解，属于难度题.
4．B
根据向量的运算性质，求得，得到，即可求解.
【详解】
由，解得，
即，所以四边形为菱形.
故选：B.
本题主要考查了向量的运算性质，以及四边形形状的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．C
先在中求得，中求得，再在中利用余弦定理求即可.
【详解】
依题意，在中，，，
，可得，
则 ，
在中，，，则，
又中，，由余弦定理可得：
则.
故塔尖之间的距离为.
故选：C.
6．A
由题意，根据向量的坐标运算法则，即可求得的坐标，得到答案.
【详解】
由题意，作用在坐标原点的三个力，，，
则，即的坐标为.
故选：A.
7．B
由向量相等可知四边形为平行四边形，由向量模长相等可知邻边长相等，知四边形为菱形.
【详解】
解：，，四边形为平行四边形，
又，平行四边形为菱形.
故选：B.
8．A
由正弦定理将角化边，即可得到，再由余弦定理，即可得到，再利用辅助角公式及基本不等式即可得到，即可得解；
【详解】
解：因为
由正弦定理可得，即，
又由余弦定理可知，
则，
则，即：，
，又，当且仅当时取等号，
∴，，，
故选：A.
解三角形的基本策：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
9．B
设三角形的内角，，所对的边分别为，，，运用三角函数的和角公式和正弦定理、余弦定理，求得，，，再将的两边点乘，，运用向量数量积的定义和性质，可得，的方程组，解方程可得，的值，即可得到所求值．
【详解】
解：设三角形的内角，，所对的边分别为，，，
，，
可得，，
即为，即有，
可得，，
所以，
因为
所以，，
若可得，
即有，
化为，
又可得，
即有，
化为，
解得，，
则，
故选：B．
10．A
利用余弦定理可求的长.
【详解】
∵点为的中点，且，∴，
在中，，，∴，
在中，，，，
由余弦定理得：，
∴，
故选：A．
11．B
由三角形内角和定理及诱导公式可得，，再利用正弦定理，将已知等式中的角化边，可得，然后利用余弦定理，可得的值，最后由三角形的面积公式即可求解．
【详解】
解：在中，由，即，
，
，
，
由正弦定理得，
，，
，
，化简得，
又由余弦定理得，
，即，解得或（舍），
的面积．
故选：B．
12．D
在中用余弦定理求出BC长及，再在中用余弦定理求出AC长，然后对各选项逐一分析计算并判断作答.
【详解】
如图，在中，因，由余弦定理得，
则有，即，而，解得，，
又由余弦定理得，在中，由余弦定理得：
，
显然，的面积，A正确；
的周长为，B正确；
显然AB是最大边，，角为钝角，C正确；
，D不正确.
故选：D
13．或
分两种情况讨论：（1）、在的异侧；（2）、在的异侧.在两种情况下，设等边三角形的顶点、、，设等边三角形的边长为，设与直线的夹角为，根据已知条件建立关于、的等式组，求出的值，由此可求得等边三角形的面积.
【详解】
分以下两种情况讨论：
（1）若、在的异侧，设等边三角形的顶点、、，如下图所示：
过点作直线的垂线分别交直线、于点、，则，，
设等边三角形的边长为，设与直线的夹角为，则也为锐角，
由，解得，
由题意可得，解得，
此时，该三角形的面积为；
（2）若、在的异侧，设等边三角形的顶点、、，如下图所示：
过点作直线的垂线分别交直线、于点、，则，
设等边三角形的边长为，设与直线的夹角为，则也为锐角，
由，解得，
由题意可得，解得，
此时，该三角形的面积为.
综上所述，该等边三角形的面积为或.
故答案为：或.
关键点点睛：本题考查解三角形的实际应用，解题的关键就是选择合适的角，将问题中的边与相应的角用来边角，根据已知条件产生相等关系，结合三角函数相关知识求解.
14．
结合平面向量的线性运算，可推出，从而可知点在边上，且，进而可得，即可得出答案.
【详解】
由题意，，
所以，即.
所以在△中，点在边上，且，
设点到边上的高为,则.
故答案为：.
若，则三点共线，且.
15．
利用余弦定理表示出，把已知等式代入求出的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数.
【详解】
解：由，得，
由余弦定理：，
又因为A为锐角三角形的内角，
所以，
故答案为：.
16．
先利用三角形内角和为，根据可以求出，再由正弦定理求出，即可利用三角形面积公式求出.
【详解】
由题可知，在中，
，
由正弦定理可得，
，
.
故答案：.
本题主要考查利用正弦定理解三角形，需要利用和的正弦公式和三角形面积公式，是高考必考题型.
17．（1）；（2）.
（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得，结合，可求，结合范围，即可求得的值．
（2）由已知利用余弦定理可得，由已知及（1）可知，利用三角形面积公式可求从而可求四边形面积,根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．
【详解】
（1）在中，∵，∴，
∴，
∴
又∵，故，
∴，即．
又∵，∴．
（2）在中，，∴．
又，由（1）可知，∴为等腰直角三角形，
∴，
又∵，∴，
∴当时，四边形的面积有最大值，最大值为．
18．（1）；（2）.
（1）根据诱导公式以及二倍角公式即可求出；
（2）根据题意可知，再利用余弦定理以及基本不等式即可求出的最大值．
【详解】
（1）

．
（2）∵，
所以，即，当且仅当时取等号，故的最大值为．
19．（1）； （2）证明见解析；（3）.
（1）根据平面向量的模长公式和数量积的运算公式，即可求解；
（2）利用余弦定理，求得，然后求出，从而得到，即可得到结论；
（3）根据向量的夹角公式，求得和，从而求得和的值，当重合时，，求得，最后根据三角形的面积公式和，即可求解.
【详解】
（1）在中，因为，且，
可得，
则，所以.
（2）由（1）与已知，可得，
由余弦定理可得，
又因为，则，
则，所以.
（3）由已知可得，
因为，所以，
，
因为
，
所以，
当重合时，，解得，解得，
此时，
所以，
可得，
所以.
解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法：
（1）坐标法，把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决；
（2）基向量法，选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则 运算律和性质求解.
20．（1）;（2）20;（3）.
（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得，可求得角A的值；
（2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出，即可求得周长；
（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值；
【详解】
（1）,
,
,
,;
（2）
，
在中利用余弦定理得：，
，的周长为：；
（3），，，
，
，
，
，等号成立当且仅当，
面积的最大值为.
本题考查三角恒等变换、正余弦定理在解三角形中的应用，求解时注意选择边化成角或者角化成边的思路.
21．（1）分钟；（2）米.
（1）由题知，在中，千米，由正弦定理求出，且当时，最大，算出长，即可得时间；
（2）由（1）知当时，最大为，，计算即得结果.
【详解】
（1）由题知，在中，千米，
所以由正弦定理得，，所以，
在直角中，，因为不变，所以当时，最小，此时最大，故，所以分钟；
（2）由（1）知当时，最大为，此时，
所以千米，
故东方明珠塔的高度约为米.
关键点睛：本题的关键是能够推得当时，仰角最大.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页