8.1基本立体图 形同步练习（Word版含解析）

必修第二册 8.1 基本立体图形 同步练习
一、单选题
1．下列说法正确的有（ ）
①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；
④圆锥的轴截面是等腰三角形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（ ）
A．2 B．1 C．高 D．考
3．1859年，英国作家约翰·泰勒（John Taylor，1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用了黄金数（）．泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的形状为正四棱锥，每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，已知金字塔型正四棱锥的底面边长约为656英尺，顶点P在底面上的投影为底面的中心O，H为线段BC的中点，根据以上信息，的长度（单位：英尺）约为（ ）
A．302.7 B．405.4 C．530.7 D．1061.4
4．圆锥的高为1，体积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
5．已知圆台形水泥花盆的盆口与盆底的直径分别为、（边缘忽不计），母线长为，则该花盆的高为（ ）
A． B． C． D．
6．已知某圆锥轴截面的顶角为，过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，则该圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
7．正三棱锥底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
8．下面四个几何体中，是棱台的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正四棱柱中，底面边长，高，为棱的中点．设、、，则、、之间的关系正确的是（ ）．
A． B． C． D．
10．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示，观察以下四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A．①是棱台 B．②是圆台
C．③是棱锥 D．④不是棱柱
12．如图所示的组合体，其结构特征是（ ）
A．左边是三棱台，右边是圆柱 B．左边是三棱柱，右边是圆柱
C．左边是三棱台，右边是长方体 D．左边是三棱柱，右边是长方体
二、填空题
13．已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则△的面积的取值范围为_______
14．若一个圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则此圆锥的高为___________.
15．如图，在底面边长为4，高为6的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为_____________.
16．如图，三个半径都是的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，则碗的半径是___________.
17．某圆柱的侧面展开图是面积为16的正方形，则该圆柱一个底面的面积为___________.
三、解答题
18．已知球O是正三棱锥的外接球，，，点E在线段BD上，且，过点E作球O的截面，求所得截面圆面积的取值范围．
19．如图，把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它们两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，在这四个球之间有一个小球和这四个球都外切，求这个小球的半径．
20．如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台的上、下底面的面积之比为，截去的小圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长.
21．如图所示，圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为6.求轴截面相对顶点A、C在圆台侧面上的最短距离.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
根据棱台、球、正方体、圆锥的几何性质，分析判断，即可得答案.
【详解】
①中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱延长线会交于一点，所以①不正确；
②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以②不正确；
③中底面不一定是正方形，所以③不正确；
④中圆锥的母线长相等，所以轴截面是等腰三角形，所以④是正确的.
故选：A
2．C
将展开图还原为正方体，结合图形即可得解；
【详解】
解：将展开图还原成正方体可知，“0”在正方体中所在的面的对面上的是“高”，
故选:C.
3．C
结合已知条件，利用勾股定理列方程，化简求得的长度.
【详解】
设，，，由已知得，
又由勾股定理，故，即，
因此可求得，则．
故选：C
4．A
首先根据题意，确定出圆锥的底面圆半径和母线长，从而确定出轴截面的顶角，结合三角形的面积公式可确定其为直角三角形时面积最大.
【详解】
圆锥的高为1，体积为，则底面圆的半径为，母线长为2，
轴截面的顶角为，
当截面为直角三角形时，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积最大，
最大值为，
故选：A．
关键点点睛：该题考查的是有关过圆锥定点截面面积的最值问题，正确解题的关键是要明确圆锥轴截面顶角的大小以及三角形面积公式.
5．B
取圆台的轴截面，利用勾股定理可求得结果.
【详解】
设花盆的盆口与盆底的半径分别为、，母线长与高分别为、，
则，，，.
故选：B.
6．A
由题可求圆锥的母线长为2，结合条件即求.
【详解】
如图，由题可知，，
又过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，
∴，即，
在中，.
故选：A.
7．A
根据条件，可计算正三棱锥的斜高，利用侧面积公式计算即可求出.
【详解】
因为底面正三角形中高为，其重心到顶点距离为，且棱锥高，所以利用直角三角形勾股定理可得侧棱长为，斜高为，所以侧面积为.选A.
本题主要考查了正三棱锥的性质，侧面积公式，属于中档题.
8．C
根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征，观察可得答案.
【详解】
A项中的几何体是棱柱．
B项中的几何体是棱锥；
D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；
C项中的几何体是由一个棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥剩余的部分，符合棱台的定义，是棱台．
故选：C
9．B
求出、、的大小即可求解.
【详解】
由题意可得，
连接，则为等边三角形，所以，
连接，则，
，
取的中点，
连接，则，,
所以，
所以，即，
所以.
故选：B
10．B
根据题意可知，该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，即可判断出选项B正确．
【详解】
如图所示：
因为三棱锥的各棱长均相等，所以该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，
即可知过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是．
故选：B．
11．C
根据棱台、圆台、棱柱、棱锥的几何结构特征判断即可.
【详解】
图①中的几何体不是由棱锥截来的，且上、下底面不是相似的图形，所以①不是棱台；
图②中的几何体上、下两个面不平行，所以②不是圆台；
图③中的几何体是棱锥；
图④中的几何体前、后两个面平行，其他面是平行四边形，
且每相邻两个平行四边形的公共边平行，所以④是棱柱.
故选：C.
本题主要考查了棱台、圆台、棱柱、棱锥的判断，属于基础题.
12．D
由已知图形，结合棱柱定义，即可得出结论.
【详解】
根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体.
故选:D.
本题考查几何体的识别，掌握定义是解题的关键，属于基础题.
13．．
讨论在下底面圆周上的位置，确定不同位置上的变化情况及其最值点，进而确定△的面积的范围.
【详解】
如图1，上底面圆心记为，下底面圆心记为，
连结，过点作，垂足为点，则，又为定值2，故的大小随着的长短变化而变化，
如图2所示，当点与点重合时，，此时取得最大值为；
如图3所示，当点与点重合，取最小值2，此时取得最小值为．
综上所述，的取值范围为．
故答案为：．
14．
根据侧面展开图是半径为3的半圆，得到母线长和底面半径求解.
【详解】
设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，
因为侧面展开图是半径为3的半圆，
所以母线长为l=3，，
解得 ，
所以此圆锥的高为，
故答案为：
15．
结合图形，由题意可知大球的半径为，设小球的半径为，利用已知条件，结合勾股定理，推出结果即可．
【详解】
解：由题意可知大球的半径为，设小球的半径为，
如图，设大圆的圆心为O，小圆的圆心为C，E为小圆与上底面的切点，作交于点D，
由题意可知，，，，
所以，即，，
解得，
故答案为：．
16．##
设三个小球的球心、、在上底面圆（碗口所在的截面圆）所在平面内的射影分别为、、，可知几何体为正三棱柱，且该正三棱柱的底面边长为，高为，求出的长，利用两球相切可求得碗的半径.
【详解】
设三个小球的球心、、在上底面圆（碗口所在的截面圆）所在平面内的射影分别为、、，如下图所示：
则几何体为正三棱柱，且该正三棱柱的底面边长为，高为，
则，
设半球面的半径为，因为球与球内切，
则，所以，.
因此，碗的半径为.
故答案为：.
17．
根据圆柱侧面积公式，结合侧面展开图的性质，求得圆柱底面圆的周长，求得结果.
【详解】
因为圆柱的侧面展开图是边长为16的正方形，
所以该圆柱的底面圆的周长为其展开图正方形的边长为4，
因此半径为，
故该圆柱一个底面的面积为．
故答案为：.
关键点点睛：该题考查的是有关圆柱的问题，正确解题的关键是要明确圆柱侧面展开图的特征以及相关公式.
18．
作平面BCD，为垂足，是正的中心，求出，再求得外接球半径，中，求出，从而可得，过E作球O的截面中，面积最大的是过球心O的截面，最小的是垂直于OE的截面．由截面圆性质求得圆半径得面积．
【详解】
如图，作平面BCD，为垂足，平面，则，是正的中心，由得，又由，
所以，
显然过E作球O的截面中，面积最大的是过球心O的截面，最小的是垂直于OE的截面．
设三棱锥的外接球半径为R，由得，解得．
所以截面面积最大为．
如图，，
中，，
所以．
所以垂直于OE的截面圆的半径r满足．
所以，即截面圆的最小面积为．
因此，截面圆面积的取值范围是．
19．．
把4个球的球心，构造出一个正四面体，根据正四面体的外接球半径减去一个球的半径，就是小球的半径.
【详解】
由题意可知:连接四个球的球心，得到一个棱长为2的正四面体,设正四面体为PABC，
设四面体PABC的外接球球心为O,半径为R,
设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，PD⊥底面ABC，且PO＝R，
棱长为2，所以AD＝，
所以，
在中，,
,即:
解得:R＝．
与4个球都相切的小球的球心也在O处，所以小球的半径
20．9cm
由圆锥平行于底面的截面的性质求解．
【详解】
解：设圆台的母线长为，由圆台的上、下底面的面积之比为，可设圆台的上、下底面半径分别为，.
过旋转作截面，如图所示，
则，所以.
又，所以，解得，
即圆台的母线长为9cm.
本题考查圆锥的性质，掌握圆锥平行于底面的性质是解题关键．圆锥平行于底面的截面与底面的面积比等于截得小圆锥的高与原圆锥高的平方比．
21．.
沿母线剪开将圆台侧面展开，则A、C在圆台侧面上的最短距离即为展开图中线段的长求解.
【详解】
如图所示：
沿母线剪开将圆台侧面展开，问题转化为求展开图中线段的长.
设圆台的上底面、下底面半径分别为、，因为侧面展开图圆心角，
，且B、C分别为所在弧的中点，
所以在等腰三角形中，，
则是等边三角形，
因为，
所以，而，C为的中点，
所以，
即A、C两点在圆台侧面上的最短距离为.
答案第1页，共2页
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