4.3等比数列 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 4.3等比数列 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 584.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-13 03:31:16 | ||
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文档简介
选择性必修第二册 4.3等比数列 同步练习
一、单选题
1．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．某人于2020年6月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2021年6月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的6月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行定期储蓄的年利率r不变，则到2025年6月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
3．已知等比数列满足，且，则（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
4．已知数列满足，，则数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则下列条件能使数列成等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
6．在数列中，，数列是以3为公比的等比数列，则等于（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
7．中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见首日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，恰好走了天到达目的地，则该人第一天走的路程为（ ）
A．里 B．里
C．里 D．里
8．设等比数列的公比为，前项和为.若，，且，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．在等比数列中，已知，则公比q=（ ）
A． B． C． D．
10．在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为
A．2 B． C．3 D．
11．已知数列中满足，，若前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是（ ）
A．2008 B．2014 C．2021 D．2022
12．设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知等比数列{an}的首项为1，公比为2，则a12+a22+ +an2＝（ ）
A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．
14．已知是正项等比数列的前项和，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．已知数列中，，则下列关于的说法正确的是（ ）
A．一定为等差数列 B．一定为等比数列
C．可能为等差数列，但不会为等比数列 D．可能为等比数列，但不会为等差数列
二、填空题
16．各项均为正数的等比数列，其公比，且，请写出一个符合条件的通项公式______.
17．若数列满足，则称为“追梦数列”.已知数列为“追梦数列”，且，则数列的通项公式__________.
18．已知数列的前项和为，且，，则数列的通项公式为________.
三、解答题
19．已知数列满足，且.
（1）若数列满足，求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
20．已知数列的前项和，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
21．为了加强城市环保建设，某市计划用若干年时间更换5000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型两种车型．今年年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车300辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入辆．市政府根据人大代表的建议，要求5年内完成全部更换，求的最小值．
22．等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
先根据，，成等差数列以及单调递减，求出公比，再由即可求出，
再根据等比数列通项公式以及前项和公式即可求出.
【详解】
解：由，，成等差数列，
得：，
设的公比为，则，
解得：或，
又单调递减，
，
，
解得：，
数列的通项公式为：，
.
故选：C．
2．D
根据从2021年6月1日起，将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，即求解.
【详解】
设此人2020年6月1日存入银行的钱为元，2021年6月1日存入银行的钱为元，以此类推，
则2025年6月1日存入银行的钱为元，那么此人2025年6月1日从银行取出的钱有元．
由题意，得，，，……，
，
所以．
故选：D．
3．A
先由题意求出公比，再根据等比数列的通项公式即可求出的值
【详解】
等比数列满足，且，
则，
解得，
，
故选．
本题考查了等比数列的通项公式，考查了运算求解能力，属于基础题.
4．B
利用倒数法求出数列的通项公式，进而利用裂项相消法可求得.
【详解】
已知数列满足，，
在等式两边同时取倒数得，，
所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，则，，
，
因此，.
故选：B.
使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
5．C
根据函数关系，逐个讨论，分别求出各个数列的通项公式，即可得解.
【详解】
由，
令，可得：，
故对A，有，非等比数列；
对B，，非等比数列；
对C，，为等比数列；
对D，，非等比数列.
故选：C.
本题考查了函数变量和自变量之间的关系，考查了等比数列的通项特征，整体难度不大，属于中档题.
6．B
由等比数列通项公式得到，再结合对数运算得到结果．
【详解】
∵数列中，数列是以3为公比的等比数列
，
故选：B
7．C
建立等比数列的模型，由等比数列的前项和公式求解．
【详解】
记第天走的路程为里，则是等比数列，，
，．
故选：C．
8．B
先利用条件求出公比的值，然后利用等比数列求和公式以及可求出正整数的值.
【详解】
因为，
所以，得到，
因为，所以.
由，得，又，
所以，
因为，则，
所以，解得，
故选：B
9．D
由等比数列的通项公式列出方程组求解即可.
【详解】
由，解得
故选：D
10．A
由等差中项的性质可得，又为等比数列，所以，化简整理可求出q的值．
【详解】
由题意知，又为正项等比数列，所以，且，所以，
所以或（舍），故选A
本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项的性质，及等比数列的通项公式是解题的关键，属基础题．
11．B
由题设条件可得，即是以4为首项，为公比的等比数列，可求得，分析可得关于单调递增，结合选项分析可得解
【详解】
由题意，
，又
是以4为首项，为公比的等比数列
记的前n项之和为
由于单调递增，单调递减，故关于单调递增
由于
，由于
故满足不等式的最小整数n是2014
故选：B
12．A
设数列和的前项和分别为，然后利用分求出，再利用列方程，由对应项的系数相等可求出结果
【详解】
设数列和的前项和分别为，则
（），
若，则，则，显然没有出现，所以，
所以，
由两边的对应项相等可得，
解得，
所以.
故选：A
13．D
根据等比数列定义，求出，可证明是以1为首项，4为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式，可得解
【详解】
由等比数列的定义，
故
由于
故是以1为首项，4为公比的等比数列
a12+a22+ +an2＝
故选：D
14．D
设正项等比数列的公比为，把已知式用表示后求得的范围，然后利用计算出，换元后易得最小值．
【详解】
设正项等比数列的公比为，有，有，由，有，，，令，有（当且仅当时取等号）.
故选：D．
关键点点睛：本题考查系数的前项和，解题关键是求得公比的取值范围，然后利用基本不等式求得最小值．解题中注意用表示．
15．C
由给定条件探求可得，再按是否为0分析数列的特性即可判断作答.
【详解】
因，则，即，
若，则，，数列为等差数列，
若，则数列为首项为，公比为4的等比数列，有，
当时，，显然不满足上式，即数列从第二项起，后面的项组成等比数列，
所以数列可能为等差数列，但不会为等比数列.
故选：C
16．（只要为正项等比数列（不为常数列）且即可）
根据等比数列的性质，可得，根据，不妨令，根据等比数列通项公式，即可得答案.
【详解】
因为为正项等比数列，所以，
所以，又，不妨令，
所以.
故答案为：（只要为正项等比数列（不为常数列）且即可）
17．##
根据题意，由“追梦数列”的定义可得“追梦数列”是公比为的等比数列，进而可得若数列为“追梦数列”，则为公比为3的等比数列，进而由等比数列的通项公式可得答案．
【详解】
根据题意，“追梦数列”满足，即，则数列是公比为的等比数列.
若数列为“追梦数列”，则.
故答案为：.
18．
由，两式相减，结合，得出数列是等比数列，即可得出其通项公式.
【详解】
由，两式相减得
又，解得
数列是等比数列
故答案为
本题主要考查了求等比数列的通项公式，属于中档题.
19．（1）；（2）.
（1）依题意可得是公差为1的等差数列，即可求出的通项公式，再用累加法求出数列的通项公式；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法计算可得；
【详解】
（1）由知数列是公差为1的等差数列
故，所以，
所以
所以
所以
所以
又满足上式，所以；
（2）由（1）可得
所以①；
②；
①②得，
所以
所以
20．（1）；（2）.
（1）当时，由有，两式相减即得解；
（2）由（1）有，利用错位相减法对数列求和.
【详解】
（1）当时，由有，所以，
当时，由有，
所以，整理得，
所以数列是以1为首项为公比的等比数列，所以；
（2）由（1）有，
所以，①
①得，②
①得，
所以.
方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据已知条件灵活选择合适的方法求解.
21．182．
先从题中找到等差数列的首项和公差，再找到等比数列的首项和公比，再套等差数列的求和公式以及等比数列的求和公式得到5年后的数量和,解不等式,求解即可.
【详解】
解：依题意知，电力型公交车的数量组成首项为128，公比为的等比数列，混合动力型公交车的数量组成首项为300，公差为的等差数列，则5年后的数量和为，
所以，即，解得，
因为5年内更换公交车的总和不小于5000，所以的最小值为182．
22．（1）或 .
（2）.
【详解】
分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．
详解：（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上，．
点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．某人于2020年6月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2021年6月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的6月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行定期储蓄的年利率r不变，则到2025年6月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
3．已知等比数列满足，且，则（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
4．已知数列满足，，则数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则下列条件能使数列成等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
6．在数列中，，数列是以3为公比的等比数列，则等于（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
7．中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见首日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，恰好走了天到达目的地，则该人第一天走的路程为（ ）
A．里 B．里
C．里 D．里
8．设等比数列的公比为，前项和为.若，，且，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．在等比数列中，已知，则公比q=（ ）
A． B． C． D．
10．在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为
A．2 B． C．3 D．
11．已知数列中满足，，若前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是（ ）
A．2008 B．2014 C．2021 D．2022
12．设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知等比数列{an}的首项为1，公比为2，则a12+a22+ +an2＝（ ）
A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．
14．已知是正项等比数列的前项和，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．已知数列中，，则下列关于的说法正确的是（ ）
A．一定为等差数列 B．一定为等比数列
C．可能为等差数列，但不会为等比数列 D．可能为等比数列，但不会为等差数列
二、填空题
16．各项均为正数的等比数列，其公比，且，请写出一个符合条件的通项公式______.
17．若数列满足，则称为“追梦数列”.已知数列为“追梦数列”，且，则数列的通项公式__________.
18．已知数列的前项和为，且，，则数列的通项公式为________.
三、解答题
19．已知数列满足，且.
（1）若数列满足，求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
20．已知数列的前项和，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
21．为了加强城市环保建设，某市计划用若干年时间更换5000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型两种车型．今年年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车300辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入辆．市政府根据人大代表的建议，要求5年内完成全部更换，求的最小值．
22．等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
先根据，，成等差数列以及单调递减，求出公比，再由即可求出，
再根据等比数列通项公式以及前项和公式即可求出.
【详解】
解：由，，成等差数列，
得：，
设的公比为，则，
解得：或，
又单调递减，
，
，
解得：，
数列的通项公式为：，
.
故选：C．
2．D
根据从2021年6月1日起，将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，即求解.
【详解】
设此人2020年6月1日存入银行的钱为元，2021年6月1日存入银行的钱为元，以此类推，
则2025年6月1日存入银行的钱为元，那么此人2025年6月1日从银行取出的钱有元．
由题意，得，，，……，
，
所以．
故选：D．
3．A
先由题意求出公比，再根据等比数列的通项公式即可求出的值
【详解】
等比数列满足，且，
则，
解得，
，
故选．
本题考查了等比数列的通项公式，考查了运算求解能力，属于基础题.
4．B
利用倒数法求出数列的通项公式，进而利用裂项相消法可求得.
【详解】
已知数列满足，，
在等式两边同时取倒数得，，
所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，则，，
，
因此，.
故选：B.
使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
5．C
根据函数关系，逐个讨论，分别求出各个数列的通项公式，即可得解.
【详解】
由，
令，可得：，
故对A，有，非等比数列；
对B，，非等比数列；
对C，，为等比数列；
对D，，非等比数列.
故选：C.
本题考查了函数变量和自变量之间的关系，考查了等比数列的通项特征，整体难度不大，属于中档题.
6．B
由等比数列通项公式得到，再结合对数运算得到结果．
【详解】
∵数列中，数列是以3为公比的等比数列
，
故选：B
7．C
建立等比数列的模型，由等比数列的前项和公式求解．
【详解】
记第天走的路程为里，则是等比数列，，
，．
故选：C．
8．B
先利用条件求出公比的值，然后利用等比数列求和公式以及可求出正整数的值.
【详解】
因为，
所以，得到，
因为，所以.
由，得，又，
所以，
因为，则，
所以，解得，
故选：B
9．D
由等比数列的通项公式列出方程组求解即可.
【详解】
由，解得
故选：D
10．A
由等差中项的性质可得，又为等比数列，所以，化简整理可求出q的值．
【详解】
由题意知，又为正项等比数列，所以，且，所以，
所以或（舍），故选A
本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项的性质，及等比数列的通项公式是解题的关键，属基础题．
11．B
由题设条件可得，即是以4为首项，为公比的等比数列，可求得，分析可得关于单调递增，结合选项分析可得解
【详解】
由题意，
，又
是以4为首项，为公比的等比数列
记的前n项之和为
由于单调递增，单调递减，故关于单调递增
由于
，由于
故满足不等式的最小整数n是2014
故选：B
12．A
设数列和的前项和分别为，然后利用分求出，再利用列方程，由对应项的系数相等可求出结果
【详解】
设数列和的前项和分别为，则
（），
若，则，则，显然没有出现，所以，
所以，
由两边的对应项相等可得，
解得，
所以.
故选：A
13．D
根据等比数列定义，求出，可证明是以1为首项，4为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式，可得解
【详解】
由等比数列的定义，
故
由于
故是以1为首项，4为公比的等比数列
a12+a22+ +an2＝
故选：D
14．D
设正项等比数列的公比为，把已知式用表示后求得的范围，然后利用计算出，换元后易得最小值．
【详解】
设正项等比数列的公比为，有，有，由，有，，，令，有（当且仅当时取等号）.
故选：D．
关键点点睛：本题考查系数的前项和，解题关键是求得公比的取值范围，然后利用基本不等式求得最小值．解题中注意用表示．
15．C
由给定条件探求可得，再按是否为0分析数列的特性即可判断作答.
【详解】
因，则，即，
若，则，，数列为等差数列，
若，则数列为首项为，公比为4的等比数列，有，
当时，，显然不满足上式，即数列从第二项起，后面的项组成等比数列，
所以数列可能为等差数列，但不会为等比数列.
故选：C
16．（只要为正项等比数列（不为常数列）且即可）
根据等比数列的性质，可得，根据，不妨令，根据等比数列通项公式，即可得答案.
【详解】
因为为正项等比数列，所以，
所以，又，不妨令，
所以.
故答案为：（只要为正项等比数列（不为常数列）且即可）
17．##
根据题意，由“追梦数列”的定义可得“追梦数列”是公比为的等比数列，进而可得若数列为“追梦数列”，则为公比为3的等比数列，进而由等比数列的通项公式可得答案．
【详解】
根据题意，“追梦数列”满足，即，则数列是公比为的等比数列.
若数列为“追梦数列”，则.
故答案为：.
18．
由，两式相减，结合，得出数列是等比数列，即可得出其通项公式.
【详解】
由，两式相减得
又，解得
数列是等比数列
故答案为
本题主要考查了求等比数列的通项公式，属于中档题.
19．（1）；（2）.
（1）依题意可得是公差为1的等差数列，即可求出的通项公式，再用累加法求出数列的通项公式；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法计算可得；
【详解】
（1）由知数列是公差为1的等差数列
故，所以，
所以
所以
所以
所以
又满足上式，所以；
（2）由（1）可得
所以①；
②；
①②得，
所以
所以
20．（1）；（2）.
（1）当时，由有，两式相减即得解；
（2）由（1）有，利用错位相减法对数列求和.
【详解】
（1）当时，由有，所以，
当时，由有，
所以，整理得，
所以数列是以1为首项为公比的等比数列，所以；
（2）由（1）有，
所以，①
①得，②
①得，
所以.
方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据已知条件灵活选择合适的方法求解.
21．182．
先从题中找到等差数列的首项和公差，再找到等比数列的首项和公比，再套等差数列的求和公式以及等比数列的求和公式得到5年后的数量和,解不等式,求解即可.
【详解】
解：依题意知，电力型公交车的数量组成首项为128，公比为的等比数列，混合动力型公交车的数量组成首项为300，公差为的等差数列，则5年后的数量和为，
所以，即，解得，
因为5年内更换公交车的总和不小于5000，所以的最小值为182．
22．（1）或 .
（2）.
【详解】
分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．
详解：（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上，．
点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页