5.2导数的运算 同步练习（Word版含解析）

选择性必修第二册 5.2导数的运算
一、单选题
1．已知函数的导函数，且满足，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．-12
2．函数的导数为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数的斜率等于的切线有（ ）
A．条 B．条
C．条 D．不确定
4．已知函数的导函数为，若，则
A．4 B．2 C．1 D．
5．曲线的一条切线的斜率为1，则该切线的方程为( )
A． B． C． D．
6．设函数是的导数，经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足，已知函数，则（ ）
A．2021 B． C．2022 D．
7．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，其中为函数的导数，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数的导函数为，记，
．若，则（ ）
A． B． C． D．
11．若，则等于（ ）
A． B．0 C． D．6
12．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知函数，则函数在处的切线方程______
14．函数的导函数为，若，则___________.
15．已知直线是曲线的一条切线，则________.
16．已知，，若，则________.
17．已知是函数的导函数，则______________.
三、解答题
18．已知函数.
（1）求导函数；
（2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值.
19．已知函数，，，若函数的最小值为（为自然对数的底数）．
（1）求实数的值；
（2）方程在有解，求的取值范围．
20．在①，；②，的图像在点处的切线斜率为1；③的图像在点处的切线方程为这三个条件中任选一个，补充在横线上，并求解.
已知函数，且___________.
(1)求，的值；
(2)求的图像在点处的切线方程及切线与直线，轴围成图形的面积.
21．求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）
（4）.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
将看出常数利用导数的运算法则求出，令求出代入，令求出即可．
【详解】
解：，
，
故选．
本题主要考查了导数的运算法则，解题的关键是弄清是常数，属于基础题．
2．B
由导数运算法则可求出.
【详解】
，
.
故选：B.
3．B
由导数几何意义可构造方程求得切点个数，由此可得结果.
【详解】
，设切点为，，解得：，
在点和点处有斜率等于的切线，满足题意切线有条.
故选：B.
4．B
根据题意求得，再根据即可求得.
【详解】
解：由题意知：.
因为，所以，解得.
故选：B.
本题主要考查导数的运算，考查学生的计算能力，属于基础题.
5．C
由给定函数求导，结合斜率值，求出切点坐标，写出切线方程.
【详解】
由题得，设切点为，
则，而，则，
令，则，
0，f(x)在上单调递增，则，
所以方程只有一个实根，代入原函数得，
故切点为切线斜率为，所以切线方程为.
故选：C.
求超越方程的零点，一般是构造函数，利用函数单调性，借助观察比对的思路解决.
6．B
通过条件，先确定函数图象的对称中心点，进而根据对称性求出函数值的和.
【详解】
由，可得，，令，得，又，所以对称中心为，所以，…，，.
所以．
故选：B.
7．C
求出导数后，把 x=e代入，即可求解.
【详解】
因为，所以，解得．
故选：C．
8．A
利用导数的运算法则求出导函数，令即可求解.
【详解】
由，
则，
所以.
故选：A
9．B
将函数解析式变形为，求得，进而可求得所求代数式的值.
【详解】
，
所以，，
，函数的定义域为，
，
所以，函数为偶函数，
因此，.
故选：B.
结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：
（1）可导的奇函数的导函数为偶函数；
（2）可导的偶函数的导函数为奇函数.
在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.
10．D
通过计算、、、、，可得、、、，最后计算可得结果.
【详解】
解：，
则，
，
，
，
，
所以猜想：，
，
，
，
由，，
所以，
，
，
故选：D．
本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，属于中档题.
11．D
求出函数导数，可得出，即可求出答案.
【详解】
∵，∴，∴，
∴，∴.
故选：D.
12．C
根据导数的运算法则求解．
【详解】
．
故选：C．
13．
求出函数的导数，继而求得切线的斜率，由此可得切线方程.
【详解】
,,
则，故，
所以函数在处的切线方程为 ，即，
故答案为：
14．
先求导，代入即得解
【详解】
∵，
∴，
∴
故答案为：
15．4
设切点为，根据导数的几何意义可求斜率，即可求出，代入切线方程即可求解.
【详解】
设，切点为，
因为，
所以，解得，
所以，
故切点为，又切点在切线上，
故.
故答案为：4
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于容易题.
16．##0.5
对与求导后代入题干中的条件，列出方程，求出x的值.
【详解】
函数的导数公式可知，，
由得，即，解得.
故答案为：
17．8
求出导函数，从而可得出答案.
【详解】
解：因为，所以，所以.
故答案为：8.
18．（1）；（2），.
(1)利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则直接求导；
(2)利用切点与切线及曲线的关系，再借助导数的几何意义即可计算得解.
【详解】
（1）由，
得；
（2）因为切点既在曲线上，又在切线上，
于是将代入切线方程，得，又，则，解得，
而切线的斜率为，即，又，则，解得，
所以，.
19．（1）；（2）；
（1）求导然后分类讨论与两种情况，求出最小值即可计算的值；（2）参变分离将等式转化为，设，然后求导判断单调性，求解最值，即可得的取值范围.
【详解】
（1），当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时函数有最大值，与题意不符；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，可得；
（2）在有解，即在有解，即在有解，设，恒成立，所以在上单调递增，，所以，得，
所以的取值范围为.
（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，关键是分离参数，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
（2）若可导函数在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为 （或）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
20．(1)
(2)
（1）选①，由，联立即可求出答案；
选②，由，联立即可求出答案；
选③，，联立即可求出答案；
（2）求出的图像在点处的切线方程即可求出面积.
(1)
∵，∴.
（1）选①，由，解得.
选②，由，解得.
选③，∵函数的图像在点处的切线方程为，
∴，∴，解得.
(2)
由（1）得了，，∴，，
∴的图像在点处的切线方程为，即.
当时，，当时，，
∴切线与直线，轴围成图形的面积为.
21．（1）；（2）且；（3）；（4）
根据导数求导的基本公式和运算法则，一一计算即可.
【详解】
（1），
.
（2）.
（3），
.
（4）
.
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