第五章一元函数的导数及其应用 单元练习（Word版含解析）

选择性必修第二册 第五章一元函数的导数及其应用
一、单选题
1．已知函数的图像在处的切线斜率为，则“”是 “”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则等于（ ）
A．11 B．10 C．8 D．1
4．与直线平行的曲线的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数f（x）=alnx+bx2的图象在点（1，f（1））处的切线方程为5x+y﹣2=0，则a+b的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．函数在上是（ ）
A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不确定
8．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．函数的图象在点处的切线斜率为（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．
10．已知函数，，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．，e） D．
11．对于函数图象上的任意一点，都存在另外一点，使得函数的图象在这两个不同点处的切线互相平行，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，则“”是“有极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．已知函数，若存在，，使得，则的取值范围是______.
14．定义在上的函数满足：有成立且，则不等式的解集为__________．
15．已知定义在上的函数，其导函数为，满足，，则不等式的解集为__________.
16．已知函数，若，则实数的值为______．
三、解答题
17．1.已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)已知，若函数与图像有两个交点，求a的取值范围.
18．一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？
19．已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
20．已知曲线C：与直线相切，
（1）求a的值；
（2）已知点及点，从点A观察点B，若观察的视线不被曲线C挡住，求实数b的取值范围．
21．已知，其中．
（1）若在处取得极值，求实数a的值；
（2）若在上单调递增，求实数a的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
本题首先可根据得出，然后求解，得出，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，，
若，则，解得，
故“”是 “”的充要条件，
故选：A.
2．C
先求出函数的定义域，然后对函数求导，使导函数大于零，解不等式可得答案
【详解】
函数的定义域为；，
，
当时，函数单调递增，解得，
所以函数的单调递增区间是.
故选：C
此题考查导数的应用，利用导数求函数的单调区间，属于基础题.
3．A
求导得，则，解得的值，代入即可求得结果.
【详解】
，求导得，
则，解得，
故，
，
故选：A.
4．D
对函数求导，由可求得切点的坐标，进而可求得所求切线的方程.
【详解】
设为切点，则切线的斜率为，解得，
所以切点的坐标为.
故切线方程为，即，
故选：D.
本题考查利用导数求解函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.
5．A
求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值，再由题意列关于a和b的方程组，求解可得a与b的值，则答案可求.
【详解】
解：由f（x）=alnx+bx2，得2bx，
∵函数f（x）=alnx+bx2的图象在点（1，f（1））处的切线方程为5x+y﹣2=0，
∴，解得.
∴a+b=﹣2.
故选：A.
6．C
根据导数的运算法则求解．
【详解】
．
故选：C．
7．A
利用导数直接判断函数的单调性.
【详解】
∵，∴在上恒成立，
∴在上是增函数．
故选：A
8．D
求出函数在时值的集合， 函数在时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.
【详解】
当时，在上单调递增，，，则在上值的集合是，
当时，，，
当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
，，则在上值的集合为，
因函数的值域为，于是得，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
9．D
首先求出函数的导函数，再代入求值即可；
【详解】
解：因为，所以，.
故选：D
10．D
由已知得，令，求导，然后分和来研究函数的取值大于零的情况.
【详解】
由已知，得，
令，
则，可得，
（1）当时，，在上单调递增，
，成立；
（2）当时，令，则
令，则，
在上单调递增，
①当时，
在上单调递增，
在上单调递增，，成立；
②当时，，，
，
当，在上单调递减，
即在上单调递减，
此时有，在上单调递减，
，矛盾；
综上.
故选：D.
11．C
将问题等价于对于导函数值域中任意的值，至少有两个不同的解，令，结合二次函数、一次函数、三角函数和反比例函数的性质可确定的解的个数，由此可得结果.
【详解】
函数具有性质，等价于对于导函数值域中任意的值，至少有两个不同的解．令，
对于A，，当，即时，有唯一解，不合题意，A错误；
对于B，，令，解得：，即有唯一解，不合题意，B错误；
对于C，，当时，令，即有无数个解，符合题意，C正确；
对于D，，当时，令，解得：，即有唯一解，不合题意，D错误.
故选；C.
12．B
求导函数，判断导函数的符号，确定有极值时的范围即可.
【详解】
，，．
若，则恒成立，
为增函数，无极值；
若，即，则有两个极值．
所以“”是“有极值”的必要不充分条件．
故选:B
13．
由，得到，再研究函数的单调性，得到，将表示出来，然后利用换元法转化为二次函数求最值即可.
【详解】
，，，
，，
当时，，，
由得，由得，所以在上递减，在上递增，
在处取得最小值，，
，
令，则，
当时，取得最小值，当时，取得最大值0，
所以的取值范围是.
故答案为：
关键点点睛：本题考查利用导函数研究函数的最值，令，将转化为关于t的二次函数，根据二次函数求最值是解题的关键，考查学生分析试题能力与转化化归能力，属于较难题.
14．
由，判断出函数的单调性，利用单调性解即可
【详解】
设
,又有成立，
函数，即是上的增函数．
，，即,
，
故答案为：．
15．
构造函数，利用导数分析得出函数在上为增函数，然后得出或，解这两个不等式组即可得解.
【详解】
构造函数，则，即函数在上为增函数，
且.
①当时，由可得，即，
即，可得，解得，此时；
②当时，由可得，即.
即，可得，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为.
故答案为：.
思路点睛：利用导数不等式求解函数不等式，思路如下：
（1）根据导数不等式的结构构造原函数；
（2）分析原函数的奇偶性，并利用导数分析出函数的单调性；
（3）将所求不等式变形为或（偶函数）；
（4）利用函数的单调性可得出关于、的不等式进行求解.
16．或
对分段函数求导，由已知分区间求参数的值.
【详解】
，故，
∴或，解得或．
故答案为：或
17．(1)若时，为递增区间，为递减区间；
若时，，为递增区间，为递减区间；
若时，为递增区间，无递减区间；
若时，，为递增区间，为递减区间.
(2)
（1）求定义域，求导，对分类讨论，求单调区间；（2）参变分离，然后对新函数求导，研究新函数的单调性，极值，得出a的取值范围
(1)
定义域为：，
①若时，
当，，递增；，，递减.
②若时，则，
当，，递增；当，，递减；
当，，递增.
③若时，则，时，递增.
④若时，，
当，，递增；当，，递减；
当，，递增.
综上所述：若时，为递增区间，为递减区间；
若时，，为递增区间，为递减区间；
若时，为递增区间，无递减区间；
若时，，为递增区间，为递减区间.
(2)
由得，
即，即，
所以，
令，问题等价为直线与函数的图像有两个交点.
，
令，显然在递增，，
即时，，递增；
当时，，递减，
故极大，
当时，，
当时，取，，
故符合题意的必要条件是：.
又当，由，
而，
这说明，在两个交点的横坐标位于区间和内，
所以是充分的.
故符合题意的必要条件是：.
用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
18．20
设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，可求p＝0.006v3，由题可得航行1海里所需的费用总和为q=(0.006v3+96)=0.006v2+，再用导数求函数最值即可.
【详解】
设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，
那么由题设的比例关系得p＝k·v3，其中k为比例系数，
由题知v＝10时，p＝6，
∴k==0.006，
则p＝0.006v3，
又设当船的速度为每小时v海里时，航行1海里所需的总费用为q元，
那么每小时所需的总费用是0.006v3+96(元)，而航行1海里所需时间为小时，所以航行1海里的总费用为q=(0.006v3+96)=0.006v2+.
q′=0.012v-=(v3-8000),
令q′=0,解得v=20，
因为当v＜20时，q′＜0，当v＞20时，q′＞0，
所以当v＝20时，q取得最小值，
即速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用总和最小.
19．（Ⅰ），（Ⅱ）.
（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；
（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.
【详解】
（Ⅰ）因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程为：，即.
（Ⅱ）[方法一]：导数法
显然，因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，
所以，
不妨设时，结果一样，
则，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，
也是最小值为.
[方法二]【最优解】：换元加导数法
．
因为为偶函数，不妨设，，
令，则．
令，则面积为，只需求出的最小值．
．
因为，所以令，得．
随着a的变化，的变化情况如下表：
a
0
减 极小值 增
所以．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法三]：多元均值不等式法
同方法二，只需求出的最小值．
令，
当且仅当，即时取等号．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法四]：两次使用基本不等式法
同方法一得到
,下同方法一.
【整体点评】
（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.
20．（1）；（2）．
（1）设切点为，利用导数求出切线斜率，根据斜率相等求解即可；
（2）设过A与曲线相切的直线切点为,根据导数的几何意义求出切线斜率，再由两点求切线斜率，解方程求出切点坐标，得到切线方程即可.
【详解】
（1）设切点为，
∵当时，
，
∴．①
又点在曲线C与直线上，∴，②
由①②得．
（2）在曲线C：上取一点，
由（1）知，当时，．
当以D为切点的切线过点A时，令，解得，此时，，直线AD的方程为．
若观察的视线不被曲线C挡住，则点B在直线AD的右下方，
∴，即实数b的取值范围是．
21．（1）；（2）．
(1) ,由,求出a的值,再验证结论即可;
(2) 由题意可得在上恒成立，利用三角函数的性质求出在上的最值即可.
【详解】
（1），
由，可得，所以，
经检验，满足题意．
（2）因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立．
令，，
则，
因为，所以，
所以，所以．
所以实数a的取值范围为．
答案第1页，共2页
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