6.3二项式定理 同步练习（Word版含解析）

选择性必修第三册 6.3二项式定理 同步练习
一、单选题
1．的展开式中的系数为
A． B． C．64 D．-128
2．若，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为（ ）．
A．-14 B．-13 C．1 D．2
4．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
A．152 B．126 C．90 D．54
5．已知等差数列的第5项是展开式中的常数项，则（ ）
A．20 B． C．40 D．
6．展开式中常数项为（ ）
A． B．0 C．15 D．80
7．在二项式（x﹣2y）6的展开式中，设二项式系数和为A，各项系数和为B，x的奇次幂项的系数和为C，则＝（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
8．若对于任意的实数，有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．对任意实数，有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．10 D．20
11．若，则（ ）
A．20 B． C．15 D．
12．在的展开式中，的系数是（ ）
A．20 B． C． D．
二、填空题
13．展开式中的系数为，则___________.
14．已知，若.则实数___________.
15．若多项式，则_______．
16．已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是______.
三、解答题
17．已知的展开式中所有项的二项式系数之和为1024.
（1）求展开式的所有有理项（指数为整数）；
（2）求的展开式中项的系数．
18．（1）求展开式中含的项；
（2）求展开式中的常数项．
19．已知在的展开式中，第6项为常数项.
（1）求n；
（2）求展开式中所有的有理项.
20．已知的展开式中的所有二项式系数之和为32．
（1）求的值；
（2）求展开式中的系数．
21．已知展开式的二项式系数和为512，且．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求被6整除的余数．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
先求得展开式的通项公式，再令x的次数为3求解.
【详解】
展开式的通项公式为，
令，则，
所以的展开式中的系数为.
故选：D
2．B
令可得：，
令可得：，相加即可得解.
【详解】
令可得：，
令可得：，
两式相加可得：，
所以，
故选：B
3．B
首先利用二项式系数公式求，再将展开成，再分别求常数项.
【详解】
由条件可知，，所以，
则，其中常数项分为两部分，的常数项是，的常数项是中含项的系数，，所以常数项是.
故选：B
4．B
【详解】
试题分析：根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．
解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33=18种；
②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；
1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；
2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；
由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，
故选B．
考点：排列、组合的实际应用．
5．D
根据二项式定理求得展开式中的常数项，然后由等差数列的性质可得结论．
【详解】
由二项式定理，展开式中的常数项是，
即，因为是等差数列，所以．
故选：D．
6．B
由的通项得出展开式中常数项.
【详解】
的通项为
当时，；当时，
则展开式中常数项为
故选：B
7．A
根据二项式的性质求得A，用特值法可求得B， C，再计算即可
【详解】
在二项式（x﹣2y）6的展开式中，二项式系数和A＝26＝64，
令x＝y＝1，得各项系数和B＝（﹣1）6＝1，
令f（x）＝（x﹣2）6，得x的奇次幂项的系数和C＝＝＝﹣364，
所以＝﹣＝﹣．
故选：A．
8．B
由，由二项式展开式的通项公式即可求解.
【详解】
，所以.
故选：B
9．A
由，根据二项式定理可得特定项系数.
【详解】
因为，所以，
故选：A.
10．C
求出的展开式的通项，令即可求出.
【详解】
可得的展开式的通项为，
令，即可得出的系数为.
故选：C.
11．B
先将写成，然后根据展开式的通项求解出项的系数即为.
【详解】
因为，所以展开式的通项为，
令，则，所以，
故选：B.
12．D
根据，转化为求的展开式和的系数，求出通项即可得到答案.
【详解】
，
的展开式的通项是，
令，则，则的展开式中的系数为，
令，则，则的展开式中的系数为，
故展开式中的系数是.
故选：D.
本题考查二项展开式中指定项系数的求解，属于基础题.
13．
写出展开式中的通项，令的指数为，结合已知条件可求得实数的值.
【详解】
的展开式通项为，
令，可得，所以，，解得.
故答案为：.
14．1
令，可得，然后结合条件可得，即得.
【详解】
令，则，
由条件可得，又，
∴，
解得.
故答案为：.
15．29
在中令，则.
方法一：构造，求出的系数即为，即可求解.
方法二：对原式二次导数，令即可求出，即可求解.
【详解】
方法一：
令则，，
所以
方法二：
令则，
，令，则，．
16．1215
根据已知条件，利用赋值法求出的值，然后写出展开式的通项公式，进而得该二项展开式的常数项.
【详解】
∵二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，
∴令，得，.
的展开式的通项公式为，
令，可得，
的展开式的常数项为.
故答案为：1215.
17．（1）所有有理项为和；（2）164.
（1）写出通项并化简，进而讨论x的指数为整数的情况，最后得到答案；
（2）写出每一项中x2项的系数并求和，进而通过组合数的性质得到答案.
【详解】
（1）由题意得，2n＝1 024，∴n＝10，
∴展开式的通项为，
由或k=6，
所以有理项为.
（2）由，
∴x2项的系数为
18．（1）；（2）
先根据二项式定理求得展开式的通项公式，再让的指数符合要求即可求得结论.
【详解】
（1）展开式的通式为
令得
（2）展开式的通式为
令得，
展开式中的常数项为：
19．（1）. （2）展开式中的有理项为：，，
【详解】
试题分析：（1）
故.
（2）设展开式中的有理项为
n则，故r =2，5，8
展开式中的有理项为：
，
点评：运用二项展开式的通项公式求特定项，特定项系数、常数项、有理项等，通常是先根据已知条件，再求，有时还需先求，再求，才能求出.
20．（1）；（2）5．
（1）由所有二项式系数之和为32，可得，从而可求出的值；
（2）由（1）可得二项展开式的通项为，然后令，求出的值，从而可求出答案
【详解】
解：（1）由题意可得，，解得；
（2），
二项展开式的通项为．
由，得．
∴展开式中的系数为．
21．(1)，（2）2，（3）5
（1）根据二项式定理，由展开式的二项式系数和为512，可求出，再将代入中，变形可得，则为其展开式中的系数，由二项式定理可得答案；
（2）由（1）的结论，用赋值法，在中令，可求得的值，令，可得的值，从而可得答案；
（3）根据题意，可得，变形可得，由二项式定理展开式可得，进而由整除的性质分析可得答案
【详解】
解：（1）因为展开式的二项式系数和为512，
所以，解得，
因为，所以，
（2）在中，令，则，
令，可得，
所以
（3）
，
，
因为（）能被6整除，而，即被6整除余数为5，
所以被6整除的余数为5
易错点睛：此题考查二项定理的运用，易错点为在（3）中，对求余数，根据，即被6整除余数为5，考查计算能力，属于中档题
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页