7.3离散型随机变量的数字特征 同步练习（Word版含解析）

选择性必修第三册 7.3离散型随机变量的数字特征
一、单选题
1．小明参加某项测试，该测试一共3道试题，每道试题做对得5分，做错得0分，没有中间分，小明答对第1，2题的概率都是，答对第3题的概率是，则小明答完这3道题的得分期望为（ ）
A． B． C． D．
2．甲、乙两名射手一次射击得分(分别用X1，X2表示)的分布列如下：
甲得分：
X1 1 2 3
P 0.4 0.1 0.5
乙得分：
X2 1 2 3
P 0.1 0.6 0.3
则甲、乙两人的射击技术相比（ ）A．甲更好
B．乙更好
C．甲、乙一样好
D．不可比较
3．已知甲、乙两人进行五局球赛，甲每局获胜的概率是，且各局的胜负相互独立，已知 甲胜一局的奖金为10元，设甲所获得的资金总额为X元，则甲所获得奖金总额的方差（ ）
A．120 B．240 C．360 D．480
4．已知甲、乙两个盒子中分别装有两种大小相同的动物玩具，甲盒中有2只熊猫，1只狗；乙盒中有1只熊猫，2只狗.现从甲乙两个盒中各取走一个动物玩具，再从甲乙两个盒子中各取走一个动物玩具.此时记甲盒中的熊猫只数为，乙盒中的熊猫只数为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．已知随机变量X的分布列如下：
0 1 3
若随机变量Y满足，则Y的方差（ ）A． B． C． D．
6．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则
A．， B．，
C．， D．，
7．袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，依次从中有放回地摸球，每次摸出一个，累计2次摸到红球即停止．记3次之内（含3次）摸到红球的次数为，则随机变量的数学期望（ ）
A． B． C． D．
8．设，随机变量的分布列如表所示，随机变量满足，则当在上增大时，关于的表述，下列正确的是（ ）
-2 -1 0
A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
9．已知随机变量满足，且为正数，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．某车站每天上午发出两班客车，每班客车的发车时刻和发车概率如下：
第一班车：在8:00，8:20，8:40发车的概率分别为，，；
第二班车：在9:00，9:20，9:40发车的概率分别为，，.
假设这两班客车在什么时刻发车是相互独立的，一位旅客8:10到达车站乘车，则该旅客候车的分钟数的数学期望为（ ）
A．30 B．35 C．40 D．25
11．设，随机变量的分布列是
0 1 2
若，则（ ）A． B．
C． D．
12．袋中有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知随机变量X的分布列如下：
0 1 3
若随机变量Y满足，则Y的方差___________.
14．已知随机变量服从两点分布，且，设，那么________．
15．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示．若，则的值为__________．
-1 0 1 2
16．已知样本 … 的平均数与方差分别是1和4，且样本 … 的平均数与方差分别是1和16，则___________.
17．一个袋中共有5个大小形状完全相同的红球、白球和黑球，其中红球有1个.每次从袋中拿一个小球，不放回，拿出红球即停.记拿出的黑球个数为，且，则随机变量的数学期望______.
三、解答题
18．出于“健康 养生”的生活理念.某地的炊具有限公司的传统手工泥模工艺铸造的平底铁锅一直受到全国各地消费者的青睐.炊具有限公司下辖甲 乙两个车间，甲车间利用传统手工泥模工艺铸造型双耳平底锅，乙车间利用传统手工泥模工艺铸造型双耳平底锅，每一口双耳平底锅按照综合质量指标值(取值范围为划分为：综合质量指标值不低于70为合格品，低于70为不合格品.质检部门随机抽取这两种平底锅各100口，对它们的综合质量指标值进行测量，由测量结果得到如下的频率分布直方图：
将此样本的频率估计为总体的概率.生产一口型双耳平底锅，若是合格品可盈利40元，若是不合格品则亏损10元；生产一口型双耳平底锅，若是合格品可盈利50元，若是不合格品则亏损20元.
（1）记为生产一口T型双耳平底锅和一口型双耳平底锅所得的总利润，求随机变量的数学期望；
（2）炊具有限公司生产的和型双耳平底锅共计1000口，并且两种型号获得的利润相等，若将两种型号的合格品再按质量综合指标值分成3个等级，其中为三级品，为二级品，为一级品，试判断生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中哪种型号的一级品多？请说明理由.
19．自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：
20以下 70以上
使用人数 3 12 17 6 4 2 0
未使用人数 0 0 3 14 36 3 0
（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；
（Ⅱ）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；
（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
20．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入 （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为年平均收入，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入不低于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每位农民的年收入互相独立，这1 000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为ξ，求E（ξ）．
附参考数据：≈2.63，
若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ21．某公司全年圆满完成预定的生产任务，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定在联欢晚会后，拟通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有4种面值的奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．
(1)若箱子中所装的4种面值的奖券中有1张面值为80元，其余3张均为40元，试比较员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率的大小；
(2)公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4种面值的奖券有两种方案：第一方案是2张面值20元和2张面值100元；第二方案是2张面值40元和2张面值80元．为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
设小明的得分为，则的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可得到得分的分布列，从而求出数学期望；
【详解】
解：设小明的得分为，则的可能取值为、、、，
所以，，
，；
所以小明得分的分布列为：
0 5 10 15
所以小明答完这3道题的得分期望为，
故选：C.
2．B
分别求两个随机变量的数学期望，再比较.
【详解】
因为E(X1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E(X2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E(X2)>E(X1)，故乙的射击技术更好.
故选：B
3．A
设甲获胜的局数为，则，然后由方差的性质和二项分布的知识可得答案.
【详解】
设甲获胜的局数为，则
所以
故选：A
4．B
根据题意可得，，再分别求出，的分布列，分别求出，的期望和方差，从而得到答案.
【详解】
根据题意可得，
,
所以的分布列为：
0 1
,
所以的分布列为：
0 1
则 ,
所以，
故选：B
本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望、方差，属于中档题.
5．D
先根据离散型随机变量分布列概率和为“1”的性质求出的值，然后计算的期望值和方差，最后利用公式，则求出的值.
【详解】
由题意可知，，则，
则，
又，
所以．
故选：D
方法点睛：分布列的概率和为1，利用概率和为1先求出里面参数的值或关系.
6．B
分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.
【详解】
可能的取值为；可能的取值为，
，，，
故，.
，，
故，,
故，.故选B.
离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.
7．A
首先得到随机变量的取值，再分别写出概率，再根据期望公式计算
【详解】
由题意可得的取值为0，1，2，
，，
，
所以数学期望.
故选：A
本题考查独立重复事件及其随机变量的分布列和数学期望，重点考查读题分析能力，属于基础题型，本题的易错点是忽是两种情况.
8．A
由分布列的性质求得，再求、关于的表达式，由及得到关于的二次函数，即可判断的单调性.
【详解】
由分布列的性质：，可得，
∴，，
∴，
又，
∴在上增大时，增大.
故选：A
9．C
根据题中条件，由方差的性质列出方程求解，即可得出结果.
【详解】
由方差的性质可得，，
因为，所以，
又a为正数，所以．
故选：C.
本题主要考查由方差的性质求参数，属于基础题型.
10．A
列举的取值范围，根据独立事件的概率公式求解，结合数学期望公式即可求解．
【详解】
设该旅客候车的分钟数为，
则的取值范围为{10，30，50，70，90}，
，，
，，
，
所以的分布列为
10 30 50 70 90
P
故，
即该旅客候车的分钟数的数学期望为30．
故选：A.
11．B
直接根据分布列、期望、方差的定义列方程组，即可求出a、b、c.
【详解】
由分布列可知：.
，
，即
所以联立方程组得：，解得：
故选：B
在离散型随机变量的分布列中，概率和为1.
12．B
利用随机变量的定义求解.
【详解】
因为取到白球时停止，
所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球；
最多次数是7次，即把所有的黑球取完之后才取到白球．
所以取球次数可以是1，2，3， ，7．
故选：B．
13．9
先根据分布列的性质，即概率和为1，求出的值，再分别计算出的数学期望与方差，然后根据，利用即可求出．
【详解】
由分布列的性质可知，，所以，
所以数学期望，
方差，
因为，所以，
故答案为：9．
14．
先求出，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解.
【详解】
，
故答案为：
本题考查两点分布的期望和期望的性质，属于基础题.
15．
根据题目条件中给出的分布列，可以知道、、和之间的关系，根据期望为0和方差
是1，又可以得到两组关系，这样得到方程组，解方程组得到要求的值．
【详解】
由题知，，
由题得，
，．
则．
故选．
本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，通过关系列出方程组，本题的运算量
不大，解题时要认真．
16．5
依据随机变量的均值和方差的性质列方程组即可求得，进而求得的值.
【详解】
因为样本、、、…、的平均数与方差分别是1和4，
样本、、、…、的平均数与方差是1和16，
所以，又，解得，.
所以.
故答案为：5
17．##1.5##
先通过求出黑球的个数，进而求出的可能取值及相应的概率，求出数学期望.
【详解】
设白球n个，显然
若，则符合：
若，则，
∴，∴黑球有3个
，因为,所以，
∴
故答案为：
18．（1）数学期望：；（2）生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中型号的一级品多，理由见解析.
（1）根据频率直方图分别计算两车间生产一件相应产品为合格品的频率，并作为概率的估计值，然后利用独立事件同时发生的概率和互斥事件概率公式求得随机变量X的分布列，根据期望的定义计算期望值；
（2）先根据已知条件，设未知数列方程组求得这1000口锅中T型可L型平底锅的口数，然后根据直方图用频率估计各车间相应产品的一等品概率，进而求得每种型号的双耳平底锅的口数，即可做出正确判断.
【详解】
解：（1）根据频率分布直方图，
甲车间生产的一口T型双耳平底锅为合格品的概率为
；
乙车间生产的一口L型双耳平底锅为合格品的概率为
.
随机变量的所有取值为90，40，20，-30，则
；；
；.
所以.
（2）生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中型号的一级品多，理由如下：
设生产的这1000口双耳平底锅中型的有口，型的有口，则生产口型双耳平底锅的利润为，
生产口型双耳平底锅的利润为.
由，即，又，
解得，.
由于型双耳平底锅一级品的概率为0.08，型双耳平底锅一级品的概率为0.06，
所以型双耳平底锅一级品的估计值等于，
型双耳平底锅一级品的估计值等于，
因此生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中型号的一级品多.
本题考查随机变量的分布列和期望的计算，涉及频率直方图，独立事件同时发生的概率，和概率的应用，是中等难度题目.利用频率直方图中的频率估计各车间相应产品的合格率，进而利用互斥和对立事件概率公式求得分布列是该题的重点难点所在.
19．；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200
（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；
（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；
（Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．
【详解】
（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，
所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为．
（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，
,
,
.
所以的分布列为
1 2 3
所以的数学期望为.
（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，
使用自由购的共有人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为.
本题考查统计表，随机变量X的分布列及数学期望，以及古典概型，是一道综合题．
20．(1)17.40千元
(2)①14.77千元；②977.3
（1）根据直方图，平均值=（频数 组距） 组距 数据区间中点值即可；
（2）根据正态分布函数X与 之间的关系可以计算出最低年收入，由于农民收入是相互独立的，可以看作是n次独立实验，即服从二项分布，可以算出 的数学期望.
(1)
＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40（千元），
故估计50位农民的年平均收入为17.40千元；
(2)
由题意知X～N（17.40，6.92），
①P（X≥μ－σ）＝0.5＋ ≈0.841 4，
所以μ－σ≈17.40－2.63＝14.77时，满足题意，
即最低年收入大约为14.77千元；
②由P（X≥12.14）＝P（X≥μ－2σ）＝0.5＋ ≈0.977 3，
每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.977 3，
则ξ～B（1 000，p），其中p＝0.977 3，
所以E（ξ）＝1 000×0.977 3＝977.3；
综上，=17.40（千元），最低年收入大约为14.77千元，E（ξ）＝977.3
21．(1)员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等
(2)应选择第二种方案；理由见解析
(1)根据超几何分布求出员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率即可；
(2)根据题意可知有两种方案、，分别求出对应的分布列，进而求出对应的数学期望和方差，从而得出结论.
(1)
用X表示员工所获得的奖励额．
因为，，
所以，
故员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等．
(2)
第一种方案为，
设员工所获得的奖励额为，则的分布列为
40 120 200
P
所以的数学期望为，
的方差为；
第二种方案为，
设员工所获得的奖励额为，则的分布列为
80 120 160
P
所以的数学期望为，
的方差为，
又因为（元），
所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，
故应选择第二种方案．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页