7.5正态分布 同步练习（Word版含解析）

选择性必修第三册 7.5 正态分布 同步练习
一、单选题
1．正态分布概念是由德国数学家和天文学家在1733年首先提出，由于德国数学家高斯率先把其应用于天文学研究，故我们把正态分布又称作高斯分布，早期的天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据；对这些数据进行分析发现这些数据变量近似服从，若，则
A． B． C． D．
2．某校团委决定举办“鉴史知来”读书活动，经过选拔，共10名同学的作品被选为优秀作品，其中高一年级5名同学，高二年级5名同学，现从这10个优秀作品中随机抽7个，则高二年级5名同学的作品全被抽出的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温的误差X服从正态分布，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温的误差在区间内的概率为（ ）（附：若随机变量X服从正态分布，则，）
A．0.3174 B．0.2718 C．0.1359 D．0.0456
4．下列命题错误的是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B．设，且，则
C．线性回归直线一定经过样本点的中心
D．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高
5．中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目.在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有32名.则参赛的学生总数约为（ ）.（参考数据：，，）
A．208 B．206 C．204 D．202
6．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.5 B．0.3 C．0.4 D．0.2
8．新冠肺炎疫情期间，某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的应聘者才可通过面试．已知应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确完成，2道题不能完成，则小王正确完成面试题数的均值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性
B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性
C．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值
D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值
10．若随机变量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
11．设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（ ）
附：若，则，.
A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413
12．王老师为了了解全班50位同学某次考试的成绩状况，随机抽查了10位同学该次考试的数学与物理成绩，列表如下：
学生 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 平均值 标准差
数学成绩X/分 88 62
物理成绩Y/分 75 63
若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩的正态曲线，虚线表示全班物理成绩的正态曲线，则随机变量与的正态曲线可能是（ ）A． B．
C． D．
13．某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（ ）（参考数据：）
A．16 B．10 C．8 D．2
14．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（ ）
A． B． C． D．
15．若，则取得最大值时，（ ）
A．4或5 B．6或7 C．8 D．10
二、填空题
16．已知正态分布N(μ,σ2)的密度曲线是给出以下四个命题：
①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；
②如果随机变量ξ服从N(μ,σ2)，且F(x)＝P(ξ③如果随机变量ξ服从N(108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是100；
④随机变量ξ服从N(μ,σ2)，P(ξ<1)＝，P(ξ>2)＝p，则P(0<ξ<2)＝1－2p.
其中，真命题的序号为_______（所有真命题的序号）
17．某金业加工了一批新零件，其综合质量指标值X服从正态分布N(80,)，且，现从中随机抽取该零件500个，估计综合质量指标值位于(60,100]的零件个数为_________.
18．下列说法正确的有_____．
①统计中用相关系数r来衡量两个变量之间的线性关系的强弱．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱．
②在线性回归模型中，计算相关指数R2≈0.6，表明解释变量解释了60%预报变量的变化．
③为了了解本校高三学生1159名学生的三模数学成绩情况，准备从中抽取一个容量为50的样本，现采用系统抽样的方法，需要从总体中剔除9个个体，在整体抽样过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽到的概率分别是和．
④随机变量X～N（μ，σ2），则当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．
⑤身高x和体重y的关系可以用线性回归模型y＝bx+a+e来表示，其中e叫随机误差，则它的均值E（e）＝0．
三、解答题
19．某种子公司培育了一个豌豆的新品种，新品种豌豆豆荚的长度比原来有所增加，培育人员在一块田地(超过1亩)种植新品种，采摘后去掉残次品，将剩下的豆荚随机按每20个一袋装袋密封.现从中随机抽取5袋，测量豌豆豆荚的长度(单位：)，将测量结果按，，，，分为5组，整理得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值并估计这批新品种豌豆豆荚长度的平均数(不含残次品，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（2）假设这批新品种豌豆豆荚的长度服从正态分布，其中的近似值为豌豆豆荚长度的平均数，，试估计采摘的100袋新品种豌豆豆荚中，长度位于区间内的豆荚个数；
（3）如果将这批新品种豌豆中豆荚长度超过的豆荚称为特等豆荚，以频率作为概率，随机打开一袋新品种豌豆豆荚，记其中特等豆荚的个数为，求的概率和的数学期望.
附：，若随机变量，则，.
20．雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分，近年来某市教育局积极推广经典诗文诵读活动，致力于营造“诵读国学经典，积淀文化底蕴”的书香校园，引导广大学生熟悉诗词歌赋，亲近中华经典，感悟中华传统文化的深厚魅力，丰厚学生的人文积淀，该市教育局为调查活动开展的效果，对全市参加过经典诗文诵读活动的学生进行了测试，并从中抽取了1000份试卷，根据这1000份试卷的成绩(单位：分，满分100分)得到如下频数分布表.
成绩/分
频数 40 90 200 400 150 80 40
（1）求这1000份试卷成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
（2）假设此次测试的成绩服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的近似值为6.61，以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少(结果保留一位小数)？
（3）该市教育局准备从成绩在内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从这6份试卷中随机抽取3份进行进一步分析，记为抽取的3份试卷中测试成绩在内的份数，求的分布列和数学期望.
参考数据：若，则，，.
21．某省2021年开始将全面实施新高考方案.在6门选择性考试科目中，物理 历史这两门科目采用原始分计分；思想政治 地理 化学 生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分.该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治 地理 化学 生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分.
（1）某校思想政治学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如表：
原始分 91 90 89 88 87 85 83 82
转换分 100 99 97 95 94 91 88 86
人数 1 1 2 1 1 2 1 1
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中思想政治转换分不低于94分的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）假设该省此次高一学生思想政治学科原始分服从正态分布．若，令，则．请解决下列问题：若以此次高一学生思想政治学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留整数）附：若，.
22．某商店欲购进某种食品（保质期为两天），且该商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品是刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响.为了解市场的需求情况，现统计该食品在本地区100天的销售量，如下表：
销售量(份) 15 16 17 18
天数 20 30 40 10
（1）根据该食品在本地区100天的销售量统计表，记两天一共销售该食品的份数为，求的分布列与数学期望；（视样本频率为概率）
（2）以两天内该食品所获得的利润的数学期望为决策依据，若该商店计划一次性购进32份或33份该食品，试判断哪一种获得的利润更高.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
利用正态分布的对称性求概率．
【详解】
，
故选：.
2．A
用表示抽到高二年级同学的作品数，，即可得到答案.
【详解】
从10个作品中抽7个，用表示抽到高二年级同学的作品数，
则．
故选：A．
3．C
根据正态分布曲线的对称性得到，即可求解.
【详解】
由题意，测量体温的误差X服从正态分布，
则，，
所以
.
故选：C.
4．B
利用相关关系判断A；由正态分布的性质判断B；由线性回归直线的性质判断C；由残差的性质判断D.
【详解】
对于A，根据相关系数的意义可知，A正确；
对于B，由，知，即概率密度函数的图像关于直线对称，所以，则，故B错误；
对于C，根据线性回归直线的性质可知，C正确；
对于D，根据残差图的意义可知， D正确；
5．D
由正态分布，求得平均值和标准差，继而求得成绩在90分以上（含90分）的学生的概率，可得选项.
【详解】
由正态分布得：平均值，标准差，设参赛的学生总数约为人，
则成绩在的人数为人，成绩在的人数为人，而成绩在分以上的有人，
所以成绩在90分以上（含90分）的学生有32名，解得，
故选：D.
6．D
根据随机变量服从正态分布，得到正态曲线的对称轴，然后由，求得，再利用正态曲线的对称性求解.
【详解】
因为随机变量服从正态分布，
所以正态曲线的对称轴为，
因为，
所以，
所以，
故选：D
本题主要考查正态分布曲线对称性，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7．B
利用正态分布密度函数的对称性将求 转化为，进而可得结果.
【详解】
如图，正态分布的密度函数示意图所示，
函数图象关于直线对称，所以，
则.
故选：B.
关键点点睛：应用正态分布密度函数图象的对称性是解决本题的关键.
8．B
根据题意设小王正确完成的面试题数为，则的可能取值为1，2，3．求出X的分布列，然后计算数学期望(均值)即可﹒
【详解】
设小王正确完成的面试题数为，则的可能取值为1，2，3．
；
；
．
∴．
故选：B．
另解：设小王正确完成的面试题数为，则，∴．
故选：B．
9．A
根据正态分布密度曲线的对称轴为，图像越瘦高数据越稳定可得.
【详解】
由图知甲乙两条生产线的平均值相等，甲的正态分布密度曲线较瘦高，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性.
故选：A
10．A
根据二项分布列式，计算出，然后利用正态分布的特点计算的值.
【详解】
由题意，，解得，则，所以.
故选：A.
11．B
首先根据函数没有零点求出的取值范围，再根据没有零点的概率是，得到，再根据正态曲线的性质得到的值；然后再根据正态曲线的对称性求出的值即可．
【详解】
若函数没有零点，
∴二次方程无实根，
∴，∴.
又∵没有零点的概率是0.5，
∴.
由正态曲线的对称性知，
∴，∴，，
∴，，，，
∴，，
∴
.
故选：B.
12．A
根据、的大小关系可得对称轴的位置关系，根据、可得图象的瘦高、矮胖，进而可得正确选项.
【详解】
因为，所以随机变量的正态曲线的对称轴在随机变量的正态曲线的对称轴的左边，排除B，C；
因为，所以随机变量的总体分布更离散，正态曲线比随机变量的正态曲线“矮胖”，排除D，
故选：A.
13．C
根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可.
【详解】
因为数学成绩，所以，因此由
所以有，
估计该班数学得分大于120分的学生人数为，
故选：C
14．B
设元件1，元件2，元件3正常工作分别为事件A、B、C，求出即得解.
【详解】
解：设元件1，元件2，元件3正常工作分别为事件A、B、C，
则；
故该部件能正常工作的概率为.
故选：B
15．D
求得的表达式，结合组合数的性质求得正确答案.
【详解】
因为，所以，
由组合数的性质可知，当时最大，此时取得最大值.
故选：D
16．①②④
利用正态分布曲线的关于对称，且P(ξ【详解】
画出正态分布N(μ,σ2)的密度曲线如图．由图可得：
①图像关于x＝μ对称，故①正确；
②F(x)表示密度曲线与x轴围成的面积，随着x的增加，F(x)＝P(ξ＜x)也随着增加，故②正确；
③如果随机变量ξ服从N(108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是10；
④由图像的对称性，可得P(ξ>2)＝P(ξ<0)＝p，则P(0<ξ<2)＝1－2p. 故④正确．
故答案为：①②④.
17．
利用正态分布的对称性可得，进而求综合质量指标值位于(60,100]的概率，结合题设即可估计该区间内的零件的个数.
【详解】
由题设，正态分布曲线关于对称，
所以，则，
所以，则综合质量指标值位于(60,100]的零件个数为个.
故答案为：.
18．②⑤
本题考查的是统计中的一些基础知识的理解与辨析，弄清楚每个基本量在统计中表示什么与影响什么，即可做出判断.
【详解】
①统计中用相关系数r来衡量两个变量之间的线性关系的强弱，
线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故①错误；
②在线性回归模型中，相关系数r可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱，
相关指数，表明解释变量解释了60%预报变量的变化，故②正确；
③为了了解本校高三学生1159名学生的三模数学成绩情况，
准备从中抽取一个容量为50的样本，现采用系统抽样的方法，
需要从总体中剔除9个个体，
在整体抽样过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽到的概率分别是和，故③错误；
④随机变量X～N（μ，σ2），则当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，故④错误；
⑤随机误差是衡量预报精确度的一个量，它满足，故⑤正确；
综上可知②⑤正确.
故答案为：②⑤．
19．（1），平均数为；（2）(个)；（3）概率为，数学期望.
（1）先根据频率分布直方图的性质求得的值，再根据平均数的计算方法即可得这批新品种豌豆荚长度的平均数的估计值；
（2）根据与的值得到,即，再利用正态分布的有关知识计算相应的概率，最后求豆荚个数；
（3）先得到豆荚长度超过的频率为，再判断服从二项分布，最后计算所求概率和数学期望.
【详解】
（1）由频率分布直方图可得.解得
估计新品种豌豆豆荚长度的平均数.
（2）由（1）知新品种豌豆豆荚长度的平均数约为1.11，则，又，所以，，，.
所以
所以100袋豌豆豆荚中，长度位于区间内的豆荚个数为(个)
（3）在新品种豌豆豆荚中随机抽取一个，豆长度超过的频率为，所以随机打开一袋新品种豌豆豆荚，再从中随机抽取一个豆荚，这个豆荚为特等豆荚的概率.
依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，……，20，且
所以
；
的数学期望.
结论拓展：（1）频率分布直方图的性质：各组的频率等于各小长方形的面积，且所有小长方形的面积和等于1.
（2）频率分布直方图与众数 中位数 平均数的关系：①最高的小长方形底边中点的横坐标即众数的估计值；②中位数左边，右边的小长方形的面积和是相等；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标的和.
20．（1）；（2）75.5分；（3）分布列答案见解析，数学期望：.
（1）利用平均数的计算公式即可求解；
（2）利用正态分布的概率分布即可求解；
（3）先利用分层抽样的方法求出抽取的6份试卷中成绩在和内的份数，然后求出的所有可能取值及每个取值对应的概率，最后写出的分布列及数学期望.
【详解】
解：（1）由频数分布表
.
（2）由题意得，
且，
又，
故市教育局预期的平均成绩大约为75.5分.
（3）利用分层抽样的方法抽取的6份试卷中成绩在内的有4份，成绩在内的有2份，
故的所有可能取值为0，1，2，
且，，，
所以得分布列为
0 1 2
数学期望.
方法点睛：求离散型随机变量的分布列的步骤：（1）理解的意义，写出的所有可能取值；（2）求取每个值的概率；（3）写出的分布列；（4）根据分布列的性质对结果进行检验.
21．（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）71．
（1）写出随机变量的所有可能的取值，根据超几何分布求解分布列与数学期望；
（2）根据服从正态分布求出，即可求解参数．
【详解】
解：（1）随机变量的所有可能的取值为0，1，2，3，
根据条件得，，
，
则随机变量的分布列为
0 1 2 3
数学期望；
（2）设该划线分为，由得，，
令，则，
依题意，，即
因为当时，，所以，
所以，故，取.
综上：估计该划线分大约为71分．
22．（1）分布列见解析，32.8；（2）当一次性购进32份该食品时，获得的利润更高.
（1）根据题意，两天一共销售该食品的份数为的取值依次为，求出各概率得分布列，再由期望公式计算出期望；
（2）根据（1）的分布列求出购进32份和33份该食品的利润期望，比较可得．
【详解】
（1）根据题意，两天一共销售该食品的份数为的取值依次为，
，
，
，
，
，
，
，
所以的分布列为
30 31 32 33 34 35 36
所以.
（2）当一次性购进32份时，利润的数学期望为，
当一次性购进33份时，利润的数学期望为
，
由可知，当一次性购进32份该食品时，获得的利润更高.
答案第1页，共2页
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