1.1空间向量及其运算 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
　空间向量及其运算
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1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．　
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．　
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．
一、空间向量的有关概念
1．空间向量：在空间中，具有______和______的量叫作空间向量，其大小叫作向量的_______或____．
2．相等向量：方向_______且模_______的向量．
3．共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线______或______，则这些向量叫作__________或___________，a平行于b记作 a∥b.
4．共面向量：平行于同一_______的向量叫作共面向量．
大小
方向
长度
模
相同
相等
平行
重合
共线向量
平行向量
平面
二、空间向量中的有关定理
1．共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b 存在λ∈R，使a＝______.
2．共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面 存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝__________.
λb
xa＋yb
三、两个向量的数量积
1．非零向量a，b的数量积
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
2．空间向量数量积的运算律
(1)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)．
(2)交换律：a·b＝b·a.
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
四、空间向量的坐标表示及其应用
　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
五、用空间向量解决几何问题的一般步骤：
1．适当的选取基底{a，b，c}．
2．用a，b，c表示相关向量．
3．通过运算完成证明或计算问题．
　要理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距离、夹角公式．利用空间向量的坐标运算可将立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算，如：
(1)判断线线平行或者点共线，可以转化为证a∥b(b≠0) a＝λb.
(2)证明线线垂直，转化为证a⊥b a·b＝0，若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则转化为计算x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
(3)在立体几何中求线段的长度问题时，转化为a·a＝|a|2，或利用空间两点间的距离公式．
一、空间向量的有关概念
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间中任意两非零向量a，b共面．(　　)
(2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.(　　)
(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(　　)
(4)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
答案：D
答案：A
4．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．
解析：设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|得(1－0)2＋(0－y)2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y)2＋(1－0)2，解得y＝－1.∴M(0，－1,0)．
答案：(0，－1,0)
空间向量的线性运算(师生共研)
例2　如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．
共线向量定理、共面向量定理的应用 (师生共研)
(1)试用向量方法证明E，F，G，H四点共面；
(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断．
例3　如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求BD的长．
空间向量的数量积及其应用(师生共研)
答案：0