5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
5.4.2 正弦函数、
余弦函数的性质
正弦函数y＝sinx，x∈[0, 2 ]的图象中，
五个关键点是哪几个
余弦函数y＝cosx，x∈[0, 2 ]的图象中，
五个关键点是哪几个
复习引入
由正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的作图过程以及正弦函数和余弦函数的定义，容易得出正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx有以下重要性质.
(1)定义域：
正弦函数y=sinx的定义域是实数集R
[或(－∞,＋∞)],记作:y＝sinx,x∈R.
余弦函数y=cosx的定义域是实数集R
[或(－∞,＋∞)],记作:y＝cosx,x∈R.
学习新知
我们已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的几个角度，你还记得有哪些吗？在上一次课中，我们已经学习了正弦函数的y＝sinx在R上图像，下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质？
新课引入
正弦函数y=sinx,x∈R
①当且仅当x＝ ＋2kπ，k∈Z时，正弦函数取得最大值1；
②当且仅当x＝－ ＋2kπ，k∈Z时，正弦函数取得最小值－1
(2)值域:因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度;从正弦曲线可以看出，正弦曲线分布在两条平行线y=1和y=－1之间，所以
|sinx|≤1,即－1≤sinx≤1,
也就是说，正弦函数的值域是[－1,1].
同理余弦函数的值域是[－1,1]
学习新知
余弦函数y=cosx,x∈R
①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，余弦函数取得最大值1；
②当且仅当x＝2kπ+π，k∈Z时，余弦函数取得最小值－1
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学习新知
(1)今天是星期一，则过了七天是星期几？
过了十四天呢？……
(2)物理中的单摆振动、圆周运动，质点
运动的规律如何呢？
在数学当中，有没有周期现象？
学习新知
(1) 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
(2) 规律是：每隔2 重复出现一次（或者说每隔2k ，k Z重复出现）；
(3) 这个规律由诱导公式sin(2k +x)=sinx可以说明.
正弦函数的性质1——周期性
结论：象这样一种函数叫做周期函数.
学习新知
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x+T∈D 且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期
由此可知，2π,4π,……,－2π,－4π，
……2kπ (k∈Z且k≠0)都是正弦函数和余弦函数的周期,最小正周期是2π.
周期函数定义：
学习新知
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期。
注意： (1) 周期函数中，x 定义域M，则必有x+T M, 且若T>0，则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
(2) “每一个值”，只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+T) f (x0)）；
(3) T往往是多值的（如y=sinx, T=2 , 4 , … , －2 , － 4 , …都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）.
学习新知
学习新知
想一想
求下列函数的周期
解:(1)∵cos(x+2π)=cosx,
∴3cos(x+2π)=3cosx
∴函数y= 3cosx，x∈R的周期为2π
(2)设函数y=sin2x, x∈R的周期为T，则
sin2(x+T)=sin(2x+2T)=sin2x
∵正弦函数的最小正周期为2π ，
∴ y=sin2x ,x∈R的周期为π
典型例题
例：求下列函数的周期
解:设函数 的周期为T，则
∵正弦函数的最小正周期为2π ，
∴
∴函数 的周期为4π
典型例题
求下列三角函数的周期：
y=sin(x+ )； (2) y=3sin( + )
解： (1) 令z= x+ 而 sin(2 +z)=sinz
即：f (2 +z)=f (z) ,
f [(x+2 )+ ]=f (x+ )
∴函数的周期T=2 .
巩固练习
（2）解：令z= , 则
f (x)=3sinz=3sin(z+2 )
∴函数的周期T=4 .
=f (x+4 )
=3sin( )
=3sin( +2 )
一般结论:
学习新知
(3) y=|sinx|
解：f(x+π)=|sin(x+π)|=|sinx|,
所以函数的周期是T=π.
求下列三角函数的周期：
深化练习
正弦、余弦函数的性质2——奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？
学习新知
是奇函数
是偶函数
例2.判断下列函数的奇偶性
典型例题
奇函数
非奇非偶函数
非奇非偶函数
(1)函数y=sinx的图象还有其他对称中心吗
(2)函数y=sinx的图象是轴对称图形吗？
学习新知
(3)函数y=cosx的图象还有其他对称轴吗？
(4) 函数y=cosx的图象是中心对称图形吗
定义域
值域
最大值
最小值
奇偶性
周期性
y=sinx
y=cosx
函数
性质
R
R
[-1，1]
[-1，1]
仅当
时取得最大值1
仅当
时取得最大值1
仅当
时取得最小值-1
仅当
时取得最小值-1
奇函数
偶函数
2π
2π
课堂小结