5.4.2正弦函数、余弦函数的性质2 课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质
1．正弦函数的定义域是什么？
2．正弦函数有最大值和最小值吗？它何时取得最大值和最小值？
3．从问题2，正弦函数的值域是什么？
4. 正弦函数有几个单调递增区间？请写出单调递增区间；单调递减区间呢？
5.正弦函数的图象关于原点对称吗？正弦函数的图象是轴对称图形吗？
6.余弦函数与正弦函数有什么关系？
新课引入
观察正弦函数的图象回答下列问题
5.正弦函数的图象关于原点对称；是轴对称图形．
6.余弦函数可由正弦函数平移得到,可相应得到余弦函数的性质.
全体实数R；
定义域
值域
最大值
最小值
奇偶性
周期性
y=sinx
y=cosx
函数
性质
R
R
[-1，1]
[-1，1]
仅当
时取得最大值1
仅当
时取得最大值1
仅当
时取得最小值-1
仅当
时取得最小值-1
奇函数
偶函数
2π
2π
复习引入
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1
-1
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-1
1
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-1
π
2π
y=sinx
y=cosx
想一想
请观察正弦曲线、余弦曲线的形状和位置,说出它们的单调性。
-
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1
-1
新课引入
(3)单调性
从y＝sinx的图象上可看出：
当x∈ 时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1;
当x∈ 时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1。
-
-
1
-1
学习新知
结合正弦函数的周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间[－ ＋2kπ，+2kπ] (k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；
在每一个闭区间［ ＋2kπ， ＋2kπ］(k∈Z)上单调递减，其值从1减小到－1
学习新知
y=sinx的对称轴为
y=cosx的对称轴为
对称轴
单调递增
学习新知
单调递减
尝试练习
例1： 求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么.
(1) y＝sin2x，x∈R; (2) y=sin(3x+ ) －1
解：
(1) 令w＝2x，那么x∈R得Z∈R，且使函数y＝sinw，w∈R，取得最大值的集合是｛w｜w＝ ＋2kπ，k∈Z｝
由2x＝w＝ ＋2kπ，
得x＝ ＋kπ.
典型例题
即 使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝ ＋kπ，k∈Z｝
函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1.
(2) 当3x+ =2k + 即 x= (k Z)时, y的最大值为0.
典型例题
例1： 求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么.
(1) y＝sin2x，x∈R; (2) y=sin(3x+ ) －1
下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么.
巩固练习
学生完成后与课本例3对照，掌握解题过程
例2：不通过求值,指出下列各式大于0还是小于0,
(1)sin(－ )－sin(－ )；
(2) cos(－ )－cos(－ )．
解：(1) ∵
且函数y＝sinx，在 ［－ ， ］上单调递增
即sin(－ )－sin(－ )＞0
典型例题
(2)cos(－ )＝ cos
cos(－ )＝ cos
函数y=cosx在区间( )上单调递减,
典型例题
例3．(1)函数y＝sin(x＋
)在什么区间上是增函数
(2)函数y＝3sin(
－2x)在什么区间是减函数
解：(1)函数y＝sinx在下列区间上单调递增：
2kπ－
≤x≤2kπ＋
(k∈Z)
∴函数y＝sin(x＋
)为单调递增，
≤x＋
≤2kπ＋
当且仅当2kπ－
即2kπ－
≤x≤2kπ＋
(k∈Z)为所求．
典型例题
(2)函数y＝3sin(
－2x)在什么区间是单调递减
解：∵y＝3sin(
－2x)＝－3sin(2x－
)
由2kπ－
≤2x－
≤2kπ＋
得kπ－
≤x≤kπ＋
(k∈Z)为所求．
或：令u＝
－2x，则u是x的减函数
又∵y＝sinｕ在［2kπ－
，2kπ＋
］(k∈Z)上为增函数，
∴原函数y＝3sin(
－2x)在区间［2kπ－
，2kπ＋
］上递减．
设2kπ-
≤
－2x≤2kπ+
解得kπ－
≤x≤kπ＋
(k∈Z)
∴原函数y＝3sin(
－2x)在［kπ－
，kπ＋
］(k∈Z)上单调递减．
典型例题
深化练习
小结