5.2.1 任意角的三角函数 课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
5.2.1任意角的三角函数
o
x
y
P(a,b)
复习引入
请同学们回忆一下：在直角三角形中，如何表示角的正弦、余弦和正切值．
我们能求上述角的三角函数值，若角是任意大小的角，我们还能求它的三角函数值吗？
学习新知
1． 不会改变．
2．OP的长为1；结合上述锐角α的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值呢
显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为1，然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了．所以，我们在此引入单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆．
学习新知
3.如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么：
归纳总结
归纳总结
三角函数 定义域 值域
sinα
cosα
tanα
R
{α|α≠ ,k Z}
R
R
[－1,1]
[－1,1]
学习新知
4．由三角函数的定义可知三角函数值是两个量的比值，所以其大小与点P在终边上的位置无关，它是由终边所在的位置唯一确定的，它是角的大小的函数．
【思路分析】抓住正弦、余弦和正切的定义是解决本题的关键．
【点拨】回归“定义”是解题的一种常用手段．
尝试练习
例1、求 的正弦、余弦和正切值。
典型例题
正弦值y对于第一、二象限的角是正的，对于第三、四象限的角是负的。
余弦值x 对于第一、四象限的角是正的，对于第二、三象限的角是负的。
正切值 对于第一、三象限的角是正的，
对于第二、四象限的角是负的。
学习新知
x
y
o
三角函数全为正
正弦为正
余弦为负
正切为负
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
三角函数值的符号问题
意为：第一象限各三角函数均为正,第二象限只有正弦及与正弦为正,其余均为负,第三象限正切为正，其余为负，第四象限余弦为正，其余皆为负。
正弦为负
余弦为负
正切为正
正弦为负
余弦为正
正切为负
学习新知
例2 确定下列各三角函数值的符号：
(1) (2)cos1300 ； (3)
解： Ⅳ，
解： (1)
(2) ∵1300∈Ⅱ
∴ cos1300 <0
(3) Ⅱ
典型例题
　　　　例3、 求证:当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角第三象限角的充要条件是.
学习新知
　　　　例4、已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值。
x
A(1,0)
y
O
P(x,y)
α
P0(x,y)
M0
M
练习：已知角α的终边经过点p(2，－3)，求角α的正弦、余弦和正切值。
求　的三个三角函数值呢？
若将　　　　改为　　　　　　　　，
如何
典型例题
1、判断下列各角的各三角函数的符号
巩固练习
｜ ｜+
｜ + ｜
+ + +
｜ + ｜
第三象限
下列各式为正号的是（ ）
A cos2－sin2 B cos2 sin2
C tan 2 cos2 D sin2 tan2
C
2 若lg(sin tan )有意义，则 是（ ）
A 第一象限角 B 第四象限角
C 第一象限角或第四象限角
D 第一或第四象限角或x轴的正半轴
C
3 已知 的终边过点(3a-9,a+2),且cos 0,
sin >0,则a的取值范围是 。
-2深化练习
B
D
深化练习
利用定义求三角函数值，首先要建立直角坐标系，角α顶点和始边要按既定的位置设置．角的三角函数定义式，其实是比例的化身，它的背后是相似形在支称着，不过这个定义具有一般性，如轴上角的三角函数，如果没有定义作为论据，欲求其函数性就不是很容易．
分类讨论（角位置）是三角函数求值过程中，使用频率非常高的一个数学思想，而分类标准往往是四个象限及四个坐标半轴．
课堂小结
课堂小结
任意角的三角函数的定义
（1）在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，
它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么：
①y叫做α的 ，记作 ，即 ；
②x叫做α的 ，记作 ，即 ；
正弦
sin α
sin α＝y
余弦
cos α
cos α＝x
正切
tan α