数学高中苏教版选修（2-2）1.4《导数在实际生活中的应用》课件

课件16张PPT。高中数学 选修２-２1.4 　导数在实际生活中的应用新课引入 导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数求最值的方法,可以求出实际生活中的某些最值问题.1.几何方面的应用.2.物理方面的应用.3.经济学方面的应用.（面积和体积等的最值）（利润方面最值）（功和功率等最值）例1　在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解:设箱底边长为x cm， 箱子容积为V＝x2 h则箱高V ′=60x－3x2/2令V ′＝0，得x＝40，x＝0(舍去)得V (40)＝16000答：当箱底边长为x＝40时，箱子容积最大，最大值为16000cm3．当x∈(0，40)时V ′(x)＞0；当x∈(40，60)时V ′(x)＜0；∴V (40)为极大值，且为最大值．例2　圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解:设桶底面半径为R，因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值．答：当罐高与底的直径相等时，所用材料最省．3变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值
S 时,它的高与底面半径应怎样选取，
才能使所用材料最省？提示：S＝2πRh＋2πR2 h＝V(R)＝ πR2＝　(S－2πR2)R＝ SR－πR3V ′(R)＝0 S＝6πR2 6πR2＝ 2πRh＋2πR2 h＝2R．例3 在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为E，外电阻R为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？解：电功率P＝I2R，其中I＝　　　为电流强度，则 P＝[E/(R＋r)]2R＝
由P′＝0，解得：R＝r．
列表分析，
当R＝r时，P取得极大值，且是最大值．最大值为
P＝ ．
答：当外电阻R等于内电阻r时，电功率最大，最大
电功率是 ．
例4 强度分别为a，b的两个点光源A，B，它们间的距离为d，试问在连接这两个光源的线段AB上，何处照度最小？试就a＝8，b＝1，d＝3时回答上述问题（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比．解：如图，设点P在线段AB上，且P距光源A为x，
则P距光源B为3－x(0＜x＜3).P点受A光源的照度为（其中，k为比例常数）P点受B光源的照度为从而，P点的总照度为：解得x＝2，故当0＜x＜2时，I′(x)＜0；当2＜x＜3时， I′(x)＞0．因此，x＝2时，I取得极小值，且是最小值．答：在连结两光源的线段AB上，距光源A为2处的照度最小．例5 在经济学中，生产x单位产品的成本称为成
本函数，记为C(x)；出售x单位产品的收益称为收
益函数，记为R(x)； R(x)－C(x)称为利润函数，
记为P(x).
（1）设C(x)＝10－6x3－0.003x2＋5x＋1000，生产多
少单位产品时，边际成本C ′(x)最低?
（2）设C(x)＝50x＋10000，产品的单价p＝100－0.01x，怎样定价可使利润最大？解：（1）c′(x)＝3×10－6x2－0.006x＋5＝g(x)，
g′(x) ＝6×10－6x－0.006＝0，
解得：x＝1000，而g(x)在x＞0上仅有一个极小值，故x＝1000时边际成本最低．（2）P(x)＝ R(x) － C(x) ＝x(100－0.01x)－(50x＋10000)
＝ －0.01x2＋50x－ 10000 ，
x＝2500，而P(x)最大，此时P＝100－25＝75．答：生产1000个单位产品时，边际成本最低；当生产的单价为75时，利润最大．四、课堂练习
1．将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成________和________．
2．在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为____时，它的面积最大．
3．有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形边长应为多少？
4．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l＝AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.
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五、回顾反思
（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．
（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．
（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单 ．